Minimieren mit Summenzeichen

25.07.2012, 16:42	Hallo1993	Auf diesen Beitrag antworten »
Minimieren mit Summenzeichen Hallo Leute, versuche gerade die Funktion bei der Methode der kleinsten Quadrate zu minimieren und frage mich, wie man denn eine Funktion mit Summenzeichen minimiert bzw. wie ich vorgehe wenn ich beim Minimieren auf ein Summenzeichen treffe. \sum\limits_{k=1}^n [yi-(\beta0 + \beta 1)]² ist die Funktion bei der Methode der kleinsten Quadrate...Die Lösung dazu ist ja ws bekannt. Geht mir auch nicht um die Lösung dieses konkreten Problems, den Lösungsweg habe ich schon aus einer Übung. Nur komm ich einfach nie selber drauf wie ich vorgehen soll, wenn ich es mit so einer Funktion zu tun habe... Würde mich freuen, falls miir jemand vielleicht helfen kann Liebe Grüße
25.07.2012, 17:55	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, ich nehme mal an, dass du eine lineare Regression durchführen willst. Die zu minimierende Funktion sieht dann so aus: $\begin{eqnarray} SAQ=\sum_{i=1}^n (y_i - b_0 - b_1 x_i)^2 \end{eqnarray}$ minimieren. Wenn du jetzt nach $\begin{eqnarray} b_0 \end{eqnarray}$ ableitest steht da: $\begin{eqnarray} \frac{\partial SAQ}{\partial b_0}=-2 \sum_{i=1}^n (y_i - b_0 - b_1 x_i) \end{eqnarray}$ Du leitest ganz normal ab. Hier $\begin{eqnarray} \textrm{(äußere Ableitung)} \cdot \textrm{ (innere Ableitung)} \end{eqnarray}$ Die 2 kann man vor das Summenzeichen ziehen, da sie unabhänig von dem Index i ist. Wie würde jetzt die Ableitung nach $\begin{eqnarray} b_1 \end{eqnarray}$ aus? Mit freundlichen Grüßen.
25.07.2012, 20:35	Hallo1993	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Minimieren mit Summenzeichen Erstmal danke fürs antworten! Das wäre doch dann: (sry das mit dem SAQ kann ich nicht erstellen^^): $\begin{eqnarray} -2 b1 \sum\limits_{k=1}^n [yi - bo - b1] \end{eqnarray*}$ Du "ignorierst" das Summenzeichen also eigentlich, oder? Liebe Grüße
25.07.2012, 22:32	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, fast richtig. Es ist: $\begin{eqnarray} \frac{\partial SAQ}{\partial b_1}=-2 \sum_{i=1}^n x_i(y_i - b_0 - b_1 x_i)=0 \end{eqnarray}$ Wenn du die äußere Ableitung machst, bleibt der Ausdruck in der Klammer vollständig erhalten. Die innere Ableitung (Ableitung von $\begin{eqnarray} b_1 x_i \end{eqnarray}$ ) ist eben $\begin{eqnarray} x_i \end{eqnarray}$ . Jetzt kann man den obigen Ausdruck noch vereinfachen indem man den Klammerausdruck in einzelne Summen zerlegt. Auch hier kann man dann die Parameter $\begin{eqnarray} b_0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b_1 \end{eqnarray}$ vor das Summenzeichen schreiben. Den Faktor 2 kann man gleich wegfallen lassen: $\begin{eqnarray} b_0 \sum_{i=1}^n x_i + b_1 \sum_{i=1}^n x_i^2 - \sum_{i=1}^n x_i y_i = 0 \end{eqnarray}$ umgestellt: $\begin{eqnarray} b_0 \sum_{i=1}^n x_i + b_1 \sum_{i=1}^n x_i^2 = \sum_{i=1}^n x_i y_i \end{eqnarray}$ Das Gleiche kannst du ja mal mit diesem Ausdruck machen: $\begin{eqnarray} \frac{\partial SAQ}{\partial b_0}=-2 \sum_{i=1}^n (y_i - b_0 - b_1 x_i)=0 \end{eqnarray}$ Hinweis: $\begin{eqnarray} \sum_{i=1}^n b_0 = n \cdot b_0 \end{eqnarray}$ Mit freundlichen Grüßen.

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