Gleichung und Anzahl der Lösungen

20.07.2012, 19:05

Cheftheoretiker

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Gleichung und Anzahl der Lösungen

Hi Leute,

ich habe folgende Aufgabe die ich ehrlich gesagt nicht verstehe.

Zeigen Sie mit Hilfe des Satzes von Rolle: Die Gleichung

$\begin{eqnarray*} x^n+px+q=0 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} p,q \in\mathbb R \end{eqnarray*}$

hat für gerades $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ höchstens zwei

und für ungerades $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ höchstens drei reelle Lösungen.

Meine Ideen dazu sind die folgenden.

Der Satz von Rolle ist ja der folgende. Eine stetige Funktion auf dem Intervall $\begin{eqnarray*} [a,b] \end{eqnarray*}$ und auf $\begin{eqnarray*} (a,b) \end{eqnarray*}$ differenzierbar und wenn desweiteren gilt, $\begin{eqnarray*} f(a)=f(b) \end{eqnarray*}$ dann existiert ein $\begin{eqnarray*} x_0 \in (a,b) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f'(x_0)=0 \end{eqnarray*}$

Also plump ausgedrückt, wenn ich zwei Werte finde die $\begin{eqnarray*} f(a)=f(b) \end{eqnarray*}$ erfüllen, dann liegt zwischen den Werten eine waagrechte Tangente vor.
Was ich allerdings mit dem Satz bei dieser Aufgabe machen soll, weiß ich ehrlich gesagt nicht. verwirrt

verwirrt

Wenn ich mir zuerst den Fall für gerade $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ anschaue, dann hat es die Form,

$\begin{eqnarray*} x^{2n}+px+q=0 \end{eqnarray*}$

Was ist denn nun zu tun, ich weiß wirklich nicht weiter. unglücklich

unglücklich

20.07.2012, 19:08

IfindU

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RE: Gleichung und Anzahl der Lösungen
Interessant sind hier die Fälle, dass f(a) = f(b) = 0. Man kann sich also leicht überlegen, dass die Ableitung der Funktionen Nullstellen haben muss, wenn die Originalfunktion Nullstellen hat.

20.07.2012, 19:39

Cheftheoretiker

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RE: Gleichung und Anzahl der Lösungen

Zitat:

Original von IfindU
Man kann sich also leicht überlegen, dass die Ableitung der Funktionen Nullstellen haben muss, wenn die Originalfunktion Nullstellen hat.

Und wieso? verwirrt

verwirrt

20.07.2012, 19:50

HAL 9000

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Dann mal die Idee von IfindU ganz, ganz langsam:

Sind $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ zwei verschiedene Nullstellen von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ , dann ist ja $\begin{eqnarray*} f(a)=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(b)=0 \end{eqnarray*}$ . Das heißt insbesondere auch $\begin{eqnarray*} f(a)=f(b) \end{eqnarray*}$ , und dann sagt der Satz von Rolle, dass es zwischen $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ einen Wert $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f'(\xi)=0 \end{eqnarray*}$ geben muss.

Und das gilt jetzt für jedes Intervall zwischen zwei (aufeinander folgenden) Nullstellen...

20.07.2012, 21:28

Cheftheoretiker

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Das heißt doch dann, wenn wir den umgekehrten Weg gehen und sagen, die Ableitung hat genau dann Nullstellen, wenn $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ mindestens $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ mal den gleichen Wert annimmt.

$\begin{eqnarray*} f'(x)=2nx^{2n-1}+q \end{eqnarray*}$

Also, $\begin{eqnarray*} 2nx^{2n-1}+q=0 \end{eqnarray*}$

Das heißt aber doch nicht das es Nullstellen von $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ sein müssen, schließlich wären ja auch andere identische Werte möglich. verwirrt

verwirrt

20.07.2012, 22:11

carm561

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HAL scheint nicht da zu sein, also versuche ich es mal: Du hast recht, es muss keine Nullstellen geben, x^2+2x+3 ist ein Beispiel. Die Aufgabe spricht auch nur von höchstens zwei oder drei Nullstellen.
Edit: Deine Umkehrung erscheint mir auch nicht richtig zu sein. Die Ableitung von f(x)=x^3 wird Null, f nimmt jeden Wert aber nur einmal an.

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20.07.2012, 22:14

Cheftheoretiker

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Ja und wie zeigt man nun das es höchstens zwei sind?

Zitat:

Edit: Deine Umkehrung erscheint mir auch nicht richtig zu sein. Die Ableitung von f(x)=x^3 wird Null, f nimmt jeden Wert aber nur einmal an.

Wir reden doch hier für gerade Exponenten. verwirrt

verwirrt

20.07.2012, 22:22

HAL 9000

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Versuche einen indirekten Beweis: Nimm also an, dass $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ für gerade n mindestens drei bzw. für ungerade n mindestens vier reelle Nullstellen hat. Und dann nutze das hier

Zitat:

Original von HAL 9000
Und das gilt jetzt für jedes Intervall zwischen zwei (aufeinander folgenden) Nullstellen...

Wirklich keine Idee, wie man das dann zum Widerspruch führt??? unglücklich

unglücklich

20.07.2012, 22:30

carm561

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@hangman: Sry, hatte übersehen, dass du da 2n statt n geschrieben hattest. Dann zieht mein Gegenbeispiel nicht.
In der Aufgabe wird gerades und ungerades n betrachtet, daher mein Einwand.
Also gerades n: Wie HAL schon sagte muss zwischen zwei benachbarten Nullstellen von f eine Nullstelle von f´ liegen.
Wie sieht es mit der Anzahl von Lösungen der Gleichung $\begin{eqnarray*} 0=f'(x)=2nx^{2n-1}+p \end{eqnarray*}$ aus?

Edit: @HAL habe nicht gesehen, dass du wieder da bist. Dann bin ich weg Wink

Wink

20.07.2012, 22:39

Cheftheoretiker

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Okay, ich habe einen Ansatz. Tanzen

Tanzen

Ich schließe von der Ableitung auf die Originalfunktion.

Also,

Nach dem Satz von Rolle gilt wenn $\begin{eqnarray*} f(a)=f(b)=0 \end{eqnarray*}$ dann gibt es auch ein $\begin{eqnarray*} x_0\in\mathbb (a,b) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f'(x_0)=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2nx^{2n-1}+p=0 \end{eqnarray*}$

D.h. ich ich schaue mir die Nullstellen der Ableitung an.

$\begin{eqnarray*} 2nx^{2n-1}=-p \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^{2n-1}=-\frac{p}{2n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x=\sqrt[2n-1]{-\frac{p}{2n}}\vee x=-\sqrt[2n-1]{-\frac{p}{2n}} \end{eqnarray*}$

D.h. gibt es zwei Lösungen, dann gibt es mögliche 3 Nullstellen der Originalfunktion. Hier darf es also nur eine Lösung geben...

Und nun? verwirrt

verwirrt

20.07.2012, 22:54

Mystic

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Zitat:

Original von hangman
D.h. ich ich schaue mir die Nullstellen der Ableitung an.

$\begin{eqnarray*} 2nx^{2n-1}=-q \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^{2n-1}=-\frac{q}{2n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x=\sqrt[2n-1]{-\frac{q}{2n}}\vee x=-\sqrt[2n-1]{-\frac{q}{2n}} \end{eqnarray*}$

Und nun? verwirrt

verwirrt

Und nun mach mal die Probe, was deine zweite Lösung betrifft, indem du das Ergebnis zur (2n-1)-ten Potenz erhebst... traurig

traurig

20.07.2012, 23:01

Cheftheoretiker

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Zitat:

Und nun mach mal die Probe, was deine zweite Lösung betrifft, indem du das Ergebnis zur (2n-1)-ten Potenz erhebst... traurig

Nicht nur du hast Tränen in den Augen. Big Laugh

Big Laugh

Wie meinst du das denn mit zur Potenz erhebst, eventuell so? verwirrt

verwirrt

$\begin{eqnarray*} \left(-\sqrt[2n-1]{-\frac{p}{2n}}\right)^{2n-1} \end{eqnarray*}$

Ich stelle mich gerade etwas doof an. unglücklich

unglücklich

20.07.2012, 23:10

Mystic

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Ja, genau... Da sollte ja dann eigentlich

$\begin{eqnarray*} -\frac q{2n} \end{eqnarray*}$

dabei herauskommen, oder nicht? verwirrt

verwirrt

20.07.2012, 23:12

Cheftheoretiker

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Und wo ist das Minus hin? verwirrt

verwirrt

20.07.2012, 23:15

Mystic

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Ich meinte eigentlich, das sollte rauskommen, aber kommt eben nicht heraus, weil das in Wahrheit keine Lösung deiner Gleichung ist... Lehrer

Lehrer

Edit: Versuch doch mal x³=-8 nach deiner Methode zu lösen...

20.07.2012, 23:22

Cheftheoretiker

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Jetzt habe ich es! geschockt

geschockt

D.h. die Ableitung hat nur eine Nullstelle und demnach hat $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ auch höchstens zwei Nullstellen.

Der Beweis für die ungeraden Exponenten bekomme ich nun selber hin. Vielen Dank für die Hilfe, ich habe nun eine schöne Anwendung für den Satz kennengelernt. smile

smile

Viele Grüße, hangman. Wink

Wink

21.07.2012, 00:26

Cheftheoretiker

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Ich habe noch eine Frage, für Gleichungen höheren Grades wird es denke mal schwierig mit diesen Satz einen Beweis für die maximale Anzahl der Nullstellen zu führen, liege ich damit richtig?

21.07.2012, 00:31

Mystic

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Zitat:

Original von hangman
Ich habe noch eine Frage, für Gleichungen höheren Grades wird es denke mal schwierig mit diesen Satz einen Beweis für die maximale Anzahl der Nullstellen zu führen, liege ich damit richtig?

Verstehe diese Frage irgendwie nicht, denn es war ja nicht der Grad, der hier beschränkt war, sondern die Form des Polynoms...

21.07.2012, 00:41

Cheftheoretiker

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Zitat:

Verstehe diese Frage irgendwie nicht, denn es war ja nicht der Grad, der hier beschränkt war, sondern die Form des Polynoms...

Ich meine das so,

$\begin{eqnarray*} x^{n+2}+bx^{n+1}+cx^{n}+dx+e=0 \end{eqnarray*}$

Das ist ja durchaus nicht mehr so leicht zu zeigen... verwirrt

verwirrt

Aber auch bei anderen Funktionen kann man ja so gesehen stets die Nullstellen der Ableitung überprüfen - wenn die leichter zu berechnen sind - um zu schauen ob überhaupt Nullstellen existieren können.

Ich finde das eine ziemlich schöne und elegante Methode. Ups

Ups

21.07.2012, 02:17

IfindU

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Die Ableitung gibt nur eine obere Schranke für die Anzahl der Nullstellen. Und schon bei allgemeinen Polynomen nimmt es sich nicht viel die Nullstellen der Ableitung zu berechnen oder gleich die Nullstellen der Funktion selbst.

Wenn du die Funktion f(x) = sin(x) + 2 betrachten willst, so hat sie keine Nullstelle, versuchst dus mit dem Satz von Rolle bekommst du raus, dass sie höchstens abzählbar viele Nullstellen besitzt. Viel ungenauer könnte die Information kaum sein.

21.07.2012, 08:25

Bernhard1

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Zitat:

Original von hangman
$\begin{eqnarray*} f'(x)=2nx^{2n-1}+q \end{eqnarray*}$

Mir fällt abschließend auf, dass in dieser Formel anstelle des q ein p stehen sollte...

21.07.2012, 08:37

Mystic

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Zitat:

Original von Telefonmann1

Zitat:

Original von hangman
$\begin{eqnarray*} f'(x)=2nx^{2n-1}+q \end{eqnarray*}$

Mir fällt abschließend auf, dass in dieser Formel anstelle des q ein p stehen sollte...

Ja, ist eine gute abschließende Bemerkung, welche noch einmal und in nuce ale Irrrungen und Wirrungen hier schön zusammenfasst... Augenzwinkern

Augenzwinkern

21.07.2012, 11:22

Cheftheoretiker

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Alles klar, vielen Dank! Big Laugh

Big Laugh

Viele Grüße, hangman. Wink

Wink

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