Abbildung Eigenschaften eines Skalarprodukts

21.07.2012, 12:54

huberhainer

Abbildung Eigenschaften eines Skalarprodukts

In den Übungen hatten wir gesehen, dass z.B. die Menge aller stetigen Funktionen f : [0; 1] ! R einen Vektorraum V bilden. (Die Addition war dabei definiert
als gliedweise Addition der Funktionswerte, analog die skalare Multiplikation.)
Zeigen Sie, dass die Abbildung
V $\begin{eqnarray*} \times \end{eqnarray*}$ V -> R
definiert durch
(f; g) -> $\begin{eqnarray*} \int_1^0 \! f(x) * d(x) \, dx \end{eqnarray*}$
die Eigenschaften eines Skalarproduktes hat.
Zur Erinnerung: ein Skalarprodukt hat folgende Eigenschaften:
i) (f + f') * g = f * g + f' * g für alle f; f'; g E V .
ii) (c * f) * g = c * (f * g) für alle f; g E V und für alle c E R.
iii) f * g = g * f für alle f; g E V .
iv) f *f >= 0 für alle f 2 V und f * f = 0 genau dann, wenn f = 0 (Nullfunktion).
Zusatzfrage: Welche Form hat die Cauchy-Schwartzsche Ungleichung in diesem
speziellen Fall?
Hinweis: Allgemein hat für ein Skalarprodukt x * y (x; y E V ) die Cauchy-
Schwartzsche Ungleichung die Form
$\begin{eqnarray*} |x*y|^{2} \leq ||x||^{2} * ||y ||^{2} \end{eqnarray*}$

Was muss ich tun?

21.07.2012, 12:57

Captain Kirk

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Das ist komplett unlesbar.

Und wie wäre es mal damit deine eigenen Ideen zur Aufgabe darzulegen?

21.07.2012, 13:13

Captain Kirk

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Jetzt ist es etwa besser lesbar.
Ich vermute das Skalarprodukt soll
$\begin{eqnarray*} (f,g)=\int_0^1 f(x)g(x) dx \end{eqnarray*}$
sein.

Zitat:

Was muss ich tun?

Die Eigenschaften nachrechnen. Das ist doch nicht die erste Aufgabe dieser Art, oder?
Scheinbar schreibt ihr auch f*g für (f,g).
(was insbesondere hier eine saublöde Notation ist)

P.S $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$

21.07.2012, 13:36

huberhainer

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Ja das ich die Eigenschaften nachrechnen muss ist mir klar aber ich scheitere daran die Ansätze aufzustellen.

21.07.2012, 13:47

Captain Kirk

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Zitat:

Ja das ich die Eigenschaften nachrechnen muss ist mir klar aber ich scheitere daran die Ansätze aufzustellen.

Ich hab' keine Ahnung wie ich dir weiterhelfen kann. Woran scheitert es denn genau?
Beim Definitionen einsetzen?
Schreib doch mal hin wie weit du kommst.

21.07.2012, 15:42

huberhainer

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Mein Problem ist das ich gar nichts hinbekomme:

Wie krieg ich
$\begin{eqnarray*} \left(f,g\right)= \int_0^1 \! f(x) g(x)\, dx \end{eqnarray*}$

In die Form von (f + f') * g = f * g + f' * g?

21.07.2012, 15:58

Captain Kirk

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Ich schreib die Bedingung mal anders, mit <f,g> fürs Skalarprodukt.

Zitat:

(f + f') * g = f * g + f' * g?

Wird dann zu:
$\begin{eqnarray*} < (f+h),g >= < f,g> + <h,g> \end{eqnarray*}$
Und jetzt die Def. des Skalarprodukts
$\begin{eqnarray*} <f,g> =\int_0^1 f(x)g(x) dx \end{eqnarray*}$
einsetzen.

21.07.2012, 16:12

huberhainer

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Genau das Einsetzen bereitet mir ja die Probleme.

21.07.2012, 16:19

Captain Kirk

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$\begin{eqnarray*} < (f+h),g >=\int_0^1 (f+h)(x)g(x) dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} < f,g> + <h,g>=\int_0^1 f(x)g(x) dx +\int_0^1 h(x)g(x) dx \end{eqnarray*}$

Und jetzt solltest du mal anfangen selber was zu tun.

Eine Anmerkung:
Wenn du nicht Definitionen einsetzen kannst, kannst du die Klausur auf die du gerade presslernst vergessen. Mal ganz abgesehen davon, dass du im weiteren Studium massivste Probleme haben wirst.

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