Eckpunkte berechnen

22.07.2012, 00:13	Swizzel	Auf diesen Beitrag antworten »
Eckpunkte berechnen Meine Frage: Gegeben sind die Punkte A(5,-2,3), B(3,2,6, C(6,-1,h) Für welche wete von h sind A,B,C Eckpunkte eines rechtwinkeligen Dreiecks? wie muss man hier vorgehen um h zu erhalten danke danke danke Meine Ideen:
22.07.2012, 00:20	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eckpunkte berechnen Weißt du, wie sich zwei senkrechte Vektoren im Skalarprodukt verhalten? Daraus kannst du eine passende Bedingung für die drei Punkte aufstellen. mfg, Ché Netzer
22.07.2012, 11:28	Swizzel	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eckpunkte berechnen Leider weiß ich es nicht vielleicht könntest du es mir näher erklären wie dieses beispiel lösen muss danke
22.07.2012, 11:40	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eckpunkte berechnen Ich kann dir eigentlich nur noch verraten, dass zwei Vektoren senkrecht zueinander stehen, wenn ihr Skalarprodukt Null ist. Und als Tipp noch: Beachte, dass du die drei Punkte/Vektoren nicht direkt in das Skalarprodukt einsetzen kannst.
22.07.2012, 16:15	Swizzel	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eckpunkte berechnen Wenn ich sie nicht direkt einsetzten kannn wie muss ich sie änderern damit ich sie einsetzen darf
22.07.2012, 16:35	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eckpunkte berechnen Du hast ja nur die Eckpunkte gegeben, aber die Seiten, d.h. die Verbindungen zwischen den Punkten, müssen senkrecht zueinander stehen.
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23.07.2012, 22:40	Psi	Auf diesen Beitrag antworten »
Über analytische Geometrie lässt sich das recht anschaulich lösen: Die Punkte $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ sind fest gegeben: $\begin{eqnarray} A = (5,-2,3) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} B = (3,2,6) \end{eqnarray}$ Der Punkt $\begin{eqnarray} C \end{eqnarray}$ ist, bis auf eine Koordinate, ebenfalls gegeben: $\begin{eqnarray} C = (6,-1,h) \end{eqnarray}$ Daraus definieren wir uns die zugehörigen Ortsvektoren mit den selben Koordinaten: $\begin{eqnarray} <br /> \vec{a} = \begin{pmatrix} 5 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix}<br /> \vec{b} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 6 \end{pmatrix}<br /> \vec{c} = \begin{pmatrix} 6 \\ -1 \\ h \end{pmatrix}<br /> \end{eqnarray}$ Daraus können wir einen Vektor $\begin{eqnarray} \vec{v_{ab}} \end{eqnarray}$ errechnen: $\begin{eqnarray} \vec{v_{ab}} = \begin{pmatrix} 3-5 \\ 2-(-2) \\ 6-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Das ist quasi unsere Ausgangsbasis. Wir definieren uns jetzt die beiden noch teilweise unbestimmten Vektoren $\begin{eqnarray} <br /> \vec{v_{bc}} = \vec{c} - \vec{b} = \begin{pmatrix} 6 \\ -1 \\ h \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 6 \end{pmatrix} = \vec{v_{bc}} = \vec{c} - \vec{b} = \begin{pmatrix} 3 \\ -3 \\ h-6 \end{pmatrix}<br /> <br /> \vec{v_{ac}} = \vec{c} - \vec{a} = \begin{pmatrix} 6 \\ -1 \\ h \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 5 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ h-3 \end{pmatrix} <br /> \end{eqnarray}$ Jetzt können je zwei dieser Vektoren paarweise rechtwinklig sein. Hierzu hat Che Netzer schon den entscheidenden Hinweis geliefert: Ihr Skalarprodukt muss 0 sein. Das Skalarprodukt ist definiert als der Cosinus des Winkels zwischen den Vektoren: http://de.wikipedia.org/wiki/Skalarprodukt Das solltest Du Dir in jedem Fall anschauen, um das weitere hier unten zu verstehen: Nehmen wir als Beispiel die Kombination $\begin{eqnarray} \vec{v_{ab}} \cdot \vec{v_{ac}} \end{eqnarray}$ . Die Besonderheit hierin liegt jetzt, dass wir einen Buchstaben statt einer Zahl haben, aber das ist nicht weiter wild. Es muss also gelten: $\begin{eqnarray} <br /> \begin{pmatrix} -2 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -3 \\ h-6 \end{pmatrix} = 0<br /> \end{eqnarray}$ Ausmultipliziert ergibt das (siehe den Wikipedia-Artikel): $\begin{eqnarray} <br /> (-2)\cdot3 + 4\cdot(-3) + 4\cdot(h-6) = 0<br /> \Leftrightarrow<br /> (-6) + (-12) + 4h - 24 = 0<br /> \Leftrightarrow<br /> -42 + 4h = 0<br /> \Leftrightarrow<br /> 4h = 42<br /> \Leftrightarrow<br /> h = 10,5<br /> \end{eqnarray}$ Wenn ich mich nicht schwer verrechnet habe, dann sollte h = 10,5 eine von mehreren möglichen Lösungen sein (die Fragestellung lautete: Für welche Werte von h..., es sind also alle gefragt). Theoretisch müsstest Du jetzt noch die anderen zwei Kombinationen (also $\begin{eqnarray} \vec{v_{ab}} \cdot \vec{v_{bc}} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \vec{v_{ac}} \cdot \vec{v_{bc}} \end{eqnarray}$ ) ausrechnen. Dabei solltest Du bedenken, dass es für den Cosinus zwei Möglichkeiten gibt, 0 zu werden: bei 90° und bei 270°. Daher musst Du also insgesamt 6 Rechnungen durchführen: Die drei, die ich Dir schon genannt habe (eine davon hab ich gerechnet), und dann die drei nochmal mit dem Negativen eines der beiden Vektoren (also $\begin{eqnarray} \vec{v_{ab}} \cdot (-\vec{v_{bc}}) \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \vec{v_{ab}} \cdot (-\vec{v_{ac}}) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec{v_{ac}} \cdot (-\vec{v_{bc}}) \end{eqnarray}$ , wobei hier wurscht ist, welchen der beiden Vektoren du ins Negative verkehrst, solang es pro Rechnung jeweils genau einer ist).

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