Eigenwerte berechnen

18.07.2012, 01:49

voodoo

Eigenwerte berechnen

Meine Frage:
Ich soll die Eigenwerte einer Matrix berechnen aber ich kann das Polynom irgendwie nicht bestimmen...
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3-\lambda & 4 & -3 \\ 2 & 7-\lambda & -4 \\ 3 & 9 & -5-\lambda \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
wie kann ich hier einfach auf das Polynom kommen?
in der Lösung steht $\begin{eqnarray*} -(\lambda -1)(\lambda -2)^2 \end{eqnarray*}$ aber ich weiß nicht, wie ich auf so ein solches "einfaches" polynom komme, wo ich die Eigenwerte direkt ablesen kann, ohne Nullstellen zu raten und polynomdivision zu machen und so...
Wie kann ich bei solchen Aufgaben einfache Polynome aus solchen Matrizen bilden?

Meine Ideen:
Ich bin bisher immer mit dem Laplac'schem Entwicklungssatz an das problem rangegangen, aber dann bekomme ich immer ein riesiges Polynom, das sich auch nie mit dem "einfachem" Polynom in der Lösung deckt...

18.07.2012, 11:20

h4mmer

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RE: Eigenwerte berechnen
Versuchs mal damit mit der Regel von Sarrus (bei Wikipeida)

Damit sollte es klappen (bei 3x3 MAtrizen).

Gruß

18.07.2012, 12:16

voodoo

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RE: Eigenwerte berechnen
ja klar damit kann ich das machhen aber der term den ich dann rauskriege, wird nicht kürzer...
$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 3-\lambda & 4 & -3 \\ 2 & 7-\lambda & -4 \\3 & 9 & -5-\lambda \end{vmatrix} = (3-\lambda )*(7-\lambda )*(-5-\lambda ) - (3-\lambda )*-4*9 + 4*-4*3 - 4*2+(-5-\lambda ) + -3*2*9 + -3*(7-\lambda )*3 = -x^3 + 5x^2 - 8x + 4 \end{eqnarray*}$

aber wir kann ich $\begin{eqnarray*} -(\lambda -1)(\lambda -2)^2 \end{eqnarray*}$ gleich von anfang an raus kriegen?
das macht die eigenwert bestimmung nämlich um ein ganzes stück einfacher und schneller...

18.07.2012, 14:58

Teilmengenmännchen

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$\begin{eqnarray*} A*v= \lambda*v <-> A*v-\lambda*v=0 <-> v*(A-\lambda*E)=0 \end{eqnarray*}$
wissen ja nach Lösbarkeit von LGS dass diese Gleichung mehr als eine Lösung besitzt, wenn
$\begin{eqnarray*} det(A-\lambda*E)= 0 \end{eqnarray*}$

Sonst besitzt die Gleichung nur die Lösung v=0. Widerspruch, da
$\begin{eqnarray*} v\neq 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow det(A-\lambda*E)=0 \end{eqnarray*}$
so hier können wir eine Eigenschaft der Determinante benutzen, detA=detB gdw. A ähnlich zu B ist.

A besitzt eine äquivalente obere Dreiecksmatrix
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow det(A-\lambda*E)=det(B-\lambda*E)= \begin{vmatrix} 1 & a_2 & a_3 \\ 0 & 2 & b_3 \\ 0 & 0 & 2 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

18.07.2012, 16:09

voodoo

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Zitat:

so hier können wir eine Eigenschaft der Determinante benutzen, detA=detB gdw. A ähnlich zu B ist.

kannst du das nochmal näher erklären und dann den schritt

Zitat:

A besitzt eine äquivalente obere Dreiecksmatrix $\begin{eqnarray*} \Rightarrow det(A-\lambda*E)=det(B-\lambda*E)= \begin{vmatrix} 1 & a_2 & a_3 \\ 0 & 2 & b_3 \\ 0 & 0 & 2 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

weil das sieht super interessant aus!

18.07.2012, 16:32

Teilmengenmännchen

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Ok also Sei A und B ähnlich, d.h. es existiert eine Matrix T (invertierbar) s.d.
A=T*B*T^-1
nun wende ich die Det() auf beiden Seiten an
det(A)=det(T*B*T^-1)
det(A)=det(T)*det(B)*det(T)^-1 nach den Eigenschaften der det
det(A)=det(T)*det(T)^-1*det(B)
det(A)=det(B)

also ähnliche Matrizen besitzen die gleiche Determinante (auch gleiche Eigenwerte,Spur,etc)

Du kannst ja die A umschreiben zu einer Matrix, die obere Dreiecksgestallt hat, dann wendest du diesen Satz an und kannst ganz einfach die Eigenwerte der Matrix B ablesen.

Ich seh gerade vielleicht ist es doch einfacher es so anzugehen:
1.
det(A-x*E) berechnen
2.
Nullstellen berechnen (pq-Formel und/oder andere Methoden)

Also das mit den ähnlichen Matrizen ist zwar ganz schön aber so geht das ja denk ich schneller :-) Hoffe ich hab dich nicht verwirrt

mfg

18.07.2012, 16:44

voodoo

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Zitat:

Du kannst ja die A umschreiben zu einer Matrix, die obere Dreiecksgestallt hat

wie mach ich das denn? steht dann nicht in den elementen a1, a2 und a3 auch irgendwas mit lambda?

die resultierende matrix mit "dreiecksgestallt" ist dann meine Matrix B und davon kann ich die Determinante berechnen?

ja also wenn ich das über die herkömmliche weise berechne, sprich mit (A-x*E) dann kommen da ja immer polynome drittengrades raus und dann is es immer so blöd erst eine Nullstelle zu raten und dann die polynomdivision zu machen und dann nochmal P-Q-Formel... das dauert dann immer seine Zeit, deshalb wollte ich wissen, ob es da nicht auch einen schnelleren Weg gibt, um die Eigenwerte an einem "intelligentem" Polynom ablesen zu können, sprich sowas wie $\begin{eqnarray*} -(\lambda -1)(\lambda +2)^2 \end{eqnarray*}$

18.07.2012, 17:17

Teilmengenmännchen

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Ja du hast recht ich merk gerade, dass du ja die Eigenwerte brauchst um die obere Dreiecksgestallt zu berechnen mhhh...
ich glaub du musst doch mit Polynomdivision arbeiten ... tut mir leid war wohl etwas zu schnell : D

18.07.2012, 18:12

voodoo

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ok wie wärs damit ich kann die regel von sarrus anwenden um die determinante auszurechnen...
wenn ich nun schlau vorgehe, weil ich, dass mein lambda^3 nur einmal entstehen kann, nämlich genau dann, wenn ich die hauptdiagonale entlang gehe...
meine lambda^2 können nur entstehen, wenn ich jeweils die Elemente der Hauptdiagonale zweimal mit lambda multipliziere, also folgt in meinem Polynom schonmal (jetzt in einer 3x3 Matrix):
$\begin{eqnarray*} -\lambda ^3 + \lambda ^2(3+7-5) \end{eqnarray*}$
meine lambda ersten grades können nur entstehen, wenn ich immer nur ein lambda in der Determinantenberechnung habe, will sagen:
$\begin{eqnarray*} \lambda ((7*-5)-(-4*9)+(3*-5)-(-3*3)+(3*7)-(4*2)) \end{eqnarray*}$
um die Elemente ohne lambda zu berechnen, kann ich einfach die Determinante von der Original matrix berechnen...
also alles zusammen:
$\begin{eqnarray*} -\lambda ^3 + \lambda ^2(3+7-5) + \lambda ((7*-5)-(-4*9)+(3*-5)-(-3*3)+(3*7)-(4*2)) + 4 = -\lambda ^3 + 5\lambda ^2 - 8\lambda + 4 \end{eqnarray*}$
weiß nicht ob das jetzt schneller geht als die Determinante zu berechnen oder sonstiges...

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