Gram-Schmidt, kurze Frage wegen Norm

18.07.2012, 17:53	Calam	Auf diesen Beitrag antworten »
Gram-Schmidt, kurze Frage wegen Norm Für meine Klausur morgen stoße ich beim Rechnen mit Gram-Schmidt (ONB) immer auf das gleiche Problem, wenn ich $\begin{eqnarray} \frac{1}{\|\|...\|\|} \end{eqnarray}$ berechnen soll. Konkretes Beispiel: Ich habe die Vektoren $\begin{eqnarray} x_{1}, x_{2}, x_{3} \end{eqnarray}$ und suche $\begin{eqnarray} v_{1}, v_{2}, v_{3} \end{eqnarray}$ als Basen im ganz einfachen Fall. Meine "Übergangsvektoren" nenne ich mal v'. Sei $\begin{eqnarray} v'_{2} = \frac{1}{\sqrt{6} } \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Mein $\begin{eqnarray} v_{3} \end{eqnarray}$ berechnet sich ja dann mit $\begin{eqnarray} v_{3} = \frac{1}{\|\|v'_{2}\|\|} v'_{2} \end{eqnarray}$ Wie ich das berechne, wenn $\begin{eqnarray} v'_{2} =\begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ wär, ist es ja einfach. Aber wie beziehe ich den Bruch mit der Wurzel da mit ein?
18.07.2012, 18:00	Math1986	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gram-Schmidt, kurze Frage wegen Norm Hallo, die Norm ist homogen, d.h. $\begin{eqnarray} \|\|\alpha\cdot v\|\|=\|\alpha\|\cdot\|\|v\|\| \end{eqnarray}$ Also einfach den Betrag des Faktors "rausziehen"
18.07.2012, 18:22	Calam	Auf diesen Beitrag antworten »
Aaaaah ich glaub, ich habe es verstanden. Also in meinem Beispiel rechne ich dann $\begin{eqnarray} v_{3} = \frac{1}{\|\|v_{2}'\|\|} v_{2}' \end{eqnarray}$ mal dem Vorfaktor $\begin{eqnarray} \frac{1}{\sqrt{6}} \end{eqnarray}$ also $\begin{eqnarray} \frac{1}{\sqrt{(-1)²+(-1)²+2²}}\frac{1}{\sqrt{6}}\begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ oder dem Kehrwert des Vorfaktors $\begin{eqnarray} \frac{1}{\sqrt{(-1)²+(-1)²+2²}}\sqrt{6}\begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ??
18.07.2012, 18:42	Math1986	Auf diesen Beitrag antworten »
Das stimmt beides niocht ganz Es ist es wohl einfacher, die Norm in einem separaten Schritt zu berechnen: $\begin{eqnarray} \|\|v'_{2}\|\| =\|\| \frac{1}{\sqrt{6} } \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}\|\|= \frac{1}{\sqrt{6} }\|\| \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}\|\| =\frac{1}{\sqrt 6}\sqrt{(-1)^2+(-1)^2+2^2}=\frac{\sqrt 6}{\sqrt 6}=1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} v_{3} = \frac{1}{\|\|v_{2}'\|\|} v_{2}' = \frac{1}{\sqrt{6} } \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$
18.07.2012, 19:17	Calam	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh alles klar, danke! Dann rechne ich wohl bei solchen Fällen lieber einzeln, also erst die Norm und dann den Rest

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