exp(tA) wie löst man das denn nun genau ^^

Neue Frage »

23.07.2012, 20:00	Hanna91	Auf diesen Beitrag antworten »
exp(tA) wie löst man das denn nun genau ^^ Meine Frage: so naja wie im titel schon gesagt geht es um exp(tA) würde gerne mal sone aufgabe richtig durch rechnen um schritt für schritt zu verstehn wie es nun geht ! so nehm ich mal ein einfaches beispiel wo es gehn müsste aus einer probeklausur $\begin{eqnarray} A= \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Meine Ideen: tjoar meine idee ...naja im skript steht mit der Jordannormalform ergibt sich die lösung naja gut die kann ich aufstellen aber wie ich dann weiter mache und ein ergebnis kriegen soll weiß ich nicht jede hilfe wäre nett und immer langsam schritt für schritt damit ich nich den faden verliere^^ bis dann Hanna =) achso t ist natürlich aus R
24.07.2012, 00:09	frank09	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: exp(tA) wie löst man das denn nun genau ^^ Definiert wird die Exponentialfunktion über die Reihe $\begin{eqnarray} e^{A}:=E_n+\sum\limits_{m=1}^\infty \frac{A^m}{m!} \end{eqnarray}$ Für eine Diagonalmatrix sieht das so aus (Herleitung:http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=496947) $\begin{eqnarray} A=\begin{pmatrix} \lambda_1&0 \\ 0&\lambda_2\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} e^{A}=\begin{pmatrix} e^{\lambda_1}&0 \\ 0&e^{\lambda_2}\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} e^{tA}=(e^A)^t=\begin{pmatrix} e^{\lambda_1}&0 \\ 0&e^{\lambda_2}\end{pmatrix}^t=\begin{pmatrix} e^{t\lambda_1}&0 \\ 0&e^{t\lambda_2}\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Ist die Matrix wie deine diagonalisierbar, also $\begin{eqnarray} A=S^{-1}DS \end{eqnarray}$ , gilt $\begin{eqnarray} e^A=S^{-1}e^DS \end{eqnarray}$
24.07.2012, 13:10	Hanna91	Auf diesen Beitrag antworten »
ok danke schonmal =) also wenn die matrix $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ wäre die lösung einfach $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} e^{2t} & 0 \\ 0 & e^{2t} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ? also muss ich die matrix dann einfach diagonalisieren die e^t dinger reinschreiben und dann mit den anderen beiden matritzen multiplizieren?
24.07.2012, 18:48	frank09	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn deine Matrix A ist und du $\begin{eqnarray} e^{tA} \end{eqnarray}$ berechnet hast, ist deine Lösung richtig. Du kannst ja mal deine erste Matrix für die Rechnung nehmen.
26.07.2012, 12:01	Hanna91	Auf diesen Beitrag antworten »
soooooooooooooooo ok dann hab ich mich mal nochmal ran gesetzt und gerechnet grade hier mein ergebnis : Also als erstes eigenwerte brechnen : $\begin{eqnarray} \lambda_{1} = 1,5 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \lambda_{2} =-0.5 \end{eqnarray}$ so dann hab ich ja schonmal $\begin{eqnarray} D= \begin{pmatrix} 1,5 & 0 \\ 0 & -0.5 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ als nächstes eigenvektoren bestimmen $\begin{eqnarray} (A-\lambda ) v = 0 \end{eqnarray}$ da hab ich $\begin{eqnarray} v_{1} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} <br /> v_{2} = \begin{pmatrix} 5/3 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ dadurch hab $\begin{eqnarray} S^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 5/3 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und dann invertier ich die und erhalte für $\begin{eqnarray} S = \begin{pmatrix} -1,5 & 2,5 \\ 1,5 & -1,5 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ dann eingesetzt $\begin{eqnarray} S e^{D} S^{-1} \end{eqnarray}$ und einfach ausmultiplizieren und erhalte als endergebnis $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -1,5e^{2t} & -2,5e^{2t} \\ 1,5e^{2t} & 2,5e^{2t} \end{pmatrix} =e^{tA} \end{eqnarray*}$ so hoffe das ist richtig is ja doch ziemlic viel aufwand für soen kleine matrix nur hoffe hab nichts falsch gemacht jede berichtigung wäre nett so bis dann ich ess jetzt erstmal mittag =)
26.07.2012, 12:59	cst	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Hanna, ich hab das auch mal durchgerechnet und hab was ganz anderes raus, sorry. Schon die beiden Eigenwerte hab ich anders und den Rest in Folge auch. Du kannst ja zwischendurch immer die Proben machen, es muss ja $\begin{eqnarray} A \cdot \vec{v_i} = \lambda_i \vec{v_i} \end{eqnarray}$ sein und es muss $\begin{eqnarray} SDS^{-^1}=A \end{eqnarray}$ ergeben. Dein Rechenweg ist natürlich prinzipiell richtig, nur die Matrizen halt nicht. lg cst
Anzeige

26.07.2012, 19:48	Hanna91	Auf diesen Beitrag antworten »
was andere eigenwerte schon hmmmm versteh ich nich ganz es ist ja $\begin{eqnarray} det\begin{pmatrix} 2-\lambda & 1 \\ 1 & 2-\lambda \\ \end{pmatrix} = 0 \end{eqnarray}$ also ist $\begin{eqnarray} \lambda^{2} - 4 \lambda +3 =0 \end{eqnarray}$ mit p q formel ganz normal ausrechnen ergibt bei mir -0,5 und 1,5 oder bin ich jetzt völlig dämlich und überseh was ? denr rest rechne ich erst nach wenn hier wirklich der fehler schon steckt
26.07.2012, 20:01	Bernhard1	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Hanna, nimm doch mal die Mitternachtsformel und setze die beiden Nullstellen zur Kontrolle auch ein.
26.07.2012, 20:05	Hanna91	Auf diesen Beitrag antworten »
ups kleiner zahlen dreher vor der wurzel hatte ich 1/2 stehn nicht 2 dann krieg ich 3 und 1 raus natürlich dummer fehler -.-° das echt zu dämlich wo man die hieir fast mit blosen auge sehn kann ...den rest rechne ich morgen nach und erfreu ich euch mit nem neuen ergebnis oder vergleiches mit einen von euch ^^

Neue Frage »

Antworten »

exp(tA) wie löst man das denn nun genau ^^

Verwandte Themen