Geraden und Ebenendarstellung

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Cositangens Auf diesen Beitrag antworten »
Geraden und Ebenendarstellung
Hi,

Gegeben seien im R^3 die Gerade



sowie der Punkt P = (1,1,1). bestimmen Sie die Hesse'sche Normalform derjenigen Ebene E, die zu g normal ist und die P enthält.

"Die zu g normal ist" Heißt das Orthogonal?

Ist die Lösung so richtig:

mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Fast, aber es fehlt noch etwas.

mY+
Cositangens Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für deine Antwortsmile

Okay dann fehlt da noch die normierung des Normalenvektors.

Kam mir irgendwie sehr einfach vor. Okay noch eine(bzw zwei fragen) erstmal:

Das was ich gemacht hab ist nur die Normalform oder? Weil irgendwie konnte man doch aus der Hesse'schen Normalform den Abstand vom Urpsrung direkt ablesen?

Desweiteren hab ich hier noch eine Aufgabe:



und



Ich soll die Ebene bestimmen die durch den Urpsung geht und zu den Geraden parallel ist. Außerdem den orientierten Abstand zu den Geraden.

Ich weiß erstmal gar nicht ob die Ebene zu beiden gerade Gleichzeitig parallel sein soll...das würde doch nur gehen wenn die Geraden sich nicht schneiden, oder?

Desweiteren wäre eine ebene zu einer Gerade parallel wenn der Richtungsvektor der Gerade und der Normalenvektor der Ebene orthogonal sind.

Also (ich geh jetzt davon aus das die eben zu beiden parallel sein soll):




Unterbestimmt setze

Dann ergibt sich: und

Also die Ebene :

Für den orientierten Abstand bruach ich dann ja wieder die Hess'sche Normalform:

So da weiß ich jetzt nicht(hab nochmal im Skript geschaut mit normierten Normalenvektor...aber ich weiß jetzt nicht wie ich auf mein c komme
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Cositangens
Danke für deine Antwortsmile

Okay dann fehlt da noch die normierung des Normalenvektors.
...

Nein, das war nicht gemeint. Du solltest eine Gleichung erhalten! Welchen Wert hat denn dieses skalare Produkt?
_______________

Zum anderen:
Es gibt bei zwei gegebenen Geraden auch dann eine zu beiden Geraden parallele Ebene, wenn sich die beiden Geraden NICHT schneiden, also kreuzend (windschief) sind. In diesem Falle steht diese Ebene senkrecht zu dem gemeinsamen Normalvektor der beiden Geraden (--> Kreuzprodukt der Richtungsvektoren).

mY+
Cositangens Auf diesen Beitrag antworten »

Das Sklarprodukt hat den Wert 1...leider weiß ich nun nicht mehr worauf du hinauswillst..also mir ist schon klar das das noch nicht die Hesse'sche Normalform ist weil die laut Skript halt:

n(normiert)*x-c=0 ist

Allerdings komm ich nun nicht darauf was genau ich nun suche oder falsch mache.



_________________________
Zum anderen Problem...ja das mit dem Windschief ist mir einleuchtend nur wenn sich zwei geraden schneiden gibt es KEINE parallele Ebene richtig?

Gut das mit den richtunsgvektoren der Gerade war mir neu:

Dann ist das Kreuzprodukt Eine Senkrechte Ebene zu diesem Kreuzprodukt hätte einen linear abhängigen Normalenvektor mit dem Urpsrung ergibt sich:

mYthos Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Geraden und Ebenendarstellung
Was in deiner "Gleichung" fehlte (es war ja KEINE),

Zitat:
Original von Cositangens
...

war das Gleichheitszeichen und die Null, denn dieses Skalarprodukt ist 0, weil die Vektoren senkrecht aufeinander stehen.



_________________

Zum anderen:
Mit dem Normalvektor bin ich einverstanden, aber die Gleichung ist so nicht richtig. Weshalb steht links die Variable x? Dort hat ausser E: überhaupt nichts zu stehen.

Und: Warum soll es zu zwei einander schneidenden Geraden KEINE Parallelebene geben? Kannst du das näher erläutern?
Auch in diesem Fall wird so wie vordem vorzugehen sein ...

mY+
 
 
Cositangens Auf diesen Beitrag antworten »

Achso geschockt ja ergibt sinn.

Und bei dem anderen war ich wohl durcheinandergekommen weil in der Parameterdarstellung der Vector x hinter dem gleichzeichen steht.
Schludrigkeit meierseits.

Bezüglich der Geraden und Ebenen hast du recht, ich hatte mir das falsch vorgestellt.
Wenn die Gerade sich zB in der xy Ebene schneiden und dort verlaufen ist ja immernoch jede zu z orthogonale Ebene parallel, das hatte ich nicht bedacht.


Gestatte mir noch eine Frage:

Angenommen ich hab diese Ebene:



Und ich will daraus die Hesse'sche Normalform bestimmen wie genau läuft das nun ab:

Normalenvektor:

normieren liefert


und dann n*a=c ? also lustigerweise gerade 0..

Wäre die Hesseche Normalform dann:

?

Irgendwo hab ich mal gelesen das "c" laut definition immer positiv sein muss stimmt das?

Danke dir für antworten
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Der Normalvektor stimmt nicht. Er muss (1; -2; 6)T lauten.
Und c kann selbstverständlich jede beliebige reelle Zahl werden.
______

Die HNF ist in jedem Fall so nicht richtig.
Wie du auf kommst, ist für mich unverständlich.

mY+
Cositangens Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm okay, dann deute ich das Skript irgendwie falsch. wie ist denn die HNF definiert dann im Skript bei uns steht sowas:

soll HNF sein wobei n normiert ist und c als definiert ist wobei n der Normelenvektor der Ebene in Punktrichtungsform ist und a der Stützvektor eben jener Ebene.

Versteh ich das dann falsch? Wie muss die Ebene denn sonst heißen?

In unserem Skript steht weiterhin das c den Abstand zum Ursprung darstellt.

Setzt man nun einen Punkt in die Ebenengleichung ein erhält man den Abstand und die Orientierung des Punktes:
Dann liegt der Punkt auf der Gleichen Seite(Vom Urpsung aus gesehen) wie die Ebene. <0 auf der anderen Seite
Cositangens Auf diesen Beitrag antworten »

Oh, entschuldige, es muss natürlich:

heißen.

Demzufolge in den beiden Beiträgen oben auch...macht es dann sinn?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Na sicher, JETZT! Du wirst einsehen, dass zwischen + und * ein gewichtiger Unterschied besteht, oder nicht? Dieser Fehler war schon eklatant.

Sonst ist so weit alles klar?

mY+
Cositangens Auf diesen Beitrag antworten »

Ja das ist schon ein kleiner unterschied Big Laugh

Aber so stimmt die HNF dann ja?

Ja sonst ist erstmal alles klar, falls weitere Probleme auftreten melde ich mich wiedersmile

Danke dir recht herzlichsmile
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Die HNF stimmt ansonsten.

Aus wird beim Normieren dann





mY+
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