Interner Zinssatz

18.07.2012, 21:30

BonoVox

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Interner Zinssatz

Meine Frage:
Hallo,

ich habe ein Problem mit der Umformung folgender Gleichung

$\begin{eqnarray*} 450000 * \left(\frac{1-v^{5} }{r-1}\right) + 150000 *\left(\frac{1-v^{2} }{r-1} \right) * v^{5} + 120000 * v^{7} - 1500000<br /> \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
es soll das herauskommen, aber leider stehe ich auf der Leitung und komme einfach nicht darauf:

$\begin{eqnarray*} -9*v^{8} + 4*v^{7} - 10*v^{6} + 65*v -50 = 0 <br /> \end{eqnarray*}$

Das Ergebnis habe ich auch im Taschenrechner herausgefunden mit dem Solver, aber mein Problem ist das Umformen von Gleichungen, da bin ich echt schlecht.
Wäre sehr dankbar für eure Hilfe.
Viele Grüße
Martina

18.07.2012, 21:32

Cheftheoretiker

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RE: Interner Zinssatz
Aus einem Term wird plötzlich eine Gleichung? verwirrt

verwirrt

18.07.2012, 21:39

BonoVox

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RE: Interner Zinssatz
Bitte nicht erschlagen, das ist eine Aufgabe in meinem Mathebuch (Finanzmathematik)
es steht eben leider die Umformung nicht dabei und ich komme nicht drauf.
Sorry.

18.07.2012, 21:41

Cheftheoretiker

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RE: Interner Zinssatz
Ja schon klar, nur ist es nun eine Gleichung oder ein Term? verwirrt

verwirrt

18.07.2012, 22:28

BonoVox

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RE: Interner Zinssatz
Ok,

zuerst steht
KW (Kapitalwert) = 450000.....usw.

dann KW = 0 setzen und umformen der Gleichung liefert -->

-9*v^8 usw. (so steht`s halt da..: Erstaunt1

Erstaunt1

)

Muss ich da etwas ausmultiplizieren? Der Nenner ist ja der gleiche, wie krieg ich den weg? ich hab keine Idee wie ich dann plötzlich auf -9 komme (da hätte ich schon eine) aber das -10*v^6 ist mir ein Rätsel.

Grüße Martina

18.07.2012, 23:05

Mathe-Maus

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RE: Interner Zinssatz
Von der Gleichung

$\begin{eqnarray*} 450000 * \left(\frac{1-v^{5} }{r-1}\right) + 150000 *\left(\frac{1-v^{2} }{r-1} \right) * v^{5} + 120000 * v^{7} - 1500000 =0 \end{eqnarray*}$

kommst Du NICHT auf

$\begin{eqnarray*} -9*v^{8} + 4*v^{7} - 10*v^{6} + 65*v -50 = 0 <br /> \end{eqnarray*}$

1) Hast Du für r einen Wert eingesetzt ?
2) Oder ist die Ausgangsgleichung nicht vollständig ?

LG Mathe-Maus

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18.07.2012, 23:23

BonoVox

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RE: Interner Zinssatz
Die Gleichung steht so im Buch.

Es handelt sich um die Barwertformeln einer nachschüssigen Rente.
Diese sollen den erhaltenen Mehrertrag ergeben. Dazu kommt der Wiederverkaufswert (120000) abzüglich des Kapitaleinsatzes (1500000).

Für r habe ich nichts eingesetzt, da ist keine Angabe vorhanden.

Ich habe die untere Gleichung (-9*v^8 usw.) in den Solver am Taschenrechner eingetippt und es kommt dann ein interner Zinssatz von 19,2 % heraus.

Meine Problem ist aber die Umformung, die kapier' ich einfach nicht.

Grüße Martina

19.07.2012, 00:01

Mathe-Maus

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RE: Interner Zinssatz
Wo hast Du diese Gleichung her ?

$\begin{eqnarray*} -9*v^{8} + 4*v^{7} - 10*v^{6} + 65*v -50 = 0 <br /> \end{eqnarray*}$

Da das r hier nicht mehr auftaucht, MUSS dafür ein Wert eingesetzt worden sein !
Was ist eigentlich das r in der Ausgangsgleichung ?

20.07.2012, 15:11

BonoVox

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RE: Interner Zinssatz
Hallo,
ich schreib mal die ganze Aufgabe hin:
Ein Unternehmen hat die Anlage vor 7 Jahren um € 1,5 Millionen gekauft. Durch den Einsatz dieser Anlage konnte in den ersten fünf Jahren ein Mehrertrag von jährlich € 450.000,-- nachschüssig und in den näcshten zwei Jahren von € 150.000,-- pro Jahr nachschüssig erzielt werden. Am Ende des siebenten Nutzungsjahres wurde die Anlage um € 120.000,-- verkauft. Ermitteln Sie die Rendite (den internen Zinssatz) dieser Investition.
Ausführung: gesucht: i --> m=1; r=1+i; v= 1/(1+i)

$\begin{eqnarray*} <br /> KW = 450000 * \left(\frac{1-v^{5} }{r-1} \right) + 150000 * \left(\frac{1-v^{2} }{r-1} \right) * v^{5} + 120000 + v^{7} - 1500000<br /> \end{eqnarray*}$

KW = 0 --> Umformen der Gleichung liefert -->

$\begin{eqnarray*} <br /> -9 * v^{8} + 4 * v^{7} - 10 * v^{6} + 65 * v - 50 = 0 <br /> \end{eqnarray*}$

--> Gleichungslöser: i intern (=i eff = i dek.p.a.) = 19,2 %

So sieht das im Buch aus. Mehr habe ich nicht und leider weiß ich nicht wie ich dahin umforme.

Danke und Grüße Martina

20.07.2012, 15:16

BonoVox

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RE: Interner Zinssatz
Oh sorry da hat sich ein Fehler eingeschlichen:

$\begin{eqnarray*} <br /> KW = 450000 * \left(\frac{1-v^{5} }{r-1} \right) + 150000 * \left(\frac{1-v^{2} }{r-1} \right) * v^{5} + 120000 * v^{7} - 1500000<br /> \end{eqnarray*}$

Das + Zeichen ist natürlich ein *.

Danke Martina

20.07.2012, 23:01

mYthos

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1.
Du weisst hoffentlich, in welcher Beziehung r und v miteinander stehen, bzw. was der Unterschied zwischen den beiden ist:

$\begin{eqnarray*} v = \frac 1 r \end{eqnarray*}$

Demnach wirst du erkennen, dass du dich dazu entschließen musst, in der (an sich richtigen) Gleichung entweder auf r oder auf v überzugehen. Erst dann liegt die Gleichung in EINER Variablen vor und du kannst zu deren Lösung schreiten.

Du solltest daher unbedingt nachvollziehen können, wie die Gleichung 8. Grades in v entstanden ist.

2.
Es ist eine Tatsache, dass Gleichungen höheren Grades - diese hier liegt in allgemeiner Form im Grad 8 vor (!) - algebraisch nicht zu lösen ist.
Dazu ist ein Näherungsverfahren (Newton, Regula Falsi, ..) oder CAS (Solver) einzusetzen.

Übrigens stimmt die Lösung dieser (angegebenen) Gleichung nicht, richtig ist v = 0,8387, was einem Zinssatz von 16.13% entspricht.

mY+

21.07.2012, 16:38

BonoVox

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Ok, danke.
die Beziehung zwischen v und r ist mir bekannt.

Mir ist auch noch eingefallen, Hammer

Hammer

daß man die Formel umformen muss auf nur v-Werte oder r-Werte. also lt. Buch entweder v= r^-1 oder r= v^-1.

Na gut, da ich mich für v entscheiden "muss", weil ich ja das Ergebnis wissen will, wie es da steht, so habe ich nun mit $\begin{eqnarray*} \left(v^{-1}- 1 \right) \end{eqnarray*}$ ausmultipliziert und komme einfach nie auf die Gleichung 8. Grades.

Ich kann den Weg beim besten Willen nicht nachvollziehen, mein Kopf raucht schon.
Weiß nicht was ich da falsch mache. Bitte bitte um Hilfe.

Das die Gleichung nicht algebrisch zu lösen ist, war mir schon klar, nur verstehe ich eben nicht wie die Gleichung überhaupt entstanden ist. Nun ob die Lösung mit 19,2 % so stimmt, weiß ich nicht, kann ein Druckfehler sein, Papier ist geduldig. Bei meinem TR kommt auch 16,13% raus, hm.

Grüße Martina

21.07.2012, 20:12

mYthos

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Ersetze also unbedingt r durch 1/v

Da KW = 0 (Investition - Ertrag) sein muss, lautet die Gleichung nach Kürzung durch 30000

$\begin{eqnarray*} 4v^7 + 15v \frac{v^5-1}{v-1} + 5v^6 \frac{v^2-1}{v-1}-50 = 0 \end{eqnarray*}$

Hier sieht man schon, dass man durch v-1 kürzen könnte. Das wird man im Allgemeinen nicht machen, sondern mit v-1 multiplizieren, im Hinblick darauf, dass v-1 NICHT Null sein wird, also v ungleich 1 ist.
Aus diesem Grunde muss jedenfalls eine Lösung v = 1 sein, welche man auszuscheiden hat (für die paraktische Angabe würde sie auch keine Relevanz ergeben).

$\begin{eqnarray*} 4v^7(v-1) + 15v(v^5-1)+5v^6(v^2-1)-50(v-1)=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \ldots \end{eqnarray*}$

Kannst du jetzt weiter rechnen?

mY+

21.07.2012, 21:59

BonoVox

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Ok, ausrechnen ist kein Problem die Lage ist klar.
Eine letzte dumme Frage bitte:

Wie kommst du auf die 15v und die 5v^6? Ergibt sich das durch das Ersetzen von r durch 1/v oder liege ich da falsch?

Grüße Martina

21.07.2012, 22:16

BonoVox

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interner Zinssatz
Wenn ich das Ergebnis vom Solver 1/0,8387265076 rechne und dann 1 abziehe komme ich auf die 19,2 %.
Muss man das so rechnen, oder rechne ich 1 - 0,8387265076?

Grüße Martina

22.07.2012, 14:03

mYthos

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UUps, wie Recht du doch hast, da habe ich typisch nicht aufgepasst (meistens rechne ich nicht mit v Big Laugh

Big Laugh

), die 16,13 % wären der Degressionsfaktor, welcher hier nicht relevant ist.

Also richtig: r = 1/v ermitteln, dann 1 abziehen [ 1/v - 1 = (1 - v)/v ]

mY+

22.07.2012, 19:28

BonoVox

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Ich danke dir vielmals für die Hilfe, bin leider eine Niete in Gleichungen umformen.
Ich probier zwar immer stundenlang herum, aber manchmal reisst mir der Geduldsfaden.

Danke!!! Wink

Wink

Martina

22.07.2012, 21:28

mYthos

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Ach, darauf noch vergessen

Zitat:

Original von BonoVox
...
Wie kommst du auf die 15v und die 5v^6?
...

Ja, anstatt r --> 1/v setzen und dann wurde die ganze Gleichung durch 30000 gekürzt!
450000 durch 30000 gekürzt ergibt 15 und ebenso 150000, da kommt dann 5

mY+

22.07.2012, 22:14

BonoVox

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Hallo,

die Kürzung der Zahlen ist mir schon klar, ich meinte die v's.

Also aus:

$\begin{eqnarray*} 150000 * \frac{1 - v^{2} }{r - 1} * v^{5} \end{eqnarray*}$

wird

$\begin{eqnarray*} 5 v^{6} \frac{ v^{2} - 1 }{v - 1} \end{eqnarray*}$

wo kommt dann das $\begin{eqnarray*} 5 v^{6} \end{eqnarray*}$ her? Ist das die Ersetzung von r - 1 durch 1/v + $\begin{eqnarray*} v^{5} \end{eqnarray*}$ ?

Damit wäre dann wirklich alles restlos geklärt und vielleicht habe es dann sogar ich mal verstanden Big Laugh

Big Laugh

Grüße Martina

22.07.2012, 22:27

mYthos

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Nein, es wird einfach nur r durch 1/v ersetzt:

$\begin{eqnarray*} \frac{1 - v^2}{\frac 1 v - 1} v^5 = \frac{(1 - v^2)}{1 - v} v \cdot v^5 = ... \end{eqnarray*}$

Es bleibt dabei, dass die 1 im Zähler und Nenner vorne bleiben (warum umdrehen?, 1 - v ist positiv, weil v < 1)

So klar?

mY+

22.07.2012, 22:34

BonoVox

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Ja, aber

dieses zusätzliche kleine v vor dem $\begin{eqnarray*} v^{5} \end{eqnarray*}$ woher kommt das?

ich weiß ich bin schlimm....

Grüße Martina

22.07.2012, 22:43

mYthos

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Jaja, die lieben Doppelbrüche! Die machen oft Schwierigkeiten Big Laugh

Big Laugh

Zu Unrecht!

$\begin{eqnarray*} \frac 1 {\frac 1 v - 1} = \frac 1 {\frac {1-v} v} = \frac v {1 - v} \end{eqnarray*}$

Siehst du jetzt, woher das eine v kommt? Es ist durch die Division durch den unteren Bruch entstanden, dabei muss dieser Bruch umgekehrt werden (Division durch einen Bruch!).

So klar?

mY+

22.07.2012, 23:17

BonoVox

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Oh ja,
na jetzt ist wirklich alles klar. Irgendwann in meinem Leben werde ich die Mathematik acuh noch kapieren.... Hammer

Hammer

Danke jedenfalls für die Geduld!!!

Grüße Martina

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