Verschoben! Ebene im Raum - Gleichungen der Ebene

26.07.2012, 17:47

saschb2b

Ebene im Raum - Gleichungen der Ebene

Datei zu groß: https://dl.dropbox.com/u/14550054/8.3_An...es_Raumes_8.pdf

Da ich an dem Problem schon länger sitze, probiere ich es mal hier.
Es geht um das Bild "Bild 8.3-9:" im Abschnitt 8.3.6.1, welche als 3D Objekt in Mathematica umgesetzt werden soll.
Und ich will wissen, wie ich a,b und c berechnen kann. Sprich die Eckpunte der gespannten Fläche.

Gegeben sind A,B,C und D

Meine Versuche/Annahmen:
Laut der Achsenabschnittsform ist $\begin{eqnarray*} cos(alpha) = \frac{P}{a} \end{eqnarray*}$
Sprich $\begin{eqnarray*} a = \frac{P}{cos(alpha)} \end{eqnarray*}$

Weiter oben steht:
1.) $\begin{eqnarray*} P = \frac{-D}{sqrt(A^{2} + B^{2} + C^{2})} \end{eqnarray*}$
2.) $\begin{eqnarray*} cos(alpha) = \frac{A}{sqrt(A^{2} + B^{2} + C^{2})} \end{eqnarray*}$

Daraus folgt, dass $\begin{eqnarray*} \frac{P}{cos(alpha)} = \frac{\frac{-D}{sqrt(A^{2} + B^{2} + C^{2})}}{\frac{A}{sqrt(A^{2} + B^{2} + C^{2})}} \end{eqnarray*}$

Für b und c werden cosa(beta) und cos(gamma) benutzt

Folgerungen:
a = -D/A
b = -D/B
c = -D/C

Nun tritt aber das Problem auf, dass bei steigenden A,B,C und konstanten D die Werte von a,b,c sinken.
Dadurch vergrößert sich der Quader aber die gespannte Ebene verkleinert sich.

Könnte mir jemand auf die richtige Spur helfen? Sollten noch Informationen fehlen, sagt mir bitte bescheid.

26.07.2012, 18:35

Hunter Sweetwater

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RE: Ebene im Raum - Gleichungen der Ebene
Mach das ganze doch völlig ohne Rotationen, oder ist das so gefordert?

Stell doch mit A,B,C,D einfach mal die Koordinatenform der Ebenengleichung auf.
Dann kannst du die Achsenschnittpunkte einfach als Schnittpunkt zwischen einer Ebene und einer Gerade (Koordinatenachse) berechnen.

26.07.2012, 18:52

saschb2b

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RE: Ebene im Raum - Gleichungen der Ebene
Gefordert ist nur die Umsetzung der Grafik. Ich habe mich nur an der Vorlesung (Link) orientiert und die Formeln genommen die ich gefunden hatte..
A,B und C sind die Maße des Quaders und D ist verantwortlich für den Abstand der Ebene zum Koordnatenursprung.
Verstehe dein Vorhaben nicht ganz..

26.07.2012, 19:20

Hunter Sweetwater

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RE: Ebene im Raum - Gleichungen der Ebene
A,B,C sind nicht die Maße des Quaders sondern die Komponenten des Normalenvektors. Der Quader soll eigentlich nur die Rotation des Normalenvektors bezüglich der Achsen verdeutlichen.
D ist übrigens nur dann der Abstand der Ebene vom Ursprung, wenn dieser Normalenvektor normiert ist, also die Länge 1 hat (Hessesche Normalform).
Wenn du D also konstant lässt und A,B,C einfach veränderst, kommt für den Abstand der Ebene zum Ursprung Blödsinn heraus.
Deine Gleichungen für die Berechnung von a,b,c stimmen übrigens, nur wäre man da sehr viel leichter drauf gekommen.

$\begin{eqnarray*} E:\vec{x}=Ax+By+Cz+D=0\\ g_x:\vec{x}=\begin{pmatrix}0\\ 0\\ 0\end{pmatrix}+a\cdot \begin{pmatrix}1\\ 0\\ 0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}a\\ 0\\ 0\end{pmatrix} \\ \Rightarrow g_x:\vec{x}=\begin{pmatrix}a\\ 0\\ 0\end{pmatrix}; \; g_y:\vec{x}=\begin{pmatrix}0\\ b\\ 0\end{pmatrix}; g_z:\vec{x}=\begin{pmatrix}0\\ 0\\ c\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Jetzt die Geradengleichung in die Ebenengleichung einsetzen und man erhält:
$\begin{eqnarray*} A\cdot a +D=0 \rightarrow a=- \frac D A \\ B\cdot b +D=0 \rightarrow a=- \frac D B \\ C\cdot c +D=0 \rightarrow a=- \frac D C \end{eqnarray*}$

26.07.2012, 19:35

Hunter Sweetwater

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RE: Ebene im Raum - Gleichungen der Ebene
Ich glaube jetzt verstehe ich dein Problem erst richtig:

Zitat:

Nun tritt aber das Problem auf, dass bei steigenden A,B,C und konstanten D die Werte von a,b,c sinken. Dadurch vergrößert sich der Quader aber die gespannte Ebene verkleinert sich.

Wenn du A,B,C vergrößerst, verlängerst du den Normalenvektor N. Der Eckpunkt des Quaders liegt damit nicht mehr auf der Ebene sondern irgendwo oberhalb von ihr.
Wenn du jetzt D konstant lässt, entspricht D nicht mehr dem Abstand der Ebene vom Ursprung.
Scheinbar rückt also die Ebene dichter an den Ursprung heran und a,b und c werden kleiner.

27.07.2012, 14:10

saschb2b

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RE: Ebene im Raum - Gleichungen der Ebene
Ahhhh danke. Da war ich ja komplett auf dem falschen Dampfer. Habe mir jetzt die winkel des Vektors ausgerechnet und diese mit p multipliziert. Jetzt klebt er an der Ebene. Der "Quader" endet jetzt auch an der Vektorspitze!

Sieht jetzt alles ziemlich richtig aus.
Vielen Dank nochmal

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