Affine Abbildungen Verkettung Drehung um Ursprung

22.07.2012, 18:08

mjk231

Affine Abbildungen Verkettung Drehung um Ursprung

Meine Frage:
Hallo smile

Ich komme bei einer Aufgabenstellung nicht weiter.

"Bestimmen Sie jeweils eine Matrixdarstellung der Abbildung. Berechnen Sie dann auch die Matrixdarstellung für die zusammengesetzte Abbildung. Beschreiben Sie diese Abbildung geometrisch.

a.) Erst um O (0/0) um 45 Grad drehen, dann an $\begin{eqnarray*} g:\vec{x} = r \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ spiegeln. "

Meine Ideen:
Meine Ideen:
Bei einer Drehung um einen bestimmten Winkel kann man auf eine bestimmte Formel zurückgreifen:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} cos (\alpha ) & -\sin(\alpha ) \\ \sin(\alpha ) & cos (\alpha ) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Der Winkel beträgrit somit 45 Grad. Doch wenn ich diesen in die Matrix einsetze, kommt ein Wert von 0,7... für jedes Element heraus.

Die zweite affine Abbildung habe ich schon richtig gelöst und auch sonst habe ich keine Probleme mit affinen Abbildungen bzw. Verkettung. Ich fände das super lieb von Euch, wenn Ihr mir einen kleinen Denkanstoß geben würdet. Danke im Voraus smile

22.07.2012, 18:29

mjk231

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Das wäre echt lieb, wenn jemand eben antworten würde.
Ich glaube, dass ich einfach irgendetwas übersehen habe.
Muss ich den Winkel zufällig mit zwei multiplizieren (Eintritt/ Austritt)?
Ich weiß leider nicht, wo mein Fehler liegt, da ich mir das Thema selber beibringe und keinen habe, der mir das erklären kann.
Danke für Eure Hilfe smile

22.07.2012, 19:32

Leopold

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RE: Affine Abbildungen Verkettung Drehung um Ursprung

Zitat:

Original von mjk231
Doch wenn ich diesen in die Matrix einsetze, kommt ein Wert von 0,7... für jedes Element heraus.

Nun, es kommt genau genommen

$\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} \sqrt{\frac{1}{2}} & - \sqrt{\frac{1}{2}} \\ \sqrt{\frac{1}{2}} & \sqrt{\frac{1}{2}} \end{pmatrix} = \sqrt{\frac{1}{2}} \cdot \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

heraus. Für die Verkettung der Abbildungen mußt du nur die Matrizen miteinander multiplizieren. Wenn also $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ die Spiegelung an $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ beschreibt, dann beschreibt $\begin{eqnarray*} BA \end{eqnarray*}$ die verkettete Abbildung.

23.07.2012, 03:55

Hunter Sweetwater

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RE: Affine Abbildungen Verkettung Drehung um Ursprung
Ergebnis nach der Methode von Leopold:

$\begin{eqnarray*} BA=\sqrt{\frac 1 2} \cdot \begin{bmatrix} -1 & -1\\ -1& 1 \end{bmatrix} \end{eqnarray*}$

23.07.2012, 10:05

mjk231

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RE: Affine Abbildungen Verkettung Drehung um Ursprung
Vielen lieben Dank smile

Genau diese Matrix habe ich auch herausbekommen, doch in der Lösung lauten die Koeffizienten 0 und 1 bzw. -1 und nicht den Wert, den Du herausgefunden hast.

Vielen Dank an euch beide smile

23.07.2012, 12:14

Hunter Sweetwater

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RE: Affine Abbildungen Verkettung Drehung um Ursprung
Seltsam! Ich habe gerade mal einen Punkt mit dieser Matrix transformiert und das Ergebnis skizziert. Rechnung und Skizze passen eigentlich sehr gut zueinander, so dass ich von der Richtigkeit dieses Ergebnisses ausgehe.

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