Komplexe Zahlen isomorph zu quadratischer Matrix

21.07.2012, 12:44	huberhainer	Auf diesen Beitrag antworten »
Komplexe Zahlen isomorph zu quadratischer Matrix Zeigen Sie, dass die komplexen Zahlen a + ib isomorph sind zu den speziellen quadratischen Matrizen der Form $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Wie mache ich das?
21.07.2012, 12:49	DP1996	Auf diesen Beitrag antworten »
Indem du zeigst, dass ein bijektiver Ringhomomorphismus zwischen den beiden Körpern existiert. e: Der darüber hinaus auch noch das Einselement auf das Einselement abbildet.
21.07.2012, 13:21	huberhainer	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für den Tipp aber ich habe keine Ahnung wie ich das machen soll. Könntest du mir bitte noch ein bisschen auf die Sprünge helfen.
21.07.2012, 13:36	DP1996	Auf diesen Beitrag antworten »
Nimm doch mal die Abbildung $\begin{eqnarray} f:M^{2\times 2}\rightarrow \mathbb{C}:\begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix}\rightarrow a+ib \end{eqnarray}$ , wobei ich mit $\begin{eqnarray} M^{2\times 2} \end{eqnarray}$ jetzt einfach mal den Körper, den diese Matrizen bilden, bezeichne. (Darfst du die Körpereigenschaft dieser Menge eigentlich als bekannt voraussetzen, sonst musst du auch das noch zeigen?) Was musst du überprüfen, um zu zeigen, dass das ganze ein Ringhomomorphismus ist?
21.07.2012, 15:29	huberhainer	Auf diesen Beitrag antworten »
ich muss wahrscheinlich zeigen das $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix} -> a + ib->\begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ gilt.
21.07.2012, 16:26	DP1996	Auf diesen Beitrag antworten »
Du musst zeigen, dass diese Abbildung ein Ringhomomorphismus ist, also die vier in dem Link angegebenen Punkte gelten.
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21.07.2012, 16:29	Captain Kirk	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein kurzer Einwurf: Es könnte hier auch lediglich noch einem $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ -Vektorraumisomorphismus gefragt sein. Und wieder weg.
21.07.2012, 16:42	DP1996	Auf diesen Beitrag antworten »
@Captain Kirk: Da die skalare Multiplikation aber nur ein Spezialfall der Muliplikation in $\begin{eqnarray} \mathbb{C} \end{eqnarray}$ ist, kann man auch gleich das Produkt zweier Vektoren betrachten, die beiden Körper sind nämlich wirklich isomorph. Tatsächlich ist die Herangehensweise über die Matrizen eine Möglichkeit, die komplexen Zahlen zu konstruieren.
21.07.2012, 16:50	Captain Kirk	Auf diesen Beitrag antworten »
@DP1996: Dessen bin ich mir allem bewusst. Aber es geht hier ja nicht um mich sondern um die Aufgabe. Die Frage ist doch was soll in der Aufgabe wirklich gezeigt werden. Aufgrund der anderen Posts von huberhainer hege ich den Verdacht, dass in der besuchten Vorlesung der Begriff eines Rings nie gefallen ist.

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