Hypergeom. Verteilung Problem (große Fakultäten)

26.07.2012, 17:15

mr.cat

Hypergeom. Verteilung Problem (große Fakultäten)

Nehmen Sie an, ein Betrieb habe 1400 Mitarbeiterinnen, von denen 600 öffentliche Verkehrsmittel benutzen. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Stich- probe mit 100 zufällig ausgewählten Mitarbeiterinnen genau 50 enthalten sind, die öffentliche Verkehrsmittel benutzen. Versuchen Sie zunächst die Wahrscheinlichkeit exakt zu berechnen und ermitteln Sie anschlieflend die gesuchte Wahrscheinlichkeit approximativ mit einer Ihnen geeignet erscheinenden Verteilung.

Nun, wenn ich versuche(iwahrscheinlich haben die deshalb von "versuch" in der Aufgabenstellung geredet) die Wahrscheinlichkeit exakt zu berechnen, bekomme ich folgende Rechnung mit der hypergeom. Verteilung:

P(x=50)= $\begin{eqnarray*} \frac{\begin{pmatrix} 800 \\ 50 \end{pmatrix} *\begin{pmatrix} 800 \\ 50 \end{pmatrix} }{\begin{pmatrix} 1400 \\ 100 \end{pmatrix} } \end{eqnarray*}$

Das kann ich natürlich nicht berechnen, wär damit der erste Teil der Aufgabe "abgeschlossen"?

26.07.2012, 17:24

Math1986

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RE: Hypergeom. Verteilung Problem (große Fakultäten)

Zitat:

Original von mr.cat
P(x=50)= $\begin{eqnarray*} \frac{\begin{pmatrix} 800 \\ 50 \end{pmatrix} *\begin{pmatrix} 800 \\ 50 \end{pmatrix} }{\begin{pmatrix} 1400 \\ 100 \end{pmatrix} } \end{eqnarray*}$

Das kann ich natürlich nicht berechnen, wär damit der erste Teil der Aufgabe "abgeschlossen"?

Ja. Dies lässt sich nicht sinnvoll berechnen, allenfalls umformen.

Nun der zweite Teil.

26.07.2012, 18:20

mr.cat

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Dankeschön für die schnelle Antwort.

Was ich nur nicht verstehe ist, dass der Tutor eine ähnliche Aufgabe vorgerechnet hat (natürlich mit Werten die dann auf seinem Zettel schon standen), die von der Komplexität her sogar größer war (10000 über 50 etc). Hat er wahrscheinlich wohl mit einem Programm ausgerechnet.

PS: Hab danach mit der Normalverteilung weitergerechnet, Intervall von 49,5 bis 50,5 genommen und ein Ergebnis von 6,28% als Wahrscheinlich ausgerechnet.

Grüße

26.07.2012, 19:07

Kasen75

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Hallo mr. cat,

erst die Hypergeometrische Verteilung mit der Binomialverteilung approximiert.
n=100
x=50
p=6/14
1-p=8/14
Da kam bei mir ein Wert von 2,84% heraus.

Dann habe ich mit diesen n,p und x die Binomialverteilung durch die Normalverteilung approximiert. Da kam ein Wert von 2,83% heraus.

Ich hoffe ich habe nichts vertauscht.

Mit freundlichen Grüßen.

26.07.2012, 19:34

Huggy

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Mit der Hypergeometrischen Verteilung ergibt sich 2,72 %.

26.07.2012, 20:13

mr.cat

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Zitat:

Original von Kasen75
Hallo mr. cat,

erst die Hypergeometrische Verteilung mit der Binomialverteilung approximiert.
n=100
x=50
p=6/14
1-p=8/14
Da kam bei mir ein Wert von 2,84% heraus.

Dann habe ich mit diesen n,p und x die Binomialverteilung durch die Normalverteilung approximiert. Da kam ein Wert von 2,83% heraus.

Ich hoffe ich habe nichts vertauscht.

Mit freundlichen Grüßen.

Danke, ich glaube ich habe etwas vertauscht in meiner Rechnung. (Der Auswahlsatz n/N<=0,05 war nicht gegegben)
Wie hast du 2,84% rausbekommen?, also wenn ich
die formel für Binomialverteilung mit den Werten auffülle, dann kriege ich 2,83865% raus.
Wie approximierst du anschließend die Binomialverteilung durch die Normalverteilung ?

26.07.2012, 20:26

Kasen75

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Hallo Mr. cat,

wenn ich das richtig sehe, haben wir bei der Binomialverteilung das Gleiche heraus. Insofern kein Grund zur Klage.

Die Approximation der Binomialverteilung durch die Normalverteilung geht mit folgender Formel.

$\begin{eqnarray*} P( X = x)\approx\phi \Bigg( \frac{x+0,5-n \cdot p}{\sqrt{np(1-p)} } \Bigg) - \phi \Bigg( \frac{(x-0,5)-np}{\sqrt{np(1-p)} } \Bigg) \end{eqnarray*}$

Das müsste klappen.

Im Übrigen kannst du auch online mit der Hypergeometrischen Verteilung rechnen. Z.B. hier.

Mit freundlichen Grüßen.

P.S. Mache nur Vertretung für Math1986 bis er wieder online ist.

27.07.2012, 12:05

mr.cat

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Zitat:

Original von Kasen75
Hallo Mr. cat,

wenn ich das richtig sehe, haben wir bei der Binomialverteilung das Gleiche heraus. Insofern kein Grund zur Klage.

Die Approximation der Binomialverteilung durch die Normalverteilung geht mit folgender Formel.

$\begin{eqnarray*} P( X = x)\approx\phi \Bigg( \frac{x+0,5-n \cdot p}{\sqrt{np(1-p)} } \Bigg) - \phi \Bigg( \frac{(x-0,5)-np}{\sqrt{np(1-p)} } \Bigg) \end{eqnarray*}$

Das müsste klappen.

Im Übrigen kannst du auch online mit der Hypergeometrischen Verteilung rechnen. Z.B. hier.

Mit freundlichen Grüßen.

P.S. Mache nur Vertretung für Math1986 bis er wieder online ist.

Dankeschön für die Ausführung smile

Hat mir weitergeholfen.

Nun beide Verteilungen (Hypergeom approximiert durch Binomial und die Binomial approximiert durch die Normalverteilung) ergeben ja den ungefähren Wert.
In der Aufgabenstellung steht ja "geeignet erscheinende" Verteilung, ich gehe mal davon aus, dass beide Verteilungen in diesem Beispiel geeignet sind?
Es gibt ja so eine Faustregel, dasss man die hypergeom mit der binomial Verteilung approximieren soll bei n/N<=0,05, hier wäre das doch garnicht gegeben? (100/1400=>0,05)

29.07.2012, 04:38

Kasen75

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Hallo mr.cat,

Du hast recht. Es gibt diese Faustformel. Zumindest wird sie in zwei meiner drei Statistik-Bücher erwähnt. Bei meinem dritten Statistik-Buch steht nur, dass N und M ausreichend groß sein müssen.

n/N ist hier ja 100/1400= 7,12%. Da es sich um eine Faustformel handelt, wäre es schon eine Überlegung wert diese Approximation zu akzeptieren. 2,72% unterscheidet sich ja nicht so stark von 2,84%. Wobei dies relativ ist, zugegeben. Es kommt immer darauf an wie ganau man es haben will/muss. Es ist deine Entscheidung.

Mit freundlichen Grüßen.

P.S. Vielleicht sagt Math1986 noch was dazu, wenn er nochmal hier vorbeischaut.

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