Problem mit der Zetafunktion

24.07.2012, 16:08

vin97

Problem mit der Zetafunktion

$\begin{eqnarray*} s \; \epsilon \; \mathbb{C} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Re \left ( s \right ) > 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \zeta \left ( s \right ) = \sum_{k=1}^{\infty } \frac{1}{k^{s}} = 1+\frac{1}{2^{s}}+\frac{1}{3^{s}}+\cdots = \prod_{p \; \epsilon \; \mathbb{P}} \frac{1}{1-p^{-s}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \zeta \left ( s \right ) - 1 = \sum_{k=2}^{\infty } \frac{1}{k^{s}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left ( \zeta \left ( s \right ) - 1 \right ) \cdot \frac{1}{2^{s}} = \sum_{k=2}^{\infty } \frac{1}{\left ( 2k \right )^{s}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left ( \zeta \left ( s \right ) - 1 \right ) - \left ( \left ( \zeta \left ( s \right ) - 1 \right ) \cdot \frac{1}{2^{s}} \right ) = \left ( \zeta \left ( s \right ) - 1 \right ) \cdot \left ( 1-\frac{1}{2^{s}} \right ) = \sum_{\substack{k=2\\k\neq 2n}}^{\infty } \frac{1}{k^{s}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left ( \zeta \left ( s \right ) - 1 \right ) \cdot \left ( 1-\frac{1}{2^{s}} \right ) \cdot \frac{1}{3^{s}} = \sum_{\substack{k=2\\k\neq 2n}}^{\infty } \frac{1}{\left ( 3k \right )^{s}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left ( \zeta \left ( s \right ) - 1 \right ) \cdot \left ( 1-\frac{1}{2^{s}} \right ) - \left ( \zeta \left ( s \right ) - 1 \right ) \cdot \left ( 1-\frac{1}{2^{s}} \right ) \cdot \frac{1}{3^{s}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \left ( \zeta \left ( s \right ) - 1 \right ) \cdot \left ( 1-\frac{1}{2^{s}} \right ) \cdot \left ( 1-\frac{1}{3^{s}} \right ) = \sum_{\substack{\substack{k=2\\k\neq 2n}\\k\neq 3n}}^{\infty } \frac{1}{k^{s}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left ( \zeta \left ( s \right ) - 1 \right ) \cdot \left ( 1-\frac{1}{2^{s}} \right ) \cdot \left ( 1-\frac{1}{3^{s}} \right ) \cdot \; \cdots = \sum_{\substack{\substack{\substack{k=2\\k\neq 2n}\\k\neq 3n}\\\cdots }}^{\infty } \frac{1}{k^{s}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \left ( \zeta \left ( s \right ) - 1 \right ) \cdot \prod_{p \; \epsilon \; \mathbb{P}} 1-\frac{1}{p^{s}} = \sum_{\substack{k=2\\k\neq pn}}^{\infty } \frac{1}{k^{s}} = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \zeta \left ( s \right ) = 1 \end{eqnarray*}$

Kann mir mal jemand sagen, wo hier der Fehler liegt?

24.07.2012, 16:20

Valdas

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RE: Problem mit der Zetafunktion
Das Problem besteht darin, dass Du die Summenindizes, welche sowohl durch 2 als auch durch 3 teilbar sind (z.B. k=6) zweimal (bzw. mehrfach subtrahierst).

24.07.2012, 19:25

vin97

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Ich rechne aber doch:
$\begin{eqnarray*} \sum_{\substack{k=2\\k\neq 2n}}^{\infty } \frac{1}{k^{s}} - \sum_{\substack{k=2\\k\neq 2n}}^{\infty } \frac{1}{\left ( 3k \right )^{s}} \end{eqnarray*}$
D.h. bei der zweiten Summe sind alle Vielfachen von 2 nicht mehr vorhanden, was heißt, dass nichts doppelt abgezogen wird.
Die "Beschränkungen" gehen ja in einem Schritt nicht verloren, sondern werden bloß um eine Primzahl erweitert.

24.07.2012, 20:49

Mystic

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Ich versteh die Rechnung schon zu Beginn nicht...

$\begin{eqnarray*} \zeta(s)-1=\frac 1{2^s}+\frac 1{3^s}+\frac 1{4^s}+\frac 1{5^s}+\frac 1{6^s}+\ldots \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -\frac{\zeta(s)-1}{2^s}=\ \qquad\quad-\frac 1{4^s}\ \quad\quad-\frac 1{6^s}+\ldots \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (\zeta(s)-1)(1-1/2^s)=\frac 1{2^s}+\frac 1{3^s}+\frac1{5^s}+\ldots \end{eqnarray*}$

Der Summand $\begin{eqnarray*} \frac1{2^s} \end{eqnarray*}$ ist also durchaus nach der Differenzenbildung nicht verschwunden... Sollte er das nicht aber? verwirrt

24.07.2012, 21:23

Bernhard1

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Hallo vin97,

in der vorletzten Zeile des Eröffnungsbeitrages kann das "=0" nicht stimmen, weil zumindest der Term mit k=2 nicht verschwindet. Notier Dir mal etwas ausführlicher über welche k genau summiert wird. Dann verschwinden auch die Widersprüche.

24.07.2012, 21:39

vin97

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Ja stimmt. Gut dann hat sich das erledigt.
Ich hab irgendwie nicht richtig darüber nachgedacht, dass k bei 2 anfängt.

25.07.2012, 01:07

vin97

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Stimmt das denn?

$\begin{eqnarray*} s \; \epsilon \; \mathbb{C} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Re \left ( s \right ) > 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \zeta \left ( s \right ) - 1 = \sum_{k=2}^{\infty } \frac{1}{k^{s}} = \sum_{p \epsilon \mathbb{P}} \frac{1}{p^{s}} \prod_{q \epsilon \mathbb{P}}^{p} \frac{1}{1-q^{-s}} \end{eqnarray*}$

Ich denke ja nicht, weil das einfach zu komisch ist. Gerade weil links die Primzetafunktion und rechts die begrenzte Zetafunktion (in Produkschreibweise) steht.

25.07.2012, 02:42

vin97

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Ok, für $\begin{eqnarray*} s=2 \end{eqnarray*}$ komme ich auf das richtige Ergebnis!
Habe schnell ein Programm in Free Pascal geschrieben, das mir $\begin{eqnarray*} \sum_{p \epsilon \mathbb{P}} \frac{1}{p^{s}} \prod_{q \epsilon \mathbb{P}}^{p} \frac{1}{1-q^{-s}} \end{eqnarray*}$ ausrechnet und ich bin auf die gute Näherung $\begin{eqnarray*} 0,644917920746288 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} \frac{\pi^{2}}{6} -1 \end{eqnarray*}$ gekommen. Das Programm hat eine Summe über alle Primzahlen $\begin{eqnarray*} \leq 10 000 \end{eqnarray*}$ berechnet.
Mein Ergebnis stimmt zu $\begin{eqnarray*} 99,997496472466194569100484901263 % \end{eqnarray*}$ mit dem überein, was man kriegt, wenn man $\begin{eqnarray*} \frac{\pi^{2}}{6} -1 \end{eqnarray*}$ in den Windows Rechner eingibt.

25.07.2012, 11:08

Mystic

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Zitat:

Original von vin97
Stimmt das denn?

$\begin{eqnarray*} s \; \epsilon \; \mathbb{C} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Re \left ( s \right ) > 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \zeta \left ( s \right ) - 1 = \sum_{k=2}^{\infty } \frac{1}{k^{s}} = \sum_{p \epsilon \mathbb{P}} \frac{1}{p^{s}} \prod_{q \epsilon \mathbb{P}}^{p} \frac{1}{1-q^{-s}} \end{eqnarray*}$

Ich denke ja nicht, weil das einfach zu komisch ist. Gerade weil links die Primzetafunktion und rechts die begrenzte Zetafunktion (in Produkschreibweise) steht.

Rein formal kann ich mit dem Ausdruck

$\begin{eqnarray*} \sum_{p \epsilon \mathbb{P}} \frac{1}{p^{s}} \prod_{q \in \mathbb{P}}^{p} \frac{1}{1-q^{-s}} \end{eqnarray*}$

zunächst einmal gar nichts anfangen... Wenn ich mir überlege, was du vielleicht gemeint haben könntest, dann am ehesten dieses

$\begin{eqnarray*} \sum_{p \in \mathbb P} \frac1{p^s} \prod_{\substack{q \in \mathbb P\\q \le p}} \frac1{1-q^{-s}} \quad (*) \end{eqnarray*}$

Falls ja, dann stimmt die Formel auch, was aber anderseits - sorry - auch ziemlich trivial ist... Denn es wird hier einfach die Summe

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=2}^\infty \frac1{n^s} \end{eqnarray*}$

einfach über alle Primzahlen p in eine Summe (*) von Teilsummen zerlegt, wobei in jeder Teilsumme nur jene Summanden $\begin{eqnarray*} \frac1{n^s} \end{eqnarray*}$ vorkommen, für die p der größte Primteiler von n ist...

25.07.2012, 11:37

vin97

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Dann hab ich das aber ganz schön umständlich gemacht, ich habe meine Anfangsidee einfach weitergesponnen und mir dann klar gemacht, was dabei genau geschieht. Nach etwas umformen und überlegen bin ich dann auf die Formel gekommen.

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