Maximum einer Funktion

23.07.2012, 11:25

Admiral

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Maximum einer Funktion

Meine Frage:
Hi. Es sei $\begin{eqnarray*} S:=\left\{x\in\mathbb R^n : |x|=1 \right\} \end{eqnarray*}$ . Man beweise, dass für die Funktion $\begin{eqnarray*} f:S\rightarrow\mathbb R, f(x)=\prod_{j=1}^n {x_j}^2 \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} max\left\{f(x):x\in S \right\}=n^{-n} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich habe versucht mit dem Lagrange zu arbeiten, da ja eine Nebenbedingung gegeben ist: $\begin{eqnarray*} H(x_1,...,x_n,\lambda):=H(x,\lambda)=\prod_{j=1}^n {x_j}^2-\lambda\frac{x}{||x||} \end{eqnarray*}$ Ist dieser Ansatz überhaupt richtig?

23.07.2012, 13:39

Admiral

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oder vllt besser: $\begin{eqnarray*} H(x,y)=\prod_{j=1}^n {x_j}^2-\lambda(\sum\limits_{j=1}^n {x_j}^2-1) \end{eqnarray*}$ , wobei die -1 von der Summe abgezogen wird, und nicht von jedem Summanden

23.07.2012, 13:47

Mystic

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Zwei Anmerkungen dazu:

1. Bist du sicher, dass deine Formel stimmt und du das nicht falsch abgeschrieben/formelmäßig umgesetzt hast? verwirrt

verwirrt

2. Warum setzt du nicht einfach in die Zielfunktion z.B.

$\begin{eqnarray*} x_n^2=1-x_1^2-x_2^2-\ldots -x_{n-1}^2 \end{eqnarray*}$

ein und entledigst dich so auf einfachste Weise der Nebenbedingung? verwirrt

verwirrt

23.07.2012, 14:00

Admiral

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1. Jaa, aber vllt bin auch geblendet. Ich gebe mal den Link dazu: fsmath.uni-bonn.de/files/Ana2_SS07_2.pdf Aufgabe 3.b

2. Also derart: $\begin{eqnarray*} \prod_{j=1}^{n-1} x_j^2 (1-x_1^2-x_2^2-...-x_{n-1}^2) \end{eqnarray*}$

23.07.2012, 15:12

Mystic

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ad 1. Ja, das steht tatsächlich so da... geschockt

geschockt

ad 2. Ja, der Ansatz ist korrekt... Berechne mal nur den einfachsten Fall n=2 damit, um zu sehen, ob die Formel in der Angabe dafür stimmt...

23.07.2012, 17:19

Che Netzer

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@Mytsic: Was sollte denn nicht so dastehen? Ich hätte zwar Normstriche und \colon statt : verwendet, aber inhaltlich ist doch alles in Ordnung.

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23.07.2012, 18:36

Mystic

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Zitat:

Original von Che Netzer
@Mytsic: Was sollte denn nicht so dastehen? Ich hätte zwar Normstriche und \colon statt : verwendet, aber inhaltlich ist doch alles in Ordnung.

Und kommt z.B. für n=2 auch wirlich $\begin{eqnarray*} 2^{-2} \end{eqnarray*}$ heraus? verwirrt

verwirrt

Edit: Ok, kommt heraus, ich hatte nur den Wert von $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ berechnet und aufs Einsetzen vergessen... unglücklich

unglücklich

23.07.2012, 18:43

Che Netzer

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Ja. Das ist dann ja im Prinzip wie der größtmögliche Flächeninhalt eines Rechtecks mit Umfang 2 (die beiden Seitenlängen entsprechen $\begin{eqnarray*} x_1^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_2^2 \end{eqnarray*}$ ). Und das ist bei einem Quadrat mit Seitenlänge $\begin{eqnarray*} \tfrac12 \end{eqnarray*}$ der Fall und $\begin{eqnarray*} \tfrac12\cdot\tfrac12=2^{-2} \end{eqnarray*}$ .

23.07.2012, 19:05

Admiral

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Als nächstes muss ja der Gradient (:=grad) von f bestimmt und gleich null gesetzt werden. Als allgemeine Ableitung kommt dann sowas in der Art raus: $\begin{eqnarray*} \frac{df}{dx_j}=2x_j\prod_{i=1}^{j-1}\prod_{i=j+1}^{n-1}x_i^2(1-\sum\limits_{i=1}^{n-1} x_i^2)+\prod_{i=1}^{n-1} x_i^2(2x_j) \end{eqnarray*}$ Ich hoffe dass ist einigermaßen verständlich, sieht aber extrem falsch aus...

23.07.2012, 20:26

Mystic

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Ja, ist formal sicher nicht korrekt, selbst wenn du das Richtige gemeint haben solltest... Du machst dir dabei selbst das Leben schwer, denn im Grunde ist es doch ganz einfach:

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial f}{\partial x_j}=\left(\prod_{ \substack{i=1 \\ i \ne j}}^{n-1}x_i^2\right)(2x_j x_n^2+x_j^2(-2x_j))=0, \quad j=1,2,\ldots,n-1 \end{eqnarray*}$

Wenn man den Fall ausschließt, dass eines der $\begin{eqnarray*} x_i=0 \end{eqnarray*}$ ist, da man dafür sicher kein Maximum erhält, so bleibt also dann nur noch

$\begin{eqnarray*} x_j^2=x_n^2 \quad \forall j \in \{1,2,\ldots,n-1\} \end{eqnarray*}$

übrig...

23.07.2012, 21:05

Admiral

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Die Schreibweise mit dem Doppelindex ist natürlich sehr geschickt Augenzwinkern

Augenzwinkern

Dein Argument, dass kein Maximum vorliegen kann, wenn ein x_i=0 ist, hängt doch damit zusammen, dass dann der Funktionswert gleich null ist, oder? Und jetzt mit der Hesse-Matrix zu arbeiten, ist auch iwie Selbstmord. D.h. es gibt vllt einen einfachen Trick. Also, wenn ich das weiter auflöse, gibt es ja 4 Wertepaare, die die Gleichung erfüllen, nämlich $\begin{eqnarray*} (x_j,x_n), (-x_j,x_n), (x_j,-x_n), (-x_j,-x_n) \end{eqnarray*}$ x-Werte mit diesen Eigenschaften sind zB $\begin{eqnarray*} a=(1,1,...,1), b=(-2,2,-2,....,-2) \end{eqnarray*}$ Man, iwie sehe ich es immer noch nicht...

23.07.2012, 21:29

Mystic

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Zitat:

Original von Admiral
Dein Argument, dass kein Maximum vorliegen kann, wenn ein x_i=0 ist, hängt doch damit zusammen, dass dann der Funktionswert gleich null ist, oder?

Naja, immerhin liefert die Funktion f ihrer Bauart nach nur nichtnegative Werte, d.h., der Wert 0 ist sogar das absolute Minimum, sovile steht von vorneherein fest...

Zitat:

Original von Admiral
Und jetzt mit der Hesse-Matrix zu arbeiten, ist auch iwie Selbstmord.

Wieso?

verwirrt

Zitat:

Original von Admiral
D.h. es gibt vllt einen einfachen Trick. Also, wenn ich das weiter auflöse, gibt es ja 4 Wertepaare, die die Gleichung erfüllen, nämlich $\begin{eqnarray*} (x_j,x_n), (-x_j,x_n), (x_j,-x_n), (-x_j,-x_n) \end{eqnarray*}$ x-Werte mit diesen Eigenschaften sind zB $\begin{eqnarray*} a=(1,1,...,1), b=(-2,2,-2,....,-2) \end{eqnarray*}$ Man, iwie sehe ich es immer noch nicht...

Ja, du hast da was nicht ganz durchschaut bei der ganzen Sache: Nämlich, wenn zwei Zahlen einer dritten gleich sind, dann sind sie auch untereinander gleich.... Dank mal darüber nach... Big Laugh

Big Laugh

23.07.2012, 21:58

Admiral

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Das stimmt natürlich. Also versuche ich mal $\begin{eqnarray*} \frac{df}{dx_j} \end{eqnarray*}$ allgemein nach x_k abzuleiten: Fallunterscheidung.
1.Fall $\begin{eqnarray*} x_k=x_j \end{eqnarray*}$ :
$\begin{eqnarray*} \frac{\partial f}{\partial^2 x_j}=\left(\prod_{\substack{i=1 \\ i\ne j}}^{n-1}x_i^2\right)(2x_n^2-6x_j^2) \end{eqnarray*}$
2.Fall $\begin{eqnarray*} x_k\ne x_j \end{eqnarray*}$ :
$\begin{eqnarray*} \frac{\partial f}{\partial x_k \partial x_j} =2x_k\left(\prod_{\substack{i=1 \\ i\ne j \\ i\ne k }}^{n-1} x_i^2\right)(2x_jx_n^2+x_j^2(-2x_j)) \end{eqnarray*}$

Stimmt das bisher? Und vielen Dank für deine Hilfe

24.07.2012, 09:16

Mystic

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Zitat:

Original von Admiral
Stimmt das bisher?

Nein, sicher nicht... Mach mal nur den Fall n=3, wo man alles noch schön anschreiben kann und vergleiche dann mit deiner Formel...

Hast du übrigens schon rausgefunden, was sich durch Einsetzen von

$\begin{eqnarray*} x_1^2=x_2^2=\ldots=x_n^2=\frac 1n \end{eqnarray*}$

in die Funktion ergibt? verwirrt

verwirrt

24.07.2012, 12:46

Admiral

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Ich lasse die Aufgabe erstmal ruhen, weil ich lieber nochmal andere Aufgaben für die Klausur am Donnerstag wiederhole. Deshalb beschäftige ich mich danach nochmal hiermit, wenn du oder jemand anderes nochmal hilft.
Naja, fjeden ist dein definiertes $\begin{eqnarray*} x\inS \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} ||x||_2=1 \end{eqnarray*}$ , mit Funktionswert $\begin{eqnarray*} f(x)=n^{-n} \end{eqnarray*}$ . Nach Aufgabenstellung ist das x also eine Maximalstelle?!

24.07.2012, 12:47

Admiral

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* soll heißen $\begin{eqnarray*} x\in S \end{eqnarray*}$

24.07.2012, 15:01

Mystic

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Ja, ist sicher eine Maximumsstelle, wenngleich ich mir den Nachweis selbst noch nicht im Detail überlegt habe...

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