Reihe auf Konvergenz untersuchen

Neue Frage »

Mathilim Auf diesen Beitrag antworten »
Reihe auf Konvergenz untersuchen
Nabend....

Ich muss zeigen dass diese Reihe konvergiert



Meine Idee ist:

Ich kenne folgendes Kriterium: Sind zwei Folgen positiver Zahlen asymptotisch glecih, so sind ihre Reihen beide Konvergent oder divergent.
asymptotisch gleich bedeutet:


Also ist eine Folge von positiven Zahlen, ich finde :
weil ich weiss, dass diese zwei Folgen asymptotisch gleich sind und weil ich weiss, dass konvergiert....somit ist also alles gezeigt....

Nur was mir probleme macht ist, wie zeige ich

Mit L'hospital gings nicht, mit exponentialform auch nicht.... mehr fällt mir nicht ein Big Laugh

Grüsse
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Reihe auf Konvergenz untersuchen
Probier es mal mit . Ich schätze, das dürft ihr dann auch einfach so benutzen.

mfg,
Ché Netzer
Mathilim Auf diesen Beitrag antworten »

Dankeschön! smile
mh ok, ist deine Abschätzung für alle x in IR gültig, oder nur für einen bestimmten Definitionsbereich?

Stimmt das demfall so:

Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, die gilt so für alle .

Sieht man auch gut am Plot:



Rechts davon ist ja alles klar, im Negativen Bereich wirkt der Betrag. (beide Funktionen sind ungerade)
Ich weiß allerdings nicht, ob ihr das tatsächlich benutzen dürft.
Mathilim Auf diesen Beitrag antworten »

mh wieso nicht Big Laugh solangs mathematisch wirklich sinn macht sollte das ja kein Problem sein... Die erwarten ja immer soviel Fantasie von einem Big Laugh
Danke nochmal!
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Nun ja, man sollte wohl nach Möglichkeit nichts benutzen, was in der Vorlesung nicht ansatzweise behandelt wurde Augenzwinkern
 
 
Salatblatt Auf diesen Beitrag antworten »
Lösungsvorschlag
kennst du das kriterium von abel? mit dem wäre die konvergenz ein einer zeile gezeigt.
Mathilim Auf diesen Beitrag antworten »

mhh nein noch nie gehööört...habe es jetzt mal nachgelesen...wie willst du dieses kriterium hier aber üherhaupt anwenden?
Salatblatt Auf diesen Beitrag antworten »
Abel
jahaa gute frage^^ war gestern doch wohl ein bisschen spät, ich hab gedacht die reihe lautet
okay sorry ignorier meinen beitrag einfach.
Salatblatt Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abel
Aber Cauchy kriterium für reihen sollte klappen. das sollte trivial sein, wenn man geschickt abschätzt.
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abel
Wie bereits angedeutet: Mit dem Majorantenkriterium klappt es doch wunderbar.

Zum Kriterium von Abel: Aber selbst mit diesen Summanden kann man es doch nicht anwenden, oder? smile
Salatblatt Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abel
meiner meinung nach ist das beschränkt (immer kleiner 1) und 1/n monoton fallend. dann wäre die reihe die ich gedacht hab konvergent oder nicht?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abel
Soweit ich weiß, müsste aber die Reihe über die konvergieren. Du könntest genausogut statt die ebenso beschränkte, konstante Folge mit Wert 1 wählen.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

ist divergent - Begründung:

Es ist , und ist konvergent gemäß Dirichlet-Kriterium, während divergent ist.
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Laut WolframAlpha konvergiert die Reihe...
Ist das wieder ein Fehler des Systems oder klappt das Auseinanderziehen der Reihen doch nicht?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Che Netzer
Laut WolframAlpha konvergiert die Reihe...

Ich vertraue eher meinem Verstand. Augenzwinkern
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Che Netzer
Laut WolframAlpha konvergiert die Reihe...
Ist das wieder ein Fehler des Systems oder klappt das Auseinanderziehen der Reihen doch nicht?

WolframAlpha hat da tatsächlich einen Fehler. Das wundert mich, weil ich dachte, es greift in der Mathematik auf den Mathematica-Kern zu. Mathematica gibt diese Reihe aber korrekt als nicht konvergent an.
shipwater Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

die besagte Reihe divergiert ziemlich lahm (noch lahmer als die harmonische Reihe). Wenn man aber mal bei "Approximated sum" auf "More digits" klickt, dann kommen nicht nur neue Stellen hinzu, sondern es wird eine ganz andere größere Zahl angezeigt. Dies kann man als Indiz dafür sehen, dass die Reihe möglicherweise doch nicht konvergiert. Zumindest ist mir das bei WA schon mit manchen divergenten Reihen passiert.

Gruß Shipwater
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Hm, das ist dann schon der zweite Fehler von Wolfram Alpha, den ich mitbekomme. Beim letzten mal wurde mir da in einem Integral ein Unterschied zwischen und ausgegeben...
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von shipwater
die besagte Reihe divergiert ziemlich lahm (noch lahmer als die harmonische Reihe).

Gemäß meiner obigen Begründung würde ich eher sagen: Genauso lahm. Augenzwinkern
shipwater Auf diesen Beitrag antworten »

Ich meinte damit einfach nur

Gruß Shipwater
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Und ich meine

,

denn bloße Vorfaktoren machen ja eine Konvergenz/Divergenz nicht "lahmer". Zugegeben, es gibt keine exakte Definition dieses Begriffes. Big Laugh
shipwater Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, meine Formulierung war wohl nicht so glücklich gewählt. Dann denkt euch den Klammerinhalt einfach weg. Augenzwinkern

Gruß Shipwater
Salatblatt Auf diesen Beitrag antworten »
weiter im thema
ich hab jetzt nochmal in meinen unisachen vom letzten semester nachgekramt. Da hab ich mir folgendes vermerkt:

Kriterium von Abel

1. ist eine monotone positive Nullfolge
2. ist eine komplexe Folge mit beschränkten Partialsummen
Sind 1 und 2 erfüllt, dann konvergiert die Reihe
Randbemerkung: Kriterium von Abel greift nicht bei der harmonischen Reihe.
Salatblatt Auf diesen Beitrag antworten »
RE: weiter im thema
Da stimmt irgendwas nicht, auch wolframalpha kann keine konvergenz finden, klick mal auf more digits beim ergebnis, das wird dann auch vor dem komma immer größer?! wtf.. okay dann stimmt auch iwas ned mit meiner mitschrift *grübel*
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Salatblatt
1. ist eine monotone positive Nullfolge
2. ist eine komplexe Folge mit beschränkten Partialsummen
Sind 1 und 2 erfüllt, dann konvergiert die Reihe

Das ist nicht Abel, sondern Dirichlet (s.o.). Das Kriterium von Abel lautet etwas anders.

Und ja, wie ich oben schon erwähnt habe, kann man Dirichlet heranziehen, um einen konvergenten Teil abzuspalten, wobei dann aber die harmonische Reihe als divergenter Rest übrigbleibt.
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »