Rang der Matrix bestimmen (Surjektivität)

19.07.2012, 15:05	Mathilim	Auf diesen Beitrag antworten »
Rang der Matrix bestimmen (Surjektivität) Tag Ich habe die Bedingungen: $\begin{eqnarray} x_1x_2-x_6^2=0<br /> x_1x_3-x_5^2=0<br /> x_2x_3-x_4^2=0<br /> x_1+x_2+x_3-1=0 \end{eqnarray}$ ich muss zeigen, dass die Matrix $\begin{eqnarray} \begin{bmatrix}<br /> x_2&x_1&0&0&0&-2x_6\\<br /> x_3&0&x_1&0&-2x_5&0\\<br /> 0&x_3&x_2&-2x_4&0&0\\<br /> 1&1&1&0&0&0<br /> \end{bmatrix} \end{eqnarray}$ eine Surjektive Abbildung beschreibt. Ich weiss dass ich dafür zeigen muss, dass der Zeilenrang immer Maximal ist, also in dem Fall immer 4. Ich schaffe es aber nicht das zu zeigen Wie muss ich so etwas anpacken? Bei den bisherigen Beispiele konnte man es immer gleich sehen.... Gruss
20.07.2012, 00:56	frank09	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rang der Matrix bestimmen (Surjektivität) Deine Matrix ist bereits in der Form einer "oberen Dreiecksmatrix", d.h. unterhalb der Diagonalen, die rechts oben beginnt, sind alle Elemente Null. Somit kann kein Vektor durch andere dargestellt werden. Sie sind linear unabhängig und damit ist der (Zeilen)-Rang maximal (=4).
20.07.2012, 09:21	Mathilim	Auf diesen Beitrag antworten »
ah ok jetzt sehe ich es ,danke! Ist das aber nicht für den falls die Werte von den x nie 0 werden??? Weil laut denn Bedingungen kann ich ja die x in der ersten Zeile so wählen, dass die erste Zeile komplett verschwindet??
20.07.2012, 13:18	Louis1991	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Mathilim, Im Fall x=(1,0,0,0,0,0) (beispielsweise) ist der Rang sicher nicht voll. Ich gehe mal davon aus, dass ursprünglich zu zeigen war, dass es sich hierbei um eine Umf. handelt? Wie sieht denn die ursprüngliche Aufgabenstellung aus? Manchmal sind da noch so Randbedingungen dabei, dass irgendwelche Werte nicht Null sein dürfen, o.ä. lg
20.07.2012, 13:27	Mathilim	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau das war die Aufgabe, scharfes auge! Sei $\begin{eqnarray} M\subset\mathbb{R}^6 \end{eqnarray}$ gegeben durch $\begin{eqnarray} M:=\lbrace (x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6)\in\mathbb{R}^6\|x_1x_2=x_6^2,x_1x_3=x_5^2,x_2x_3=x_4^2\text{ und }x_1+x_2+x_3=1\rbrace \end{eqnarray}$ Zeigen sie, dass M eine Untermannigfaltigkeit ist und bestimmen sie deren Dimension

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