Doppelpost! Muss man hier das Konfidenzintervall berechnen?

21.07.2012, 21:17	bandchef	Auf diesen Beitrag antworten »
Muss man hier das Konfidenzintervall berechnen? edit von sulo: Wurde auch hier nachgefragt: http://matheraum.de/forum/Konfidenzintervall/t904341 Hi Leute, ich hab Probleme mit dieser Aufgabe: Ein Gerät enthält ein elektronisches Element, dessen Funktionieren für die Arbeit des Gerätes erforderlich ist. Fällt das Element aus, so wird es sofort durch ein Reserveelement ersetzt — dieses ggf. durch ein weiteres Reserveelement usw. Aufgrund langjähriger Erfahrung weiß man, daß die zufälligen Lebensdauern der einzelnen Elemente als stochastisch unabhängige und identisch verteilte Zufallsvariablen mit Erwartungswert ¼ = 50 Std. und Standardabweichung Ã = 10 Std. modelliert werden können. Bestimmen Sie (approximativ) die kleinstmögliche Anzahl von Reserveelementen, die erforderlich ist, um mit einer Mindestwahrscheinlichkeit von 0,99 eine ununterbrochene Arbeit des Gerätes u ber einen Zeitraum von 5000 Stunden zu garantieren. Ich hab einige Probleme mit der Aufgabe. 1. Muss ich hier das Konfidenzintervall anwenden? Wenn ja dann hätt ich das so gemacht: Aus der Angabe hab ich das hier abgelesen: $\begin{eqnarray} 1 - \alpha = 0,99 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \alpha = 0,01 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{\alpha}{2} = 0,005 \end{eqnarray}$ n = 5000h $\begin{eqnarray} \mu = 50h \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sigma = 10h \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} P\left(\overline{x} - \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \cdot Z_{1-\frac{\alpha}{2}} \leq \mu \leq \overline{x} + \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \cdot Z_{1-\frac{\alpha}{2}}\right) = 1 - \alpha \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} P\left(\overline{x} - \frac{10h}{\sqrt{5000h}} \cdot Z_{1-0,005} \leq \mu \leq \overline{x} + \frac{10h}{\sqrt{5000h}} \cdot Z_{1-0,005}\right) = 0,99 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} P\left(\overline{x} - 0,1414 \cdot 0,8401 \leq \mu \leq \overline{x} + 0,1414 \cdot 0,8401\right) = 0,99 \end{eqnarray}$ Wie aber berechnet sich nun der Mittelwert $\begin{eqnarray} \overline{x} \end{eqnarray}$ ? Könnt ihr mir helfen?
22.07.2012, 02:47	frank09	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Muss man hier das Konfidenzintervall berechnen? Es geht hier um die Gesamtlebensdauer von n Elementen. Sei $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ die Lebensdauer von einem Element und $\begin{eqnarray} Y_n=X_1+X_2+...X_n \end{eqnarray}$ die Lebensdauer von n Elementen, dann ist n gesucht: $\begin{eqnarray} P(Y_n\geq 5000)=0,99 \end{eqnarray}$ Zu bestimmen ist also zunächst $\begin{eqnarray} E(Y_n) \end{eqnarray}$ sowie $\begin{eqnarray} \sigma_n=\sqrt{Var(Y_n)} \end{eqnarray}$ .
22.07.2012, 12:14	bandchef	Auf diesen Beitrag antworten »
Damit ich den Erwartungswert $\begin{eqnarray} E(Y_n) \end{eqnarray}$ und Standardabweichung $\begin{eqnarray} \sigma_n = \sqrt{Var(Y_n)} \end{eqnarray}$ berechnen kann, muss ich erst mal wissen, welcher Verteilung die Aufgabe unterliegt. Geschrieben steht ja, dass ich es "approximativ" berechnen soll. Was heißt das nun in Bezug auf die zu Wählende Verteilung? Ist die Aufgabe Standardnormalverteilt? Falls sie es ist kann ich ja schreiben: $\begin{eqnarray} X_i \sim N(\mu; \sigma) = X_i \sim N(50h; (10h)^2) \end{eqnarray}$ Laut Wikipedia ist die Varianz der Standardnormalverteilung einfach $\begin{eqnarray} (\sigma)^2 \end{eqnarray}$ . Bei mir wäre also $\begin{eqnarray} \sigma_n = \sqrt{Var(Y_n)} = \sqrt{\sigma^2} = \sqrt{(10h)^2} = 10h = \sigma \end{eqnarray}$ . Der Erwartungswert der in Wikipedia angegeben ist, ist anscheinend auch wieder der Erwartungswert: $\begin{eqnarray} E(Y_n) = \mu = 50h \end{eqnarray}$ Passt das soweit?
22.07.2012, 17:15	frank09	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Summe einer großen Zahl identisch verteilter ZVen ist annähernd normalverteilt. Die einzelne ZV kann dabei beliebig verteilt sein! Es sollte klar sein, dass die erwartete addierte Lebensdauer von 2 Elementen doppelt so groß ist wie von einem, also $\begin{eqnarray} E(Y_2)=2E(X) \end{eqnarray}$ Ebenfalls verdoppelt sich die Varianz: $\begin{eqnarray} Var(Y_2)=2Var(X) \end{eqnarray}$ Nun übertrag das mal auf $\begin{eqnarray} Y_n \end{eqnarray}$ .
22.07.2012, 20:48	bandchef	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn ich das nun mal auf $Y_n$ übertrage, dann seh ich das so: $\begin{eqnarray} E(Y_n) = n \cdot E(x) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} Var(Y_n) = n \cdot Var(Y_n) \end{eqnarray}$ Soweit richtig? Nun, da ich weiß, dass es sich um eine gleichverteilung handelt, muss ich natürlich mit den entsprechenden Formeln arbeiten: $\begin{eqnarray} E(Y_n) = n \cdot E(x) = n \cdot \frac{1}{2}(a+b) = n \cdot \frac{1}{2}(1+n) = \frac{1}{2}n^2+\frac{1}{2}n \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} Var(Y_n) = n \cdot Var(Y_n) = n \cdot \frac{1}{12}(n-1)^2 = \frac{1}{12}n^3-\frac{1}{6}n^2+\frac{1}{12}n \end{eqnarray}$ Was sagt mir das nun soweit? Wie geht's weiter?
22.07.2012, 22:54	frank09	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich glaube, du hast da was verwechselt: Gleichverteilung heißt, jede Ausprägung kommt gleichwahrscheinlich vor. D.h. z.B. beim Würfeln. Der Graph der Dichtefunktion ist eine waagerechte Gerade. Was ich meinte ist, dass die Dichtefunktionen $\begin{eqnarray} f_{X_1}=f_{X_2}=...f_{X_n}=f_{X} \end{eqnarray}$ von jedem Element identisch sind. Es ist also gleichwahrscheinklich, dass das erste Element x Std. hält wie dass das zweite x Std. hält. Wie die Dichte von $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ aussieht, darüber gibt es keine Angabe. Auf jeden Fall gilt-wie schon erwähnt-, dass deren Summe $\begin{eqnarray} Y_n \end{eqnarray}$ annähernd normal-, aber nicht gleichverteilt ist: $\begin{eqnarray} Y_n \sim N(n \cdot \mu; \sqrt{Var(Y_n)})\Rightarrow Y_n \sim N(n \cdot \mu; \sqrt{n}\cdot \sigma) \end{eqnarray}$
Anzeige

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »