A schiefsymetrisch => 0 ist Eigenwert |
| 16.07.2012, 22:41 | blahbel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| A schiefsymetrisch => 0 ist Eigenwert ich soll für A aus R^5x5 beweisen: Ist A schiefsymetrisch, das heißt A^t = -A, dann ist 0 ein Eigenwert von A. Ich hab mir folgenden Anfang überlegt: A^t hat dasselbe charakteristische Polynom und damit dieselben Eigenwerte wie A. Wenn A^t=-A hat also A dieselben Eigenwerte wie -A. Jetzt müsste ich beweisen das die Schnittmenge der Eigenwerte gleich {0} ist, ich weiß aber nicht wie. Ich nehme an das -A genau die Eigenwwerte von A multipliziert mit (-1) hat, aber stimmt das, und wie beweis ich das? Würd mich freuen wenn noch jemand wach ist der mir helfen kann :-) |
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| 16.07.2012, 22:50 | Captain Kirk | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo,
das musst du nicht. Du musst nur beweisen, dass 0 in der Schnittmenge liegt. Und ja die EW von -A sind die negativen der EW von A. (folgt aus der Def.) Verwende das die Anzahl der EW (mit Vielfachheiten) ungerade ist. Und ob ich noch wach bin möge mein Hausarzt beurteilen. |
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| 16.07.2012, 23:06 | blahbel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Kann ich sagen: Die Eigenwerte von -A sind laut Definition die negativen Eigenwerte von A. Ist c EW von A dann ist -c EW von -A, damit die Vorraussetzung erfüllt ist musst dann -c EW von A sein und damit c EW von -A. Einzige ausnahme ist 0, da -0=0. Da die Anzahl der EW ungerade ist (n=5) muss einer der EW "allein" auftreten, muss also 0 sein. Danke für die Hilfe, ich glaube dieses Forum rettet mir die Klausur :-) |
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| 16.07.2012, 23:11 | Captain Kirk | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das ist im Wesentlichen die Idee. An der Formulierungen, auch wenn das hier zugegebenermaßen etwas schwierig ist, solltest du für die klausur noch arbeiten. |
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| 16.07.2012, 23:25 | blahbel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, die Formulierungen sind gleich nach dem Mangel an hilfreichen Ideen mein größtes Problem bei Beweisen... aber es wird besser :-) Nochmal Danke für die Hilfe, sonst würd das nie was werden :-) |
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| 16.07.2012, 23:47 | carm561 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Du kannst auch die Beziehung Det(A)=Det(A^t) benutzen. Daraus folgt hier Det(A)=0 |
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| 17.07.2012, 00:30 | carm561 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
So schick ich euer Argument finde, es mag mir nicht vollends einleuchten 
Ihr zeigt, dass mit c auch -c EW von A ist. Weil die Anzahl der EW mit Vielfachheiten ungerade ist, folgt dann, dass einer allein auftreten, also Null sein muss. Richtig? Für die Diagonalmatrix A=diag(1,1,-1,-1,-1) ist mit c auch -c EW und die EW mit Vielfachheiten sind ungerade. Aber 0 ist kein EW. Wo steckt mein Fehler? Ja, A ist nicht schiefsymmetrisch, aber das benutzt ihr doch im letzten Schritt nicht, oder? Edit: Hat sich erledigt. c und -c haben gleiche Vielfachheit. |
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