1+1=2 aber warum? |
| 24.07.2012, 16:23 | MrZweifler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| 1+1=2 aber warum? Für mich ist unmittelbar einleuchtend, dass 1+1=2 ist. Wenn ich jetzt anfange mir zu erklären WARUM dies so ist, kann ich mir nicht anders behelfen, als zu sagen: Das ist einfach so! Diese Antwort sagt natürlich nicht wirklich aus warum 1+1=2 ist. Aber hab ich dann nicht ein Verständnisproblem? Muss ich nicht in der Lage sein zu erklären, warum 1+1=2 ist, wenn ich wie weiter oben schrieb, dies für mich unmittelbar einleuchtend ist? Oder liegt es in der Natur der Sache, das, wenn etwas unmittelbar einleuchtend ist, dass es gar keine Erklärung gibt? Muss erklärt werden, warum 1+1=2 ist? Bewege ich mich hier in philosophischen Gefilden? Hat die WARUM-Frage überhaupt eine mathematische Relevanz? Was genau geht hier vor? |
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| 24.07.2012, 17:02 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: 1+1=2 aber warum? Die Frage, warum 1+1=2 ist als solche nicht sinnvoll, denn 2 ist per definitionem der Nachfolger von 1 und darum geht es hier ja auch, nämlich um die Festlegung- bezeichnungstechnisch und symbolisch - des Nachfolgers von 1... Genausowenig würde es Sinne machen, zu fragen, warum 2+1=3 und 3+1=4 ist, denn das sind wiederum einfach Definitionen der entsprechenden Nachfolger, die eben durch diese Symbole und Bezeichnungen erst festgelegt werden... Anders wäre es schon bei 2+2=4... Da muss man schon ein bißchen rechnen... Nicht umsonst sagt man im Englischen, wenn man etwas (aber nicht allzusehr!) überlegen muss: "To put two and two together"... 
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| 24.07.2012, 17:06 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Es gibt die sog. Körperaxiome. Dort wird eindeutig verbürgt, dass es neutrale Elemente gibt. Es gibt eine reelle Zahl Null und eine hiervon verschiedene Zahl Eins, so dass für jedes a gilt und Eins nennt man eine natürliche Zahl und definiert dann alle anderen natürlichen Zahlen sukzessiv durch 2:=1+1 3:=2+1, 4:=3+1 usw. Das ist natürlich ein wenig unbefriedigend. Dann gibt es noch das fünfte sog. Peano-Axiom, was besagt, dass wenn 1 in der Menge M liegt und auch a in M liegt, so dass a+1 ebenfalls in M liegt. Warum dies so ist, hat also die unbefriedigende Antwort, dass man es einfach so festgelegt hat. Bedenke, dass du eine Zwei eigentlich nie gesehen hast. Du hast nur das Symbol welches wir für die Zwei verwenden gesehen. Die Zwei an sich ist erstmal abstrakt. Ich bin jetzt kein Mathestudent, also bitte nicht zerfetzen, wenn ich was falsches gesagt habe. 
Edit: Da habe ich wohl ein wenig lange zum schreiben gebraucht. |
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| 24.07.2012, 17:49 | MrZweifler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hallo und danke für eure Antworten, Also, wenn ich das jetzt richtig verstanden habe, habe ich dann sogar mit meiner Antwort: Das ist eben so! recht. Es ist eben so definiert und das ist eben der Grund, warum 1+1=2 oder allgemein a+b=c ist (man muss eben vorher nur a und b und c definiert haben, sodass beides mengentechnisch gleich ist). Und genau das finde ich eben auch sehr unbefriedigend als Grund und deshalb rattert mein Schädel bis zum geht nicht mehr um einen tieferen Grund als eine reine Festlegung zu finden..... Aber dieses unternehmen scheint zum Scheitern verurteilt zu sein.. |
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| 24.07.2012, 17:55 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich fürchte, da hast du gar nichts verstanden, von dem, was oben gesagt wurde... 1+1=2 fällt in deine Kategorie "Das ist eben so!", etwas mathematischer, es handelt sich um eine Definition von 2 als der Nachfolger von 1... Aber 2+2=4 "ist eben nicht so", sondern das muss man ausrechnen und beweisen, denn alle Symbole die darin vorkommen, nämlich 2 und 4 wurden bereits vorher definiert...
Wenn es dir wirklich ernst damit ist und du nicht bloß herumtrollst, dann kann ich dir ähnlich dem Werbeslogan eines bekannten Versicherungsunternehmens darauf nur entgegen: Deine Sorgen möchte ich haben... 
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| 24.07.2012, 18:04 | MrZweifler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nein, nein. Das meinte ich doch. Bevor ich die Gleichung 2+4=6 aufstelle, definiere ich die 2, die 4 und die 6. Und dann kombiniere ich die 2 mit der 4 und stelle mit erstaunen oder auch ohne? fest, dass dort die 6 herauskommt. |
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| 24.07.2012, 18:22 | MrZweifler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hallo Nochmal
Hab nochmal gelesen. Also: Sei N eine natürliche Zahl und N > 0, dann: N+1=Nachfolger(N) In diesem Falle ist das einfach so! So bald man aber eine Zahl > 1 hat muss man rechnen und beweisen (vermutlich alles anhand bzw mit Hilfe der Nachfolgerfunktion). |
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| 24.07.2012, 18:36 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja, man beweist zuerst allgemein, dass für beliebige natürliche Zahlen a,b und c gilt 1) a+b=b+a 2)a+(b+c)=(a+b)+c und kann dann speziell 2+4=6 wie folgt beweisen: 2+4=4+2=4+(1+1)=(4+1)+1=5+1=6 |
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| 24.07.2012, 18:50 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Mein Beweis geht so |
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| 24.07.2012, 18:54 | MrZweifler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hi Leopold, So hatte ich mir das auch schon gedacht! Mal gespannt, was Mystic dazu sagen wird. @mystic Ist das was Leopold hier gemacht hat ein gültiger Beweis? |
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| 24.07.2012, 18:58 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Mein Beitrag war nicht ganz ernstgemeint. Sieh ihn als schlechten Scherz an. |
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| 24.07.2012, 19:01 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Meiner Ansicht nach nicht... Denn beweisen haißt doch zurückführen auf schon Bewiesenes oder nicht Beweisbares, da es zu den Grundannahmen (=Axiomen) gehört... Ich habe in meinem "Beweis" ein paar Sachen angeführt, die ich verwende und die man vorher beweisen müsste... Die Grundannahmen, von denen ich gesprochen habe, sind dabei die sog. Peanoaxiome... |
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| 24.07.2012, 19:09 | MrZweifler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja, die Peanoaxiome kenne ich. Habe glaube ich auch alle bis auf eines verstanden. Ich hab noch ein paar andere Fragen auf dem Herzen: 1) Leiten sich alle zahlen von den natürlichen Zahlen ab? 2) Werden reelle Zahlen auch durch eine Nachfolgerfunktion definiert? Wie beweist man z.b., dass 0.8+0.5=1.3 ist? Das interessiert mich brennend, wie dies funktioniert. |
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| 24.07.2012, 20:22 | Dummy-Cool | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Also wir haben alle Zahlen aus den natürlichen Zahlen abgeleitet. Die Addition und Multiplikation mit Hilfe des Rekursionssatzes bewiesen und mit Induktion die verschiedene Rechengesetze, wie z.B. Kommutativität oder Distributivität usw. Daraus kann man die Addition z.B. für die ganzen Zahlen definieren. Natürlich muss man wieder die Wohldefiniertheit zeigen und wieder alle Rechengesetze. @MrZweifler Wenn du noch mehr wissen willst, dann empfehle ich dir folgende Bücher: - Ziegler - Mathematische Logik und Reiss/Schmieder - Basiswissen Zahlentheorie |
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| 24.07.2012, 20:51 | MrZweifler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
@dummy-cool Danke für die Literaturvorschläge. Irgendwann ahbe ich auch mal mittels Induktion das Kommutativgesetz und Distributivgesetz durch Induktion verstanden. Irgendwo bei Matroid war das. Auch habe ich mir schon angeschaut und verstanden, wie die Addition in N bewiesen wird. Nämlich durch eine rekursive Definition. Soll heissen: Addition wird mit Addition erklärt. Ist Zahlentheorie nicht "number theory"? Ich weiß jetzt nicht, wieso diese mir helfen soll. Englische Literaturvorschläge sind übrigens auch sehr willkommen. |
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| 24.07.2012, 21:18 | Dummy-Cool | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Die Rechengesetze zu beweisen ist nicht schwer, nur total lästig
Jap es ist total logisch, dass die Addition und Multiplikation rekursiv definiert wird, denn der Rekursionssatz wurde ja schon von Dedekind bewiesen, also ist es auch sinnvoll ihn zu verwenden. Das Buch von Reiss/Schmieder ist halt für Lehrämter, deshalb geht er nicht soweit in die Tiefe hinein wie andere, aber er ist sehr verständlich, wenn es um die Konstruktion von Zahlen und deren Anwendung geht. |
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