Gruppen der Ordnung p², p prim

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Slash123 Auf diesen Beitrag antworten »
Gruppen der Ordnung p², p prim
Hallo,

ich hoffe, es hat bald ein Ende mit der Gruppentheorie. *g*

Ich möchte zeigen, dass jede Gruppe der Ordnung p², wobei p eine Primzahl ist, abelsch ist. Folgendes habe ich:

Sei und . Ohne Einschränkung gilt , sonst . G ist dann also zyklisch und somit abelsch.
Also .

Da mit .

Angenommen, . Betrachte .

Es gilt auf alle Fälle .

Außerdem gilt . Offensichtlich gilt auch

mit

Also

Das heißt, wir haben jetzt p Elemente gefunden, die in liegen (alle Elemente aus der zyklischen Gruppe ). Wenn wir noch eins finden, muss es wegen der Untergruppeneigenschaft die ganze Gruppe sein.

Aber ich komm nicht drauf, welches Element das sein könnte.. ist mein Vorgehen überhaupt richtig, oder denke ich in eine falsche Richtung?

Viele Grüße und Danke für jede Antwort. =)
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Die Überlegungen sind zwar alle richtig und nicht schlecht, aber ich glaube so direkt kommt man hier nicht weiter.

Kennst du denn die Klassengleichung? Damit geht es recht schnell.
 
 
Slash123 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

vielen Dank für deine Antwort.

Klassengleichung sagt mir nix - aber ich kann erahnen, was du meinst, deswegen kanns sein, dass ich das unter einem anderen Namen kenne. Ich denke, du meinst, dass die Nebenklassen einer Untergruppe eine Partition der Gruppe liefern.

Ich versuchs mal so:

Angenommen, es gibt ein mit .

Dann hat genau Elemente.
Außerdem gilt .

Dann folgt (die Nebenklassen bilden eine Partition von , und da die Menge aller Nebenklassen von erzeugt wird, reicht es aus, diese Vereinigung zu nehmen).

Seien nun beliebig. Dann sind diese darstellbar als und

Und es ergibt sich

Weil aber , kann man vertauschen:

.

Passt das so? smile
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Slash123
Angenommen, es gibt ein mit .

Dann hat genau Elemente.


Hier steckt der Fehler. könnte auch Elemente haben, nämlich dann, wenn das Zentrum trivial ist.

Sonst wäre alles richtig (außer, dass du den h's am Ende bei und noch jeweils ne Potenz spendieren musst, das ändert aber gar nichts am Argument)

Was also nur noch zu zeigen ist: ist nicht trivial. Das ist normalerweise genau das, was man mit der Klassengleichung macht.

Wir imitieren das hier einfach mal ein bisschen:

Zu jedem betrachte . Man zeigt leicht, dass oder gilt, d.h. die Mengen bilden eine Partition von G, also , wobei ein Repräsentantensystem ist.

Nun zeigen wir noch, dass gilt (dabei ist der Zentralisator von g) und dann sind wir prinzipiell fertig.

PS: Wenn wir fertig sind, wirst du sehen, dass du genauso gut gleich zeigen kannst, dass eine Gruppe mit Elementen ein nichtriviales Zentrum hat.
Slash123 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für deine Antwort und sorry, dass meine Antwort ein wenig gedauert hat.

z.z. .

Sei

Setze
. Analog .

Aus folgt dann die Gleichheit der Mengen.

Also .

z.z. .

G wirkt auf sich selbst via Konjugation und ist die Konjugationsklasse von , d.h. die Bahn von . Der Stabilisator von ist .

Dann folgt aus dem Bahnensatz:

, woraus wiederrum die Behauptung folgt.

Mir ist klar, dass . Aber ich sehe nicht, wieso wir jetzt fertig sein sollten... hab versucht, mit der Siebformel von Poincaré-Silvester zu schließen, dass das Zentrum nicht trivial ist, aber das habe ich nicht hinbekommen.

Keine Ahnung, ob das so stimmt... Wäre dir sehr dankbar, wenn du da noch mal drüber schauen könntest. smile
BieneMaja Auf diesen Beitrag antworten »

Ich versuche mich gerade am gleichen Beweis und wollte wissen ob man nicht auch folgendermaßen argumentieren kann (ich vermute nicht, da der Beweis sonst recht einfach wär):

Seien beliebige Elemente. Ohne Einschränkung gelte:
1. Fall
Für das Inverse zu g gilt:
Für das Inverse zu h gilt:
Für das Produkt gilt dann:

2. Fall
Dann ist G zyklisch mit Erzeuger und deshalb auch abelsch
3. Fall
Wie beim 2.Fall ist dann G zyklisch und somit abelsch

Insgesamt ist also G in jedem Fall abelsch

Danke schon mal für eure Antworten
Gruß Wink
Biene
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von BieneMaja



Kannst du in dieser Zeile erklären, warum



sein soll? verwirrt
BieneMaja Auf diesen Beitrag antworten »

Dass man dieses Potenzgesetz auch für Gruppenelemente anwenden darf, hab ich im Internet gefunden: http://www.informatik.uni-bremen.de/~mic...nd_Aussagen.pdf (siehe Potenzen in Gruppen)
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, was gibt es nicht alles im Internet... Big Laugh

Multiplizier mal die angeblich in Gruppen gültige Gleichung



von links mit und von rechts her mit ... Was erhältst du da?
BieneMaja Auf diesen Beitrag antworten »

Dann erhalte ich
Aber was sagt mir das dann?
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Dass die Gruppe notwendigerweise abelsch sein müsste, damit



gelten kann, d.h., du setzt voraus, was du eigentlich erst zeigen willst! geschockt
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