kkt-punkte berechnen

18.07.2012, 15:46

mathys

kkt-punkte berechnen

Meine Frage:
hallo,
ich habe ein minimierungsproblem gegeben und soll davon alle kkt-punkte bestimmen. allerdings komme ich mit den nebenbedingungen nicht ganz klar. also das problem lautet folgendermaßen:
$\begin{eqnarray*} min f(x) = x_{1}^{2}x_{2} \end{eqnarray*}$ über $\begin{eqnarray*} M = \left\{ x \in \mathbb R^{2} : | x | ^{2} - 4 = 0 \right\} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
um die kkt-punkte zu bestimmen muss ich die kkt-bedingungen aufstellen.
$\begin{eqnarray*} gradient f + \sum\limits_{i=1}^n \lambda_{i} g_{i}=0 \end{eqnarray*}$
aber was ist denn in diesem fall mein g? muss ich $\begin{eqnarray*} g_{i}= | x |^{2} - 4 \end{eqnarray*}$ wählen?
wäre super, wenn mir jemand weiterhelfen könnte.

19.07.2012, 09:02

Ehos

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Bitte drücke dich deutlich aus! Was sind kkt-Punkte? Komisch, dieser Hang zu Abkürzungen hier.

Ich vermute, du sollst die Minima der Funktion f(xy,)=x²y auf dem Kreis x²+y²=2² finden. Dazu ersetze in der Funktion f(x,y)=x²y die Variable x² mit Hilfe der Kreisgleichung. Das ergibt die Funktion f(y)=(4-y²)y=4y-y³, welche nur von y abhängt. Differenzieren nach y und Null setzen ergibt die kritsichen Punkte. Das gehört eher in die Schulmathematik.

19.07.2012, 11:08

Cel

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Die Bezeichnung KKT-Punkt ist eine äußerst oft genutzte für einen Karush-Kuhn-Tucker-Punkt. Allerdings habe ich noch nie jemanden gesehen, der nicht KKT schreibt. Deine Vorgehensweise, ehos, bringt dem Threadersteller nichts, da eben die KKT-Bedingungen genutzt werden sollen.

@mathys: Stelle doch einmal die KKT-Bedingungen explizit mit Namen auf. Es gibt derer drei: Zulässigkeit, Gradientengleichung und komplementäre Schlupfbedingung. Du hast hier nur eine Gleichheitsrestriktion – was fällt dann weg? Dein Ansatz sieht nicht so schlecht aus, aber Gleichheitsnebenbedingungen werden üblicherweise mit h bezeichnet. Einen Index brauchst du nicht, es gibt nur eine Nebenbedingung.

Edit: Schulmathe ist das mitnichten.

19.07.2012, 15:51

mathys

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naja, schulmathe ist es wirklich nicht...

ok, dann mal schritt für schritt: eine ungleichheitsrestriktion habe ich nicht. also nur $\begin{eqnarray*} h(x) = | x | ^2 - 4 \end{eqnarray*}$ . also habe ich dann $\begin{eqnarray*} L_{x}(x,u,v) = \begin{pmatrix} 2x_1x_2 \\ x_1^{2} \end{pmatrix} + h'(x)^{T}v = 0 \end{eqnarray*}$ und ich habe noch $\begin{eqnarray*} u\geq 0, g(x) \leq 0, u^{T}g(x) = 0 \end{eqnarray*}$
aber wie leite ich denn mein h ab. da muss ich doch ne fallunterscheidung machen, oder relativiert sich das durch das quadrat?

20.07.2012, 19:43

Cel

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Zitat:

Original von mathys
also habe ich dann $\begin{eqnarray*} L_{x}(x,u,v) = \begin{pmatrix} 2x_1x_2 \\ x_1^{2} \end{pmatrix} + h'(x)^{T}v = 0 \end{eqnarray*}$

Korrekt. Das ist die Gradientengleichung.

Zitat:

Original von mathys
und ich habe noch $\begin{eqnarray*} u\geq 0, g(x) \leq 0, u^{T}g(x) = 0 \end{eqnarray*}$

Das fällt weg. Du hast kein g. Damit auch keine komplementäre Schlupfbedingung.

Zitat:

Original von mathys
aber wie leite ich denn mein h ab. da muss ich doch ne fallunterscheidung machen, oder relativiert sich das durch das quadrat?

Schreibe h aus. Mit der Definition des Betrages, dann steht da eine Funktion, deren Gradienten du recht einfach bestimmen kannst.

Edit: Außerdem fehlt die Zulässigkeit.

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