Untergruppen-Algorithmus

18.07.2012, 00:56

Regulator

Untergruppen-Algorithmus

Hallo,

ich bin auf der Suche nach einem Algorithmus, der mir ALLE Untergruppen einer beliebigen endlichen Gruppe (bzw. endlich erzeugten) ausgibt.

Gibt es überhaupt einen solchen?

Wie bestimme ich per Hand alle Untergruppen (mit Vielfachheit) einer gegebenen endlichen Gruppe? Beispielsweise für $\begin{eqnarray*} \mathcal(S)_5 \end{eqnarray*}$ (symmetrische Gruppe mit 120 Elementen)

Zum Beispiel vergesse ich bei der Kleinschen Vierergruppe immer, dass es 3 Untergruppen der Ordnung 2 gibt.

Bestimmung von p-Sylowuntergruppen ist klar, aber beim Rest scheitere ich derzeit. Über Hilfe würde ich mich sehr freuen. Gibt es Verallgemeinerungen der Sylowsätze, sodass die mir bei meinem Problem helfen.

18.07.2012, 18:17

Elvis

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Die Struktur abelscher Gruppen ist bekannt. Alle endlichen einfachen Gruppen sind bekannt. Darüber hinaus wird es komplizierter. (siehe z.B. Kurzweil/Stellmacher "Theorie der endlichen Gruppen").

18.07.2012, 18:51

Regulator

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okay, danke, aber gibt es überhaupt keine Faustregel, mit der man alle Untergruppen der $\begin{eqnarray*} \mathcal{S}_n \end{eqnarray*}$ bestimmen kann?

Meine Idee wäre $\begin{eqnarray*} <g> \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} g \in G \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ meine Gruppe ist, zu bilden. Der offensichtliche Fehler dieser Vorgehensweise springt einem mit dem nacktem Hintern ins Gesicht, denn damit erhalte ich nur abelsche(offensichtlich sogar nur zyklische) Untergruppen, aber wie kann man mit dieser Vorgehensweise alle treffen.

Hilft es, wenn ich nacheinander $\begin{eqnarray*} <g,h> \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} <g,h,i> \end{eqnarray*}$ und so weiter bilde, oder werden dadurch systematisch Untergruppen "vergessen"?

18.07.2012, 19:29

Mystic

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Zitat:

Original von Regulator
Hilft es, wenn ich nacheinander $\begin{eqnarray*} <g,h> \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} <g,h,i> \end{eqnarray*}$ und so weiter bilde, oder werden dadurch systematisch Untergruppen "vergessen"?

Hm, wie soll man auf diese Weise was vergessen können, wo doch offensichtlich jede Untergruppe von endlich vielen Elementen erzeugt werden kann... verwirrt

Auch die maximale Anzahl der Elemente in einem Erzeugendensystem ist in natürlicher Weise durch die Länge einer maximalen Kette im Teilerverband von |G| begrenzt, da die Ordung einer Untergruppe stets Teiler der Gruppenordnung ist...

Und ja, das ist ein vernünftiger erster Ansatz für eine Klassifikation der Untergruppen einer endlichen Gruppe, den man ev. noch auf verschiedenene Arten ergänzen kann...

P.S.: Ich würde als erstes Studienobjekt übrigens nicht gleich die $\begin{eqnarray*} S_5 \end{eqnarray*}$ , sondern erst mal die $\begin{eqnarray*} S_4 \end{eqnarray*}$ nehmen... Augenzwinkern

Edit: Ich hoffe, du meinst wirklich, wie ich das aufgefasst hatte, dass nämlich g,h,i,... oben durch alle Möglichkeiten durchvariiert werden, da man ja sonst nur eine einzige Kette von ineinander verschachtelten Untergruppen erhalten würde...

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