Umgangston! Menge = Teilmenge1 + Teilmenge2

27.07.2012, 09:30

Muny

Menge = Teilmenge1 + Teilmenge2

Meine Frage:
Hallo allerseits,
Ich habe mich gefragt wie man beweisen kann, dass z.B. die Menge:
M1: a1,a2,a3,a4,...
aus
Mu: a1,a3,a5,a7,...
und
Mg: a2,a4,a6,a8,...
besteht?!?

..oder z.B. aus:
O1: a1,a2,a3
O2: a4,a5,a6
O3: a5,a6,a7
... ...

Kann mir da jemand weiter helfen??

Meine Ideen:
...
Die Menge als Summe ihrer Elemente darstellen??!?
...

27.07.2012, 11:02

Che Netzer

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RE: Menge = Teilmenge1 + Teilemnge2
Hallo,

viel zu beweisen gibt es hier nicht, das macht man in solchen einfachen Fällen auch eigentlich nie.
Naja, du möchtest also zeigen, dass $\begin{eqnarray*} M_1=M_u\cup M_g \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} M_1=\bigcup\nolimits_{i\in\mathbb N}O_i \end{eqnarray*}$ .
Dazu wählst du ein beliebiges Element aus $\begin{eqnarray*} M_1 \end{eqnarray*}$ und zeigst, dass es in (mindestens) einer der anderen Mengen liegt (Fallunterscheidung).
Und als zweiten Schritt die umgekehrte Richtung: Du wählst ein Element der Vereinigung und zeigst, dass es auch in $\begin{eqnarray*} M_1 \end{eqnarray*}$ liegt (das ist einfach).

mfg,
Ché Netzer

27.07.2012, 18:18

Muny

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Hallo,
danke, soweit so klar,
aber wie soll man das praktisch für unendliche Mengen machen?!?

Was is zB. wenn ich eine Menge habe die aus einer unendlichen Anzahl an Untermengen, die selbst wieder aus einer unendlichen Anzahl an Elementen bestehen, besteht...??
(=Fall 3, ergänzend zu og.: Fall1: endliche Anz. Untermengen & unendliche Anz. Elemente, Fall2: unendliche Anz. Untermengen & endliche Anz. Elemente)
...daher auch die rein logiche Überschaubarkeit. Soll ja nur als Beispiel dienen. Mir geht es eher um die mathematische Vorgehensweise..

Eigentlich will ich beweisen, dass die Zerlegung einer Menge sinnvoll ist! Also darf kein Element mehrmals vorkommen. Sprich genau ein Mal!

Wie wäre es zu zeigen, dass:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^\infty a_1 = \sum\limits_{j=0}^1 \sum\limits_{k=2*n-j}^{2*n} a_k \end{eqnarray*}$

für n -> inf stimmt?!
..."Menge natürliche Zahlen = gerade Z. + ungerade Z."

Kann mir jemand sowas an einem Beispiel vorrechnen (oder an allen 3en), wenn's nicht zu viel ist?!? Oder ein paar Fachbegriffe in den Raum werfen?! Vielleicht stehe ich auch auf dem Schlauch, und weiß nur nicht wonach ich 'googln' soll!

27.07.2012, 18:32

Che Netzer

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Ein allgemeines Rezept gibt es da nicht.
Mit dem Beispiel gerade-ungerade: Jede natürliche Zahl ist entweder gerade oder ungerade, also liegt sie in genau einer der beiden Teilmengen.

Das mit der Summe ergibt für mich keinen Sinn... Es ist ja z.B. $\begin{eqnarray*} 1+2+3=2+4 \end{eqnarray*}$ , obwohl $\begin{eqnarray*} \{1,2,3\}\neq\{2,4\} \end{eqnarray*}$ .

Du musst einfach irgendwie argumentieren, dass jedes Element der Grundmenge in einer der Teilmengen liegt und ggf. in keiner anderen. Danach noch, dass keine der "Teilmengen" ein Element enthält, das nicht in der Grundmenge liegt.

27.07.2012, 18:50

Muny

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Das ging ja schnell..

Das gute an den Beispielen ist ja grade, dass man vorher weiß, was heraus kommen muss.. Bleibt nur, es mathematisch zu formulieren!

Wenn du für die a_i Zahlen einsetzt macht es in der Tat wenig Sinn. Betrachte die a_i einfach als Elemente der Menge ("Menge ist Summe ihrer Elemente") ..die Basis quasi..

Dann steht da sowas wie {1,2,3,4,5,...} = {1,3,5,7,...} (+) {2,4,6,8,...}
Also mal in Worten: "M_ges = M_unter_1 + M_unter_2 = Summe_i(M_unter_i),
wobei M_unter_i = Summe jeweiliger Elemente"

27.07.2012, 19:27

Che Netzer

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Moment mal... Soll das heißen, du weißt nicht, was die Vereinigung von Mengen ist? Also $\begin{eqnarray*} M_1\cup M_2 \end{eqnarray*}$ ?
Das Wort "Summe" ergibt hier jedenfalls keinen Sinn.
Wenn du also mit Mengen noch nicht viel zu tun hattest und dir Vereinigungen nichts sagen, wüsste ich nicht, wo ich mit der Erklärung ansetzen sollte. Vielleicht kannst du dann in der Schulmathematik nochmal nachfragen.

27.07.2012, 21:02

Muny

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Momentchen nochmal...

Zitat:

Wenn du also mit Mengen noch nicht viel zu tun hattest und dir Vereinigungen nichts sagen, wüsste ich nicht, wo ich mit der Erklärung ansetzen sollte.

..und wenn doch, wie würde denn dann deine Erklärung explizit aussehen?!? Viel reden kann ja jeder..

Hast du den Mittelteil nicht recht verstanden?!

Nicht nur das Wort sondern auch die mathematische Bedeutung "Summe" macht hier sehr wohl Sinn, vielleicht nicht explizit für dich. Ich sag nur ESK und QM-Basis..
Die Vereinigung andererseits macht hier weniger Sinn! Ich weiß nicht wie dein aktueller Wissensstand aussieht, aber wenn man so will suche ich nach "XOR" und nicht nach "OR".
Und zusätzlich würde ich das gerne elementar beweisen können.
..oder verwirrt dich das "+"-Zeichen?!? -Wer sonst nichts weiß hält sich am Syntax auf..
Nochmal zu der "Summendarstellung" unten: Lass die a_i, a_i sein, und schau was links und rechts des Gleichheitszeichens heraus kommt!
-Sollte gleich sein!

Lass doch mal nen Beispiel folgen (das dann auch für Mengen, die aus unendlich vielen, unendlichen Untermengen bestehen, gilt), und sowas wie "Du musst einfach irgendwie argumentieren, dass..."
geht vielleicht in der Philosophie oder in der Grundschule, aber nicht auf der Uni und erst recht nicht zuhause!...
Auf etwas mit Substanz kann man aufbauen, aber so wird das wohl nix..

27.07.2012, 21:43

Che Netzer

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Summen von Mengen könnte man höchstens bei Vektorräumen verwenden, aber die meinst du hier ja nicht.
Wieso sollte hier die Vereinigung keinen Sinn ergeben?
Hier

Zitat:

{1,2,3,4,5,...} = {1,3,5,7,...} (+) {2,4,6,8,...}

würde ich statt des Summenzeichens eher $\begin{eqnarray*} \cup \end{eqnarray*}$ schreiben.

Wie auch immer, hier ein nichttriviales Beispiel:
Betrachte die Menge aller holomorphen (komplex differenzierbar) Funktionen $\begin{eqnarray*} \mathbb C\setminus\{0\}\to\mathbb C \end{eqnarray*}$ , die in 0 eine Polstelle haben. Jetzt kann ist die Behauptung, dass man diese Menge (disjunkt) zerlegen kann in die Mengen aller holomorphen bzw. meromorphen Funktionen, die in 0 eine Polstelle erster, zweiter, ... Ordnung haben.
Das bedeutet für jede dieser Funktionen $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ gibt es ein eindeutiges ganzzahliges (!) $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ , sodass $\begin{eqnarray*} z^nf(z) \end{eqnarray*}$ in Null eine hebbare Singularität, aber keine Nullstelle hat.
So etwas wie $\begin{eqnarray*} \tfrac1{\sqrt x} \end{eqnarray*}$ geht also nicht.
(das beweise ich hier aber nicht)

Und als zweites Beispiel:
Sei $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ ein normierter Vektorraum. Dann kann man die Menge $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ aller linearen Operatoren $\begin{eqnarray*} E\to E \end{eqnarray*}$ (ebenfalls disjunkt) zerlegen in die Menge der Lipschitz-stetigen linearen Operatoren und die der unstetigen linearen Operatoren.
Dass die beiden Mengen disjunkt sind, ist klar. Außerdem ist deren Vereinigung eine Teilmenge von $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ . Es bleibt zu zeigen, dass jedes Element von $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ in einer dieser beiden Mengen liegt.
Dazu zeige ich, dass Stetigkeit linearer Operatoren Lipschitz-Stetigkeit impliziert:
Als stetiger Operator (der sei $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ ) ist $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ auch beschränkt, d.h. es gibt ein $\begin{eqnarray*} c\geq0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \lVert Tx\rVert\leq c\lVert x\rVert \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x\in E \end{eqnarray*}$ . Daraus folgt mit $\begin{eqnarray*} \lVert Tx-Ty\rVert=\lVert T(x-y)\rVert\leq c\lVert x-y\rVert \end{eqnarray*}$ die Lipschitz-Stetigkeit.
Jedes Element von $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ ist also entweder unstetig oder stetig und damit Lipschitz-stetig, weswegen es in einer der beiden Mengen liegt.

Was du mit deinen Summen aussagen möchtest, weiß ich allerdings immer noch nicht. Da könnte ich höchstens etwas wie $\begin{eqnarray*} \mathcal H=F\oplus F^\perp \end{eqnarray*}$ angeben, wobei $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ abgeschlossener Unterraum des Hilbert-Raums $\begin{eqnarray*} \mathcal H \end{eqnarray*}$ ist, aber das dürfte nicht zu deinen Beispielen passen.

28.07.2012, 00:07

Muny

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Argh...
Sollte natürlich
{a1,a2,a3,a4,a5,...} = {a1,a3,a5,a7,...} (+) {a2,a4,a6,a8,...}
heißen!
Dann ist ohne Frage
a1+a2+a3+... = (a1+a3+a5+a7+...)+(a2+a4+a6+a8+...)

oder auch:
a1+a2+a3+... = (a1+a2+a3)+(a4+a5+a6)+...

..was im ersten Fall gerade der genannten Summengleichung entspricht..
(hierbei handelt es sich tatsächlich um Gleichungen: "+" ist "Plus")

Wenn ich mir jetzt irgendwelche Folgen anhand einer jeweiligen Vorschrift aus der gesamten heraussuchte, könnte ich so überprüfen ob es sich dabei um alles handelt, oder ob etwas bzw. ggf. was genau denn fehlt. Bzw. auch feststellen ob nichts doppelt vorkommt!! ->"XOR"

Das sind ja nette Beispiele, aber nicht grade das was mich im Moment beschäftigt. Wenn du mir noch Quellenangaben geben könntest, ...oder die jeweiligen Beweise (für alles), kann ich das bei Gelegenheit mal vertiefen..

28.07.2012, 00:31

Che Netzer

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Zitat:

Original von Muny
Dann ist ohne Frage
a1+a2+a3+... = (a1+a3+a5+a7+...)+(a2+a4+a6+a8+...)

Wenn du die Summation jetzt nicht doch als Vereinigung zu einer Menge betrachtest, stimmt das gar nicht, siehe "bedingte Konvergenz".

Zitat:

Wenn ich mir jetzt irgendwelche Folgen anhand einer jeweiligen Vorschrift aus der gesamten heraussuchte, könnte ich so überprüfen ob es sich dabei um alles handelt, oder ob etwas bzw. ggf. was genau denn fehlt. Bzw. auch feststellen ob nichts doppelt vorkommt!! ->"XOR"

Das kann ich auch nicht ganz nachvollziehen. Z.B. mit $\begin{eqnarray*} a_n=n \end{eqnarray*}$ kann man als Teilfolge alle ungeraden Zahlen wählen. Beide ergeben Unendlich, aber es fehlen Elemente.
Und wenn man die Mengen $\begin{eqnarray*} \{1,2,4\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \{3,4\} \end{eqnarray*}$ hat, sind das ja Teilmengen von $\begin{eqnarray*} \{1,2,3,4\} \end{eqnarray*}$ , deren Summen sind auch gleich, aber die beiden Mengen sind offenbar keine Zerlegung.

Zitat:

Das sind ja nette Beispiele, aber nicht grade das was mich im Moment beschäftigt. Wenn du mir noch Quellenangaben geben könntest, ...oder die jeweiligen Beweise (für alles), kann ich das bei Gelegenheit mal vertiefen..

Das erste stammt aus der komplexen Analysis bzw. Funktionentheorie. Hier ein Skript. Das zweite kommt aus der linearen Funktionalanalysis; da ist unser Skript leider nicht öffentlich zugänglich. Das mit den Unterräumen am Schluss kommt ebenfalls daher.

Naja, ich versuche nochmal zu verstehen, was genau du meinst:
Du hast eine Menge $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ und beliebig viele Teilmengen $\begin{eqnarray*} M_i \end{eqnarray*}$ davon. Jetzt möchtest du wissen, ob diese $\begin{eqnarray*} M_i \end{eqnarray*}$ auch tatsächlich $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ zerlegen, d.h. ob jedes Element von $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ auch in genau einem $\begin{eqnarray*} M_i \end{eqnarray*}$ liegt.
Soweit richtig?
Und das möchtest du überprüfen, indem du alle Elemente von $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ aufsummierst und außerdem alle Elemente aller $\begin{eqnarray*} M_i \end{eqnarray*}$ . Danach vergleichst du die beiden Summen?

Wenn ja, dann kann man das sowieso nur dann anwenden, wenn diese Addition für die Elemente der Mengen überhaupt definiert ist. Und auch dann liefert das wie oben angemerkt nicht das gewünschte Ergebnis.

28.07.2012, 20:20

Muny

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Ich habe so das Gefühl mich zu wiederholen...

Also nochmal. Die Vereinigung bedeutet (jedenfalls für mich) OR, also "entweder A, oder B, oder A und B. Ich brauche aber XOR (=Partition), also nur "entweder A, oder B"!
Das habe ich mit dem "(+)" und ohne Formeleditor auszudrücken versucht. IST ABER AUCH GARNICHT SO WICHTIG!!

So und für die a_n nimmst du mal einfach eine Funktion (-sklasse) an. (Zb. "x^n")
NICHT ZWANGSWEISE EINE ZAHL!

Somit bleibt die "Summe" einfach die Reihe der Folge der Mengenelemente! ...und stellt den Sachverhalt meines letzten posts, ..und der vorigen.., (a1+a2+...=...) einfach kompakt dar!
Für den Beweis müsste man nurnoch die Summen so umformen, dass da etwas a la "1=1" heraus kommt...
...also ausführlicher gehts nicht mehr...

So wie ich dich verstehe, möchtest du das Problem immer "nummerische" lösen, sprich durch explizites Ausprobieren?!
Ich würde das aber gerne algebraisch beweisen, daher die Reihendarstellung der Menge!!!!
Wer was besseres kennt: Bitte immer gerne!!!

Ich hab noch mal den Formeleditor bemüht. Hier die rechte Seite der Summengleichung (links stehe die gesamte Menge) mal anders dargestellt:
(N sei ohne "0"!)
$\begin{eqnarray*} \left\{ \left\{ f(2i-j)\right\}_{i \in \mathbb N } \right\}_{j\in \left\{0,1\right\} } \end{eqnarray*}$

Ob man damit besser rechnen kann sei mal dahin gestellt..
Aber ich lasse mich gerne überraschen..

Zitat:

Naja, ich versuche nochmal zu verstehen, was genau du meinst:
Du hast eine Menge $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ und beliebig viele Teilmengen $\begin{eqnarray*} M_i \end{eqnarray*}$ davon. Jetzt möchtest du wissen, ob diese $\begin{eqnarray*} M_i \end{eqnarray*}$ auch tatsächlich $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ zerlegen, d.h. ob jedes Element von $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ auch in genau einem $\begin{eqnarray*} M_i \end{eqnarray*}$ liegt.
Soweit richtig?

Tja, besser spät als nie, wie!? Aber soweit: Rischtisch, -Gorregt!!

...der Rest passt allerdings nicht so recht: Ich wollte das nicht mit einer Art Kontrollfunktion machen. Dauert mir auch für gegen unendlich zu lange...
Aber wenn es mal nicht bis unendlich geht; keine schlechte Sache, wenn man denn die korrekte Funktion hat.. ..anderes Thema...

Schließlich nochmal die Frage als Aufgabe:
Beweise rechnerisch (angenommen, keiner wüsste von geraden und ungeraden Zahlen/Funktionen/Äpfeln&Birnen), dass die zuvor genannten Gleichungen, einmal as Summe, einmal als Mengen-menge dargestellt (oder wie auch immer dargestellt) stimmen!

28.07.2012, 21:30

Che Netzer

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Zitat:

Original von Muny
Also nochmal. Die Vereinigung bedeutet (jedenfalls für mich) OR, also "entweder A, oder B, oder A und B. Ich brauche aber XOR (=Partition), also nur "entweder A, oder B"!
Das habe ich mit dem "(+)" und ohne Formeleditor auszudrücken versucht. IST ABER AUCH GARNICHT SO WICHTIG!!

Also eine disjunkte Vereinigung?
Das wäre $\begin{eqnarray*} A\dot\cup B \end{eqnarray*}$ (das gleiche wie die Vereinigung, nur mit dem Hinweis darauf, dass die beiden Mengen disjunkt sind). $\begin{eqnarray*} \oplus \end{eqnarray*}$ kenne ich als direkte/orthogonale Summe von Vektorräumen.
Oder meinst du eine symmetrische Differenz? Also $\begin{eqnarray*} A\triangle B \end{eqnarray*}$ ?

Zitat:

So und für die a_n nimmst du mal einfach eine Funktion (-sklasse) an. (Zb. "x^n")
NICHT ZWANGSWEISE EINE ZAHL!

Also sei z.B. $\begin{eqnarray*} (a_n)_{n\in\mathbb N}\subset\{f\colon\mathbb R\to\mathbb R\} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a_n(x)=x^n \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Somit bleibt die "Summe" einfach die Reihe der Folge der Mengenelemente!

Das wäre in diesem Fall $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty f_n \end{eqnarray*}$ . Das konvergiert aber nur in $\begin{eqnarray*} (-1,1) \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

...und stellt den Sachverhalt meines letzten posts, ..und der vorigen.., (a1+a2+...=...) einfach kompakt dar!
Für den Beweis müsste man nurnoch die Summen so umformen, dass da etwas a la "1=1" heraus kommt...

Was für einen Beweis möchtest du überhaupt führen? Wir haben jetzt doch nur eine einzige Menge.
Und überhaupt funktioniert die Summation so ja nur bei abzählbaren Mengen. Für überabzählbare Mengen in normierten Vektorräumen kenne ich zwar auch eine Summierbarkeit, aber wie soll das ohne Norm funktionieren?

Zitat:

...also ausführlicher gehts nicht mehr...

Doch, ich denke schon. Zumindest könntest du nochmal versuchen, genau zu erklären, wie du dir diese Summen definierst und was du mit den Summen dann anstellen möchtest.

Zitat:

So wie ich dich verstehe, möchtest du das Problem immer "nummerische" lösen, sprich durch explizites Ausprobieren?!

Nein, mit Numerik hatte mein Vorschlag nichts zu tun.
Ich meinte, dass der Beweis, ob zwei Mengen eine (disjunkte) Zerlegung einer dritten Menge bilde, immer unterschiedlich ist.

Zitat:

Ich würde das aber gerne algebraisch beweisen, daher die Reihendarstellung der Menge!!!!

Wie sollte man denn eine Menge als Reihe darstellen können?

Zitat:

Ich hab noch mal den Formeleditor bemüht. Hier die rechte Seite der Summengleichung (links stehe die gesamte Menge) mal anders dargestellt:
(N sei ohne "0"!)
$\begin{eqnarray*} \left\{ \left\{ f(2i-j)\right\}_{i \in \mathbb N } \right\}_{j\in \left\{0,1\right\} } \end{eqnarray*}$

Das ist jetzt eine Menge, die selbst zwei weitere Mengen enthält. Die eine enthält alle Funktionswerte von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ mit geradem, die andere die mit ungeradem natürlichen Argument.
Ist das so gemeint? Eine Summe ist das aber nicht.

Zitat:

Ob man damit besser rechnen kann sei mal dahin gestellt..

Ich weiß gar nicht, wie du überhaupt mit irgendetwas rechnen möchtest.

Zitat:

Schließlich nochmal die Frage als Aufgabe:
Beweise rechnerisch (angenommen, keiner wüsste von geraden und ungeraden Zahlen/Funktionen/Äpfeln&Birnen), dass die zuvor genannten Gleichungen, einmal as Summe, einmal als Mengen-menge dargestellt (oder wie auch immer dargestellt) stimmen!

Ich finde von dir folgende Gleichungen:
- "{a1,a2,a3,a4,a5,...} = {a1,a3,a5,a7,...} (+) {a2,a4,a6,a8,...}"
Wenn mit (+) die disjunkte Vereinigung gemeint ist, dann ist das per Definition richtig, solange es keine $\begin{eqnarray*} n,m\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a_{2n}=a_{2m-1} \end{eqnarray*}$ gibt.
- "a1+a2+a3+... = (a1+a3+a5+a7+...)+(a2+a4+a6+a8+...) "
Das stimmt im allgemeinen nicht. Bzw. dann nicht, wenn die linke Summe nur bedingt konvergiert. (außerdem setzt das die vorhandene Definition einer Operation + voraus)
- "a1+a2+a3+... = (a1+a2+a3)+(a4+a5+a6)+..."
Das stimmt, solange die Operation + wohldefiniert und assoziativ ist.
- $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^\infty a_1 = \sum\limits_{j=0}^1 \sum\limits_{k=2*n-j}^{2*n} a_k \end{eqnarray*}$
Angenommen, links sollte ein $\begin{eqnarray*} a_i \end{eqnarray*}$ stehen; dann summierst du auf der rechten Seite trotzdem nur über insgesamt drei Summanden: $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{j=0}^1 \sum\limits_{k=2*n-j}^{2*n} a_k=a_{2n}+a_{2n-1}+a_{2n} \end{eqnarray*}$ .

Und deine angedeutete Gleichung:
$\begin{eqnarray*} \{f(n)\}_{n\in\mathbb N}=\left\{ \left\{ f(2i-j)\right\}_{i \in \mathbb N } \right\}_{j\in \left\{0,1\right\} } \end{eqnarray*}$
Links enthält diese Menge Funktionswerte von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ , rechts hat man eine Menge von Mengen. Solange sich eine Menge nicht selbst enthalten darf, kann diese Gleichung nicht stimmen.

Ich fasse mal meine (größten) Probleme mit deiner Idee zusammen:
Wie stellst du dir eine Summe von Mengen vor?
(Wie sieht das insbesondere bei überabzählbaren Mengen aus?)
Was möchtest du danach mit dieser Summe tun?

Ich fürchte, ich habe dein Verfahren absolut nicht verstanden.
Wenn irgendjemand sonst versteht, was gemeint ist, kann er sich gerne dazu äußern!

29.07.2012, 01:19

Muny

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Zitat:

Also eine disjunkte Vereinigung?

Ja.

Zitat:

Das wäre $\begin{eqnarray*} A\dot\cup B \end{eqnarray*}$ (das gleiche wie die Vereinigung, nur mit dem Hinweis darauf, dass die beiden Mengen disjunkt sind). $\begin{eqnarray*} \oplus \end{eqnarray*}$ kenne ich als direkte/orthogonale Summe von Vektorräumen.
Oder meinst du eine symmetrische Differenz? Also $\begin{eqnarray*} A\triangle B \end{eqnarray*}$ ?

Nein. Mensch dann such doch einfach mal nach "XOR"!!
..z.B. hier "de.wikipedia.org/wiki/XOR-Gatter#Symbolik" (...ich kann hier keine URLs posten...)

..also das mit dem Formeleditor üben wir nochmal.. Die Summenformel war auch falsch, unten steht sie jetzt nochmal. Diesmal hoffentlich eher so wie ich mir das vorgestellt habe..

So jetzt aber:
Ich habe eine (sortierte) Folge a_i = a_1, a_2, a_3, ...
Dies sei die gesamte Menge.
Daraus entnehme ich eine Unterfolge entsprechend f(n)=2*n, also
a_2, a_4, a_6, ...
Dies sei die Untermenge "Mg".

Jetzt kann man fragen wie man mittels f(n) darauf kommt, dass der Rest, nach "Entnahme", die Untermenge "Mu" ist, also der Vorschrift g(n)=2*n-1 folgt ?!?
...bzw., angenommen man wüsste es nicht, was denn der Rest überhaupt ist?!?

Das ist die vorläufig wichtigste Frage, wie kommt man von f nach g ???

$\begin{eqnarray*} \left\{ \left\{ a_{2i-j}\right\}_{i \in \mathbb N } \right\}_{j\in \left\{0,1\right\} } \end{eqnarray*}$

Das hier soll nur die gesamte Folge bzw. Menge darstellen, zusammengesetzt aus der geraden "Mg" und ungeraden "Mu" Untermenge...

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^\infty a_i = \sum\limits_{j=0}^1 \sum\limits_{k=2n-j}^{\infty} a_k = \sum\limits_{j=0}^1 \sum\limits_{l=1}^{\infty} a_{2l-1} \end{eqnarray*}$

Und das hier, so war der Plan, soll die Reihe der Folge sein (n aus N)...
...was evtl. Vorteile bringt, wenn man die a_i als Vektorkomponenten ansieht, die dann natürlich orthogonal zueinander sind.

Dann kann man hier auch fragen, wie man von der einen inneren Summe (->j=0) zur anderen gelangt (->j=1) !?

29.07.2012, 01:45

Che Netzer

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Zitat:

Original von Muny
Nein. Mensch dann such doch einfach mal nach "XOR"!!
..z.B. hier "de.wikipedia.org/wiki/XOR-Gatter#Symbolik" (...ich kann hier keine URLs posten...)

Das exklusive Oder gehört in die Aussagenlogik, wir sind hier in der Mengenlehre.

Zitat:

So jetzt aber:
Ich habe eine (sortierte) Folge a_i = a_1, a_2, a_3, ...
Dies sei die gesamte Menge.
Daraus entnehme ich eine Unterfolge entsprechend f(n)=2*n, also
a_2, a_4, a_6, ...
Dies sei die Untermenge "Mg".

Also sei $\begin{eqnarray*} M_g \end{eqnarray*}$ die Menge aller Folgenglieder, deren Index im Bild von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ liegt.

Zitat:

Jetzt kann man fragen wie man mittels f(n) darauf kommt, dass der Rest, nach "Entnahme", die Untermenge "Mu" ist, also der Vorschrift g(n)=2*n-1 folgt ?!?
...bzw., angenommen man wüsste es nicht, was denn der Rest überhaupt ist?!?

Und $\begin{eqnarray*} M_u \end{eqnarray*}$ ist die Menge aller Folgenglieder, deren Index im Bild von $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ liegt.
Und du möchtest zeigen, dass $\begin{eqnarray*} M=M_g\dot\cup M_u \end{eqnarray*}$ .
Das geschieht in zwei Schritten:
1. $\begin{eqnarray*} M_g\cap M_u=\emptyset \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} f(\mathbb N)\cap g(\mathbb N)=\emptyset \end{eqnarray*}$
2. $\begin{eqnarray*} M=M_u\cup M_g \end{eqnarray*}$

Zu 1. Angenommen, die Bildbereiche wären doch nicht disjunkt. Sei als $\begin{eqnarray*} f(m)=g(n) \end{eqnarray*}$ für zwei $\begin{eqnarray*} m,n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ . Dann folgt $\begin{eqnarray*} 2m=2n-1\Leftrightarrow1=2(n-m)\Leftrightarrow n-m=\tfrac12 \end{eqnarray*}$ , was für natürliche Zahlen nicht möglich ist.

Zu 2. Zu zeigen ist, dass jede Zahl $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ im Bild von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ liegt. D.h. jedes $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ lässt sich entweder als $\begin{eqnarray*} 2m \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} 2m-1 \end{eqnarray*}$ darstellen.
Das könnte man per Induktion zeigen:
Für $\begin{eqnarray*} n=1 \end{eqnarray*}$ ist das mit $\begin{eqnarray*} m=1 \end{eqnarray*}$ klar.
Für $\begin{eqnarray*} n=2m \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} n=2m-1 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} n+1=2m+1=2(m+1)-1 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} n+1=2m \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Das ist die vorläufig wichtigste Frage, wie kommt man von f nach g ???

Wie ist das denn gemeint? Das sind zwei Funktionen und ich wüsste nicht, wie da ein "aufeinander kommen" definiert sein sollte.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \left\{ \left\{ a_{2i-j}\right\}_{i \in \mathbb N } \right\}_{j\in \left\{0,1\right\} } \end{eqnarray*}$

Das hier soll nur die gesamte Folge bzw. Menge darstellen, zusammengesetzt aus der geraden "Mg" und ungeraden "Mu" Untermenge...

Das stellt allerdings nicht die gesamte Menge dar, das ist eine Menge von zwei Mengen. Es wäre eher $\begin{eqnarray*} \{a_{2n-1}\}_{n\in\mathbb N}\cup\{a_{2n}\}_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^\infty a_i = \sum\limits_{j=0}^1 \sum\limits_{k=2n-j}^{\infty} a_k = \sum\limits_{j=0}^1 \sum\limits_{l=1}^{\infty} a_{2l-1} \end{eqnarray*}$

Die mittlere Summe ergibt keinen Sinn, da ist das $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ nicht definiert.
Ich schätze, bei der rechten Summe soll am Ende statt einer 1 ein $\begin{eqnarray*} j \end{eqnarray*}$ im Index stehen.
Aber auch dann ist das nicht richtig, z.B. mit $\begin{eqnarray*} a_n=\tfrac{(-1)^n}n \end{eqnarray*}$ funktioniert das nicht.

Zitat:

Und das hier, so war der Plan, soll die Reihe der Folge sein (n aus N)...
...was evtl. Vorteile bringt, wenn man die a_i als Vektorkomponenten ansieht, die dann natürlich orthogonal zueinander sind.

Wieso bringt das Vorteile und was verstehst du unter Vektorkomponenten? Und woher nimmst du jetzt Orthogonalität und wieso soll die hier vorliegen?

Zitat:

Dann kann man hier auch fragen, wie man von der einen inneren Summe (->j=0) zur anderen gelangt (->j=1) !?

Was meinst du denn bitte damit?
"Von einer Summe auf eine andere kommen"?
Ich könnte genauso gut fragen, wie du von $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ kommst; da gäbe es nicht viel vernünftiges zu sagen.

29.07.2012, 12:51

mYthos

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@Muny

So weit ersichtlich bist DU es doch, der um Hilfe ersucht.
Dann bitte ich dich, auch einen guten Umgangston zu wahren.

Zitat:

Original von Muny
...

Zitat:

Wenn du also mit Mengen noch nicht viel zu tun hattest und dir Vereinigungen nichts sagen, wüsste ich nicht, wo ich mit der Erklärung ansetzen sollte.

..und wenn doch, wie würde denn dann deine Erklärung explizit aussehen?!? Viel reden kann ja jeder..

Hast du den Mittelteil nicht recht verstanden?!
...
.oder verwirrt dich das "+"-Zeichen?!? -Wer sonst nichts weiß hält sich am Syntax auf..
...
Lass doch mal nen Beispiel folgen (das dann auch für Mengen, die aus unendlich vielen, unendlichen Untermengen bestehen, gilt), und sowas wie "Du musst einfach irgendwie argumentieren, dass..."
geht vielleicht in der Philosophie oder in der Grundschule, aber nicht auf der Uni und erst recht nicht zuhause!...
Auf etwas mit Substanz kann man aufbauen, aber so wird das wohl nix..

Dein Helfer hat mit viel Geduld versucht, die Probelmatik verständlich auseinanderzusetzen, aber für mich sieht es so aus, dass der Thread von deiner Seite polemisch gestaltet wird und zunehmend aus dem Ruder gerät.

Zitat:

Original von Muny

Zitat:

[quote]Also eine disjunkte Vereinigung?

Ja.

Zitat:

Nein. Mensch dann such doch einfach mal nach "XOR"!!
..z.B. hier "de.wikipedia.org/wiki/XOR-Gatter#Symbolik" (...ich kann hier keine URLs posten...)
...

Also beachte bitte die Regeln der Netiquette, wie sie einem Forum, in dem du zudem Hilfe erwartest, Usus sein sollten.

mY+

29.07.2012, 23:42

Muny

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Zitat:

Das exklusive Oder gehört in die Aussagenlogik, wir sind hier in der Mengenlehre.

Naja komm.. Klickste mal auf "Kontravalenz" bzw. "(ausschließende) Disjunktion"... Gerade im Zusammenhang mit der sog. mathematischen "charakteristischen Funktion", die mir eben mehr oder weniger zufällig über den Weg gelaufen ist!!
...also die sollten lieber keinen Nachwuchs bekommen...

Wir haben hier auch eine art charakteristische Funktion. Und zwar für jede Untermenge eine, so dass die Obermenge exakt zerteilt wird.
Nun frage ich mich, wie man von dieser Funktion "f(n)=2n" ausgehend auf "g(n)=2n-1" kommt, sprich wie lässt sich g(n) herleiten (mittels f)??
Es muss doch möglich sein dem, was "übrig bleibt" direkt eine Form zu geben...

Spontan würde ich jetzt versuchen mit der eigentlichen charakteristischen Funktion "u(n)" zu arbeiten.
Sei u(n)=-(-1)^n für die gerade Menge, wobei u=1 "dabei", und u=-1 "nicht dabei" bedeutet (n sei quasi der Index der Hauptmengenelemente).
Jetzt definiere ich noch die "Negation", ..um mal bei der Logik zu bleiben..
Bedeutet, "dabei" wird "nicht dabei" und umgekehrt. Übertragen auf die Funktion, bzw. ihren Bereich, wird "1" -> "-1" und "-1" -> "1". Folglich lautet der zugehörige Operator "(-1)*" . D.h.:

(-1)*u(n)=(-1)^n =: v(n)

,was ja genau die eigentliche charakteristische Funktion der ungeraden Menge ist!
Jetzt noch von v nach g, und alles is oke... ..kann ja nicht so schwer sein.
Und ob das immer so geht...bzw. wie sonst...???

Zitat:

Also sei $\begin{eqnarray*} M_g \end{eqnarray*}$ die Menge aller Folgenglieder, deren Index im Bild von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ liegt.
Und $\begin{eqnarray*} M_u \end{eqnarray*}$ ist die Menge aller Folgenglieder, deren Index im Bild von $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ liegt.
Und du möchtest zeigen, dass $\begin{eqnarray*} M=M_g\dot\cup M_u \end{eqnarray*}$ .
Das geschieht in zwei Schritten:
1. $\begin{eqnarray*} M_g\cap M_u=\emptyset \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} f(\mathbb N)\cap g(\mathbb N)=\emptyset \end{eqnarray*}$
2. $\begin{eqnarray*} M=M_u\cup M_g \end{eqnarray*}$
...

Danke!, das war sehr hilfreich, wobei ich "zu 2)" auf den ersten Blick als etwas konfus empfinde. Das liegt wahrscheinlich auch am einfachen Beispiel, bzw. daran wie die Mengen "ineinandergreifen"...
Die Induktion ist doch nur anwendbar, solange die Obermenge komplett zerteilt wird, bzw. sofern ich weiß wie..., oder?!?
Also in einem Schritt geht das alles nicht?!
Wie würdest du dass denn z.B. mit dem zweiten Beispiel "O1,O2,O3.." (erstes posting) machen??? - Also mit unendlich vielen Mengen etc...

Zitat:

Das stellt allerdings nicht die gesamte Menge dar, das ist eine Menge von zwei Mengen. Es wäre eher $\begin{eqnarray*} \{a_{2n-1}\}_{n\in\mathbb N}\cup\{a_{2n}\}_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ .

Das sehe ich nicht so eng. Eine Menge, die aus Mengen besteht, warum nicht?!
Der Syntax soll nur einigermaßen analog zum Summenzeichen sein..
Wie würdest du das dann mit einer unendlichen Anzahl von Untermengen notieren??

Zitat:

n aus N, steht da doch. ..die "1" hätte ein "j" werden sollen...
Diese ganze Summendarstellung soll eigentlich nur eine Analogie des Problems darstellen, orientiert an der Notation von Vektoren als die Summe ihrer Komponenten: in Pseudocode: "v=Sum(a_i*e_i)". Mehr nicht! Ursprünglich wollte ich das Problem so für den Allgemeinfall ausdrücken, aber könnte ja sein, dass man an Hand formeller umformungen sieht, dass die "Vektoren" gleich sind... ...und dass ein Zusammenhang besteht sieht man einfach daran, dass die art charakteristische Funktion auch in der Summenformel vorkommt...
Ich glaube, du interpretierst da zuviel hinein.. war nur der Versuch, dass "auf's Papier zu bringen" und evtl. sogar Nutzen daraus zu ziehen. Aber die "{ {...}.. }.."-Darstellung gefällt mir auch. Gemeint damit ist immernoch der Sachverhalt aus dem erstem Beitrag.

@ mYthos

Wenn das jetzt vom Che Netzer gekommen wäre, könnte ich das ja noch geradeso nachvollziehen...
Unter schlechtem Umgangston verstehe ich aber etwas anderes. Ich bin höchstens direkt, und zwar um so mehr, je länger das Thema ohne Erfolge in Relation zum unsprünglichen Beitrag wird.
Zwar bin ich der Fragesteller, und mir dessen auch bewusst, aber wie man hier wieder gesehen hat, ist es am besten, wenn der jeweils andere Gesprächspartner weiß, wovon sein Gegenüber redet. Das erspart dann längeres Nachfragen, ...naja, außer es wird fehlerhaft aufgeschrieben... Augenzwinkern

..und ich habe auch ein paar Begriffe nachschauen müssen, Fremdwörter sozusagen. Hat 2 Minuten gedauert, mir das Schreiben erspart und ich habe wieder etwas gelernt.

Zitat:

-Wer sonst nichts weiß hält sich am Syntax auf..

Ist ja nett die "brisanten" Stellen rot zu markieren. Aber ist doch so. smile

Wer kennt es nicht, da kommt jemand daher, nicht um die Problemlösung voran zu treiben, sondern einzig um sich darüber zu empören, wie die Schrift aussieht, ob ein Schweif an der Klammer fehlt, ob der Scheitel mittig sitzt (ich habe krauses Haar..), naja bevor man die Luft garnicht ablässt...
Was sagst du denn dazu, wie man ein "g(n) (aus f(n)) herleiten kann??
Wir sind hier im Internet. Wer weiß schon genau wer wieviel "herumtrollt"..?!

30.07.2012, 00:28

Che Netzer

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Zitat:

Original von Muny

Zitat:

Das exklusive Oder gehört in die Aussagenlogik, wir sind hier in der Mengenlehre.

Naja komm.. Klickste mal auf "Kontravalenz" bzw. "(ausschließende) Disjunktion"...

Schon, aber wenn wir Mengen verknüpfen, ist da ein exklusives Oder fehl am Platz.

Zitat:

Gerade im Zusammenhang mit der sog. mathematischen "charakteristischen Funktion", die mir eben mehr oder weniger zufällig über den Weg gelaufen ist!!
...also die sollten lieber keinen Nachwuchs bekommen...

Die Indikatorfunktion? Inwiefern hat die mit exklusivem Oder zu tun?
Und was für Nachwuchs? Naja, egal...

Zitat:

Wir haben hier auch eine art charakteristische Funktion. Und zwar für jede Untermenge eine, so dass die Obermenge exakt zerteilt wird.

Also $\begin{eqnarray*} 1_M=1_{M_g}+ 1_{M_u} \end{eqnarray*}$ ? (\mathds und \mathbbm werden hier nicht erkannt) Ja, das ist genau dann der Fall, wenn $\begin{eqnarray*} M=M_g\dot\cup M_u \end{eqnarray*}$ und hier macht sogar das + Sinn.
Aber das verlagert das Problem ja nur, oder?

Zitat:

Nun frage ich mich, wie man von dieser Funktion "f(n)=2n" ausgehend auf "g(n)=2n-1" kommt, sprich wie lässt sich g(n) herleiten (mittels f)??

Ich weiß wirklich nicht, wie das gemeint sein soll? Wie soll denn eine Funktion aus einer anderen herzuleiten sein? In diesem Fall ist $\begin{eqnarray*} g(n)=f(n)-1 \end{eqnarray*}$ , aber meinst du das auch wirklich?

Zitat:

Es muss doch möglich sein dem, was "übrig bleibt" direkt eine Form zu geben...

Das Komplement?

Zitat:

Sei u(n)=-(-1)^n für die gerade Menge, wobei u=1 "dabei", und u=-1 "nicht dabei" bedeutet

Dieses $\begin{eqnarray*} u(n) \end{eqnarray*}$ ist aber -1 für gerades $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

(n sei quasi der Index der Hauptmengenelemente).

Ich schätze, das ist auch ein Hauptproblem bei deiner ganzen Idee. Im allgemeinen kannst du die Elemente nicht durchnummerieren, es gibt ja auch überabzählbare Mengen.

Zitat:

Jetzt definiere ich noch die "Negation", ..um mal bei der Logik zu bleiben..
Bedeutet, "dabei" wird "nicht dabei" und umgekehrt. Übertragen auf die Funktion, bzw. ihren Bereich, wird "1" -> "-1" und "-1" -> "1". Folglich lautet der zugehörige Operator "(-1)*" . D.h.:

(-1)*u(n)=(-1)^n =: v(n)

Okay, hier ist alles in Ordnung.

Zitat:

,was ja genau die eigentliche charakteristische Funktion der ungeraden Menge ist!

Was meinst du denn mit "eigentliche charakteristische Funktion"? Insbesondere mit dem "eigentlich"? Auf jeden Fall ist die Funktion 1 für gerades $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ und -1 für ungerades. Eine charakteristische Funktion bzw. Indikatorfunktion sollte aber eigentlich 1 auf der entsprechenden Menge und 0 sonst sein. Naja, das wäre hier $\begin{eqnarray*} \tfrac{1-v(n)}2 \end{eqnarray*}$ . Das ist 1 für ungerades $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ und Null sonst.

Zitat:

Jetzt noch von v nach g, und alles is oke... ..kann ja nicht so schwer sein.
Und ob das immer so geht...bzw. wie sonst...???

Naja, ein $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ erfüllt genau dann $\begin{eqnarray*} v(n)=-1 \end{eqnarray*}$ , wenn es im Bild von $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ liegt.
Was soll immer wie gehen?

Zitat:

Die Induktion soll ja gerade das zeigen. Damit beweist man, dass jede natürliche Zahl entweder gerade oder ungerade ist, d.h. sich als $\begin{eqnarray*} 2n \end{eqnarray*}$ oder als $\begin{eqnarray*} 2n-1 \end{eqnarray*}$ für eine andere natürliche Zahl $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ darstellen kann.

Zitat:

Also in einem Schritt geht das alles nicht?!

Kommt darauf an, wie fein du in Schritte unterteilst.

Zitat:

Wie würdest du dass denn z.B. mit dem zweiten Beispiel "O1,O2,O3.." (erstes posting) machen??? - Also mit unendlich vielen Mengen etc...

Hier muss man auch zeigen, dass die Mengen paarweise disjunkt sind und als Vereinigung die Grundmenge ergeben:
$\begin{eqnarray*} M=\dot\bigcup_{i\in\mathbb N}O_i \end{eqnarray*}$
genau dann, wenn
1. $\begin{eqnarray*} O_i\cap O_j=\emptyset \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} i\neq j \end{eqnarray*}$ und
2. $\begin{eqnarray*} M=\bigcup_{i\in\mathbb N}O_i \end{eqnarray*}$ .
Ich schätze, die Beweise hierfür kannst du dir selbst überlegen.

Zitat:

Das stellt allerdings nicht die gesamte Menge dar, das ist eine Menge von zwei Mengen. Es wäre eher $\begin{eqnarray*} \{a_{2n-1}\}_{n\in\mathbb N}\cup\{a_{2n}\}_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ .

Das sehe ich nicht so eng. Eine Menge, die aus Mengen besteht, warum nicht?!

Dagegen habe ich auch nichts, aber du solltest nicht behaupten, dass diese Menge von Mengen wieder der Grundmenge entspricht.

Zitat:

Der Syntax soll nur einigermaßen analog zum Summenzeichen sein..
Wie würdest du das dann mit einer unendlichen Anzahl von Untermengen notieren??

Inwiefern ist das analog zu irgendeiner Summe?
Naja, wenn ich eine Zerlegung durch Mengen $\begin{eqnarray*} M_i\subset M \end{eqnarray*}$ habe, wobei $\begin{eqnarray*} i\in I \end{eqnarray*}$ für eine beliebige Indexmenge $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} M=\dot\bigcup_{i\in I}M_i \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Die mittlere Summe ergibt keinen Sinn, da ist das $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ nicht definiert. [...]

n aus N, steht da doch. ..die "1" hätte ein "j" werden sollen...

Und das $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ soll beliebig sein? Das stimmt jedenfalls für kein festes $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Diese ganze Summendarstellung soll eigentlich nur eine Analogie des Problems darstellen, orientiert an der Notation von Vektoren als die Summe ihrer Komponenten: in Pseudocode: "v=Sum(a_i*e_i)". Mehr nicht! Ursprünglich wollte ich das Problem so für den Allgemeinfall ausdrücken, aber könnte ja sein, dass man an Hand formeller umformungen sieht, dass die "Vektoren" gleich sind... ...und dass ein Zusammenhang besteht sieht man einfach daran, dass die art charakteristische Funktion auch in der Summenformel vorkommt...

Das Analogon zu Summen ist hier die Vereinigung.
Und in welcher Summenformel taucht welche charakteristische Funktion auf?
Außerdem setzt du eine Basis des Vektorraums voraus...
Was hältst du davon, wenn wir die Vektoren aus dem Spiel lassen, wenn wir über Mengen reden?

Zitat:

Ich glaube, du interpretierst da zuviel hinein..

Ich lese deine Sätze/Formeln nur so, wie sie dastehen. Und so sind sie nicht selten falsch oder (zumindest für mich?) unverständlich, deswegen frage ich ja nach.

Zitat:

war nur der Versuch, dass "auf's Papier zu bringen" und evtl. sogar Nutzen daraus zu ziehen. Aber die "{ {...}.. }.."-Darstellung gefällt mir auch. Gemeint damit ist immernoch der Sachverhalt aus dem erstem Beitrag.

Im ersten Beitrag wolltest du wissen, wie man die angegebenen Zerlegungen "beweist". Und von einer Summe war die Rede.
Naja, wenn du eine Menge aufschreibst, deren Elemente wieder Mengen sind, dann verstehe ich das auch genau so. Eine Darstellung wofür soll das überhaupt sein? Für die Vereinigung?

Zitat:

Zwar bin ich der Fragesteller, und mir dessen auch bewusst, aber wie man hier wieder gesehen hat, ist es am besten, wenn der jeweils andere Gesprächspartner weiß, wovon sein Gegenüber redet.

Genau das versuche ich herauszufinden. Aber ich bin mir ziemlich sicher, dass in der Mathematik nirgendwo Mengen addiert werden oder eine Menge von Mengen mit einer Menge von anderen Objekten gleichgesetzt wird.
Da finde ich mein Nachfragen durchaus berechtigt.

Zitat:

Was sagst du denn dazu, wie man ein "g(n) (aus f(n)) herleiten kann??

Die Frage geht ja eigentlich an dich. Wie die Schrift und deine Haare aussehen, ist mir egal, aber du solltest doch erklären können, wonach du eigentlich fragst.

Zitat:

Wir sind hier im Internet. Wer weiß schon genau wer wieviel "herumtrollt"..?!

Naja, wenn du hier nur trollst, dann haben wir ja zumindest eine vielleicht interessant zu verfolgende Diskussion... Das Problem ist nur, dass man schwer sagen kann, ob man nun einen Troll vor sich hat oder einfach nur aneinander vorbeiredet unglücklich

Ich habe dir jetzt jedenfalls die zwei Bedingungen genannt, die man überprüfen muss, wenn man wissen möchte, ob eine disjunkte Zerlegung vorliegt.
Im zweiten Unterpunkt muss man da ggf. zwei Inklusionen zeigen, wenn nicht von Anfang an klar ist, dass man mit Teilmengen der eigentlichen Menge arbeitet.

Was du mit deinen Summen anstellen möchtest, weiß ich nicht, auch nicht, was du mit "von einer Funktion auf die andere kommen" meinen könntest.
Zum ersten habe ich aber schonmal bedingte Konvergenz und Überabzählbarkeit eingeworfen. Zum zweiten habe ich nicht die leiseste Ahnung.

Von dir würde ich also gerne wissen, an welcher Stelle du deine Summe einsetzt, worüber du summierst und ggf. wie diese Summe definiert sein soll.
Und wie dieses "auf die andere Funktion kommen" zu verstehen ist. D.h. welche Voraussetzungen hat man und was möchte man erreichen? Möchte man aus der Abbildungsvorschrift der einen Funktion eine andere Abbildungsvorschrift erstellen, sodass deren Bilder eine disjunkte Zerlegung von wasauchimmer bilden?

30.07.2012, 18:33

Muny

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Zitat:

Schon, aber wenn wir Mengen verknüpfen, ist da ein exklusives Oder fehl am Platz.

Glaube ich weniger. Schau mal beispielsweise hier:
de.wikipedia.org/wiki/Symmetrische_Differenz#Symmetrische_Differenz
...Definition der symmetrischen Differenz mittels XOR "(+)"..

Zitat:

Die Indikatorfunktion? Inwiefern hat die mit exklusivem Oder zu tun?

Nichts, außer der zweier Zustände, die eine Eigenschaft bejaen oder verneinen. Und, dass XOR auch disjunkt zerteilt, wenn man so will.. So wie in diesen Fällen..
..aber sonst...

Zitat:

Zitat:
Wir haben hier auch eine art charakteristische Funktion. Und zwar für jede Untermenge eine, so dass die Obermenge exakt zerteilt wird.

Also $\begin{eqnarray*} 1_M=1_{M_g}+ 1_{M_u} \end{eqnarray*}$ ? (\mathds und \mathbbm werden hier nicht erkannt) Ja, das ist genau dann der Fall, wenn $\begin{eqnarray*} M=M_g\dot\cap M_u \end{eqnarray*}$ und hier macht sogar das + Sinn.
Aber das verlagert das Problem ja nur, oder?

Was bedeutet denn jetzt das? Ich nehme mal an, die "1er" stellen die Indikatorfunktionen (die originalen!: Bild aus {0,1}) einzelner Teilmengen dar?! Sicherlich kann man Funktionen auch addieren.. Da $\begin{eqnarray*} 1_M \end{eqnarray*}$ immer "1" ist, könnte man doch gleich
$\begin{eqnarray*} 1=1_{M_g}+ 1_{M_u} \end{eqnarray*}$ schreiben.(links steht schon eine Zahl)
Bzw. allgemein für disjunkt zerteilte Mengen entweder:
$\begin{eqnarray*} 1_{M}(n)=\sum\limits_{i=1}^n 1_{M_i}(i,n) \end{eqnarray*}$
oder
$\begin{eqnarray*} 1=\sum\limits_{i=1}^\infty 1_{M_i}(i,n) \end{eqnarray*}$ für alle n

Naja, da mir $\begin{eqnarray*} \dot\cap \end{eqnarray*}$ als Symbol dafür nicht geläufig war, habe ich versucht es mit XOR auszudrücken. Hat ja auch funktioniert.....

Eigentlich verlangt das Problem, nur einer Teilmenge als gegeben anzusehen.

Zitat:

Ich denke, wenn ich dich richtig verstehe, schon. Außer, dass g(n) nicht gegeben ist, f(n) allerdings schon.

Nochmal das Beispiel "0815" als Problem:
Man habe eine Unterfolge entsprechend f(n)=2*n.
Bestimme g(n), die zum Komplement (oder zumindest einem Teil davon) gehörige Funktion!

Zitat:

Das Komplement?

...Schicke Schuhe (..ich weiß..). Du zerreißt den Text ja gradezu..
Nein, nicht nur ein Wort, sondern eine Form wie f(n)=2n für die gerade Menge Mg!

Zitat:

Zitat:
Sei u(n)=-(-1)^n für die gerade Menge, wobei u=1 "dabei", und u=-1 "nicht dabei" bedeutet

Dieses $\begin{eqnarray*} u(n) \end{eqnarray*}$ ist aber -1 für gerades $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ .

Ist ja nicht mehr feierlich...
Naja, also Korrektur, wiedereinmal: u(n)=(-1)^n für die gerade Menge!!! Dem entsprechend ist v(n)=-(-1)^n für die ungerade.

Oder mit f und g: f(m)=2*m für die gerade Menge!!! Dem entsprechend ist g(m)=2*m-1 für die ungerade.

v und g seien NICHT bekannt!
Bei den Funktionen u und v fragst du nicht wie ich von u nach v komme (mittels Operator!), aber so wie bei u und v würde ich das auch gerne mit f und g machen.
Da der Weg von u nach v allerdings zumindest in diesem Fall praktikabel ist, wäre eine äquivalente Frage mit welcher Transformation man von f nach u, bzw. von v nach g kommt...

Du siehst ja, dass ich v aus u hergeleitet habe..

Allerdings habe ich für einige Mengen versucht "u's" zu bestimmen. Ich glaube "f's" lassen sich eher explizit darstellen. Somit wäre der "Umweg von f nach g über u und v" nur selten möglich.

Zitat:

Das Wort "eigentlich" soll die Funktion nur von der "art charakteristische Funktion" f, und von der originalen "charakteristischen Funktion" mit Wertebereich {0,1} abheben...
Dann müsstest du den Operator aber auch anpassen! (im ursprünglichen Fall (Bildmenge:{-1,1}) würde man annehmen, dass u+v=0; in diesem Fall (Bildmenge:{0,1}), dass u+v=1, für die Negation)
Der Wertebereich ist doch egal, solange man die Operatoren entsprechend anpasst.
Eigentlich wird eher der Wertebereich an den Operator angepasst... oder vielmehr: Beides wird aufeinander abgestimmt.
-1 und 1 für die jeweiligen Zustände und "(-1)*" harmonieren doch sehr, für dieses Beispiel.
Für den Wertebereich {0,1} nimmt man dann entsprechend für u(n)=((-1)^n+1)/2
wobei der Operator dann zu "(1+)((-1)*)" wird. (von rechts nach links zu lesen)
Also wird aus u:
1+(-1)*((-1)^n+1)/2 = (-(-1)^n+1)/2 =:v(n) ,
was sich dann als v(n) identifizieren lässt.

Also:
f,g: "art charakt. Fkf."
u,v: "eigentliche charakt. Fkt." Bis auf Wertebereich identisch mit "Chrakteristischer Funktion"

Zitat:

Ich schätze, die Beweise hierfür kannst du dir selbst überlegen.

Also, dass die zu zeigenden Bedingungen die selben wie zuvor sind, ist selbstverständlich. - Es bleibt ja schon irgendwie das gleiche Problem.
Aber sind die Beweise auch identisch???
Also für f_i(n)=n+k*i, n aus {1,..,k}, i aus N, k:beliebig!
(...bzw. f_i(n)=n, n aus {k*i+1,..,k*i+k}...)
f_i sei hier die "Mengenvorschrift" der Menge O_i! (so wie f für Mg)
Vor allem "zu2" würde mich hierbei interessieren..

Kann man nicht auch bei "Beispiel1: zu2" statt Induktion in zwei Fällen eine Gleichung daraus machen? Also statt f=2m und g=2m-1 lediglich h=2m-i nehmen, wobei i aus {0,1}, m aus N. Und dann fordern, dass h=n für irgendein m,i ?? Das geht, aber auch immer und genügt das als Beweis?:
n=2m-i
n-i=2m , bis hier, mit (2m) aus Mg und (n-i) wegen i für jedes n auch aus Mg möglich. Oder weiter...

(n-i)/2=m , bis hier, mit (n-i) wegen i für jedes n auch aus Mg, darum mit "/2" (n-i)/2 immer aus N möglich.
Ist irgendeine Umformung besser als die andere??

Zitat:

Das Analogon zu Summen ist hier die Vereinigung.

Hab ich mir auch gedacht...
Aber lassen wir mal die ganzen Summen und Vektoren aus dem Spiel, und rücken die Funktionen f bzw. u (und g bzw. v, die aber i.A. nicht bekannt sind) in den Mittelpunkt.
..sofern das möglich ist...

Zitat:

Zitat:
Zwar bin ich der Fragesteller, und mir dessen auch bewusst, aber wie man hier wieder gesehen hat, ist es am besten, wenn der jeweils andere Gesprächspartner weiß, wovon sein Gegenüber redet.

Genau das versuche ich herauszufinden. Aber ich bin mir ziemlich sicher, dass in der Mathematik nirgendwo Mengen addiert werden oder eine Menge von Mengen mit einer Menge von anderen Objekten gleichgesetzt wird.
Da finde ich mein Nachfragen durchaus berechtigt.

Und, - ich eben auch. Sicherlich hast du dem "Heimvorteil" weil ich mich in einem Matheforum befinde, aber ich versuchte mich wie bereits gesagt zielgerichtet mitzuteilen. Natürlich ist dein Nachfragen berechtigt. Und auch ein Beispiel mehr als weniger ist nicht unnützlich, wie nützlich ist aber auch eine Frage... Allerdings hätte es von Beginn an auch geholfen, und nicht nur mir, z.B. auf das XOR einzugehen, denke ich.

Zitat:

Zitat:
Was sagst du denn dazu, wie man ein "g(n) (aus f(n)) herleiten kann??

Die Frage geht ja eigentlich an dich. Wie die Schrift und deine Haare aussehen, ist mir egal, aber du solltest doch erklären können, wonach du eigentlich fragst.

Nana, das liegt eher an den Genen als am Schnitt. Die Textpassage ist eher metaphorisch angedacht und eigentlich an mYthos gerichtet.
Kritik: ja, konstruktiv: ?, aber vielleicht ist ein dritter als Vermittler oder so ganz nützlich..

Zitat:

Was soll das denn heißen? Nur wer "trollt", weckt die Begeisterung in einem Matheforum?!? Einerseits verständlich, andererseits etwas oberflächlich..
Aber die scheinen wir hier sowieso zu haben, bei den "Einschaltquoten" in Relation zu der Anzahl der Beiträge...
Das dachte ich mir auch, wobei die die Chance, dass du trollst eher gering ist. Aber es gibt ja auch mehr als Troll oder Nicht-Troll, - keine Frage..

Zitat:

Ich habe dir jetzt jedenfalls die zwei Bedingungen genannt, die man überprüfen muss, wenn man wissen möchte, ob eine disjunkte Zerlegung vorliegt.

Ich suche, wobei das auch sehr nützlich ist falls man "g" schon kennt und ich noch gerne wüsste, ob das nach "Schema F" abläuft(?!), eigentlich die Mengenvorschrift "g".

Zitat:

Möchte man aus der Abbildungsvorschrift der einen Funktion eine andere Abbildungsvorschrift erstellen, sodass deren Bilder eine disjunkte Zerlegung von wasauchimmer bilden?

Auch auf die Gefahr hin, wieder an einander vorbei zu reden, sage ich ja. Ich denkt "Abbildungsvorschrift der einen Funktion" nenne ich "Mengenvorschrift" ..ich bin nur skeptisch, weil ich schon ab und zu versucht habe das auszudrücken...
Wobei das Wasauchimmer im Spezialfall N ist.

30.07.2012, 19:44

Che Netzer

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Zitat:

Original von Muny
Glaube ich weniger. Schau mal beispielsweise hier:
de.wikipedia.org/wiki/Symmetrische_Differenz#Symmetrische_Differenz
...Definition der symmetrischen Differenz mittels XOR "(+)"..

Ja, und dort werden Aussagen verknüpft. Das Oder verknüpft Aussagen, die Vereinigung Mengen.

Zitat:

Nein, das kann man nicht.
1. könnte es Elemente außerhalb von $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ geben, sodass $\begin{eqnarray*} 1_M \end{eqnarray*}$ nicht konstant 1 ist.
2. ist 1 eine Zahl, $\begin{eqnarray*} 1_M \end{eqnarray*}$ ist eine Funktion, genau wie $\begin{eqnarray*} 1_{M_g}+1_{M_u} \end{eqnarray*}$ , und man kann eine Zahl nicht mit einer Funktion gleichsetzen.
Bzw. allgemein für disjunkt zerteilte Mengen entweder:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} 1_{M}(n)=\sum\limits_{i=1}^n 1_{M_i}(i,n) \end{eqnarray*}$
oder
$\begin{eqnarray*} 1=\sum\limits_{i=1}^\infty 1_{M_i}(i,n) \end{eqnarray*}$ für alle n

Das erste geht nicht (wenn eine Zahl $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ z.B. erst in $\begin{eqnarray*} M_{n+1} \end{eqnarray*}$ liegt, wäre die rechte Seite Null, die linke 1.
Das zweite ginge, aber was macht das $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ im Argument der Indikatorfunktion. Wenn du das rausnimmst, hätte ich nichts einzuwenden. (natürlich vorausgesetzt, dass diese $\begin{eqnarray*} M_i \end{eqnarray*}$ eine disjunkte Zerlegung bilden)
EDIT: Das zweite geht allerdings nur, wenn da noch ein $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ in den Index der 1 kommt. Hatte ich mir beim Lesen wohl dazugedacht.

Zitat:

Naja, da mir $\begin{eqnarray*} \dot\cap \end{eqnarray*}$ als Symbol dafür nicht geläufig war, habe ich versucht es mit XOR auszudrücken. Hat ja auch funktioniert.....

Das ist $\begin{eqnarray*} \dot\cup \end{eqnarray*}$ (\cup statt \cap). Ich hatte das hier auch mal falsch geschrieben, tut mir leid für die Verwirrung. $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$ bezeichnet den Schnitt von Mengen, wir brauchen hier aber die Vereinigung $\begin{eqnarray*} \cup \end{eqnarray*}$

Mit deinem XOR hat das allerdings nicht funktioniert, damit kannst du wie gesagt keine Mengen verknüpfen.

Zitat:

Eigentlich verlangt das Problem, nur einer Teilmenge als gegeben anzusehen.

? Inwiefern?

Zitat:

Nochmal das Beispiel "0815" als Problem:
Man habe eine Unterfolge entsprechend f(n)=2*n.
Bestimme g(n), die zum Komplement (oder zumindest einem Teil davon) gehörige Funktion!

Okay... Du hast also eine Menge $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ und eine Funktion bzw. Folge $\begin{eqnarray*} f\colon\mathbb N\to\mathbb N \end{eqnarray*}$ , wobei jedem $\begin{eqnarray*} f(n) \end{eqnarray*}$ ein Element der Menge zugewiesen wird. Hast du etwas dagegen, wenn ich das mit $\begin{eqnarray*} m(f(n)) \end{eqnarray*}$ bezeichne? Dann ist $\begin{eqnarray*} m\colon \mathbb N\to M \end{eqnarray*}$ die Funktion, die einem Index das Element zuweist, also im Prinzip $\begin{eqnarray*} m(f(n))=a_{f(n)} \end{eqnarray*}$ .
Du möchtest jetzt eine Funktion $\begin{eqnarray*} g\colon\mathbb N\to\mathbb N \end{eqnarray*}$ finden, sodass $\begin{eqnarray*} m\colon \mathbb N\to M \end{eqnarray*}$ so definiert sein kann, dass $\begin{eqnarray*} m(f(\mathbb N))\dot\cup m(g(n))=M \end{eqnarray*}$ .
Richtig?
Das ist im allgemeinen aber nicht möglich.
1. könnte $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ wie gesagt überabzählbar sein, d.h. du kannst die Elemente gar nicht durchnummerieren.
2. Wenn du eine Nummerierung gefunden hast, $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ also als Folge darstellen kannst und mit $\begin{eqnarray*} m(f(\mathbb N)) \end{eqnarray*}$ eine Teilfolge auswählst, bräuchtest du ja eine bijektive Funktion $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} g\colon\mathbb N\to(f(\mathbb N))^{\mathrm C} \end{eqnarray*}$ . Ohne $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ konkret zu kennen, kann man da nichts machen. Und auch wenn man $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ kennt, kann man nicht immer eine vernünftige Funktion $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ angeben, z.B. bei $\begin{eqnarray*} f(n)=n^2 \end{eqnarray*}$ kann man $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ nur darstellen, indem man sagt, dass es nunmal nicht die Quadratzahlen treffen soll.

Zitat:

Das Komplement?

...Schicke Schuhe (..ich weiß..). Du zerreißt den Text ja gradezu..
Nein, nicht nur ein Wort, sondern eine Form wie f(n)=2n für die gerade Menge Mg!

Naja, das, "was übrig bleibt" würde doch gut als Komplement bezeichnet werden können.
Du möchtest also einen Weg finden, das Komplement zu beschreiben? Bzw. die Indizes der Elemente darin?

Zitat:

Naja, also Korrektur, wiedereinmal: u(n)=(-1)^n für die gerade Menge!!! Dem entsprechend ist v(n)=-(-1)^n für die ungerade.

Akzeptiert.

Zitat:

Oder mit f und g: f(m)=2*m für die gerade Menge!!! Dem entsprechend ist g(m)=2*m-1 für die ungerade.

Das darf ich mal allgemein aufschreiben? Es seien Mengen $\begin{eqnarray*} M_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} M_2 \end{eqnarray*}$ gegeben, mit $\begin{eqnarray*} M_1\cap M_2=\emptyset \end{eqnarray*}$ und beide Mengen seien Teilfolge einer anderen Menge/Folge.
Dann sei $\begin{eqnarray*} f\colon\mathbb N\to\mathbb N \end{eqnarray*}$ eine Folge mit der Eigenschaft, dass Folgenglieder, deren Index im Bild von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ liegt, in $\begin{eqnarray*} M_1 \end{eqnarray*}$ enthalten sind.
Analog für $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} M_2 \end{eqnarray*}$ .
Außerdem sei $\begin{eqnarray*} u\colon\mathbb N\to\{-1,1\} \end{eqnarray*}$ eine Funktion/Folge mit der Eigenschaft, dass $\begin{eqnarray*} u(n)=1 \end{eqnarray*}$ genau dann gilt, wenn das Folgenglied mit Index $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} M_1 \end{eqnarray*}$ liegt.

Zitat:

v und g seien NICHT bekannt!
Bei den Funktionen u und v fragst du nicht wie ich von u nach v komme (mittels Operator!), aber so wie bei u und v würde ich das auch gerne mit f und g machen.
Da der Weg von u nach v allerdings zumindest in diesem Fall praktikabel ist, wäre eine äquivalente Frage mit welcher Transformation man von f nach u, bzw. von v nach g kommt...

Du möchtest also bei obigen Voraussetzungen die Funktionen $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ bestimmen?
Dann ist die einzige allgemeine Variante folgende:
$\begin{eqnarray*} g(n)=\min\Bigl\{n\in\{g(n-1),\dots\}:n\notin f(\mathbb N)\Bigr\} \end{eqnarray*}$ (wobei man $\begin{eqnarray*} g(0)=0 \end{eqnarray*}$ setzen kann)
$\begin{eqnarray*} v(n)=-u(n) \end{eqnarray*}$ .
$\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ kann man also nicht vernünftig darstellen, nur rekursiv.

Zitat:

Also für f_i(n)=n+k*i, n aus {1,..,k}, i aus N, k:beliebig!
(...bzw. f_i(n)=n, n aus {k*i+1,..,k*i+k}...)
f_i sei hier die "Mengenvorschrift" der Menge O_i! (so wie f für Mg)
Vor allem "zu2" würde mich hierbei interessieren..

Kann man nicht auch bei "Beispiel1: zu2" statt Induktion in zwei Fällen eine Gleichung daraus machen? Also statt f=2m und g=2m-1 lediglich h=2m-i nehmen, wobei i aus {0,1}, m aus N. Und dann fordern, dass h=n für irgendein m,i ?? [...]

Was soll das denn werden? Die $\begin{eqnarray*} f_i \end{eqnarray*}$ sind jetzt plötzlich auf eine Teilmenge von $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ eingeschränkt?
Alles ab dem h=2m-i ergibt für mich gar keinen Sinn mehr.

Naja, wenn man zeigen möchte, dass die Mengen mit je $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ bilden, wähle man $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ . Jetzt muss man $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ als $\begin{eqnarray*} km+l \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} k\in\mathbb N_0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} l<k \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} l\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ darstellen können. Das kann man meinetwegen wieder per Induktion zeigen.

Zitat:

Aber lassen wir mal die ganzen Summen und Vektoren aus dem Spiel

Das schlage ich doch schon die ganze Zeit über vor...
Ich frage auch lieber nicht mehr nach, welchen Vektorraum du da betrachten wolltest, geschweige denn wieso.

Zitat:

und rücken die Funktionen f bzw. u (und g bzw. v, die aber i.A. nicht bekannt sind) in den Mittelpunkt.
..sofern das möglich ist...

Na schön...
Aber geht es immer noch darum, zu überprüfen, ob zwei (oder mehr) Mengen eine disjunkte Zerlegung einer anderen bilden?
Das würde jedenfalls nicht dazu passen, dass $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ unbekannt sind.

Zitat:

Allerdings hätte es von Beginn an auch geholfen, und nicht nur mir, z.B. auf das XOR einzugehen, denke ich.

Das XOR habe ich von Anfang an als disjunkte Vereinigung übersetzt...
Inwiefern hätte ich denn anders darauf eingehen sollen?
Zumal ich ungern auf etwas eingehe, wenn es falsch ist. Ich will diese Notation ja nicht auch noch unterstützen, das dürfte dir keine Hilfe sein.

Zitat:

aber vielleicht ist ein dritter als Vermittler oder so ganz nützlich..

Könnte gut sein, aber ich schätze, es wäre hilfreicher, wenn du dich exakt ausdrücken würdest.
Schildere genau dein Problem, d.h. was du erreichen willst. Schreibe die genauen Voraussetzungen auf und ebenso genau, was ermittelt werden soll. Danach kannst du deine Ideen dazu darlegen, z.B. das mit den "charakteristischen" Funktionen.

Zitat:

Was soll das denn heißen? Nur wer "trollt", weckt die Begeisterung in einem Matheforum?!?

Nein, aber ich amüsiere mich immer wieder gerne über Threads, auf denen oft seitenlang in gigantischen Beiträgen über den größtmöglichen Unsinn diskutieren, ohne auf ein Ergebnis zu kommen.

Zitat:

wobei die die Chance, dass du trollst eher gering ist.

Ich bin da eher in der Rolle des Opfers, das nur helfen wollte Augenzwinkern

Zitat:

Ich suche, wobei das auch sehr nützlich ist falls man "g" schon kennt und ich noch gerne wüsste, ob das nach "Schema F" abläuft(?!), eigentlich die Mengenvorschrift "g".

Was denn für eine Mengenvorschrift? Da wäre die Komplementbildung am sinnvollsten.
Und zu zeigen, dass Mengen eine disjunkte Zerlegung einer anderen Menge bilden, läuft meist immer unterschiedlich ab, das hängt stark von der betrachteten Grundmenge und der Definition der zu untersuchenden Teilmengen ab.

Zitat:

Möchte man aus der Abbildungsvorschrift der einen Funktion eine andere Abbildungsvorschrift erstellen, sodass deren Bilder eine disjunkte Zerlegung von wasauchimmer bilden?

Das ist ja schonmal gut zu wissen. Das "Mengenvorschrift" zu nennen, halte ich für weniger sinnvoll. Das würde ich lieber für eine Bedingung an Elemente der Menge benutzen, nicht für eine Abbildung von $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ .

Mit deiner ursprünglichen Frage hat das aber auch nichts mehr zu tun, oder?
Die dürfte mit den beiden genannten Bedingungen für disjunkte Zerlegungen beantwortet sein. Jetzt gehst du anscheinend von einer Teilmenge von $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ aus, die als Bild einer bestimmten Folge definiert ist. Dann möchtest du eine Folgenvorschrift finden, deren Bild das Komplement dieser Teilmenge ist.
Wie gesagt: Ich fürchte, das geht allgemein nur rekursiv, wie oben beschrieben (mit dem Minimum).

31.07.2012, 01:19

Muny

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Zitat:

Schon, aber wenn wir Mengen verknüpfen, ist da ein exklusives Oder fehl am Platz. ... Ja, und dort werden Aussagen verknüpft. Das Oder verknüpft Aussagen, die Vereinigung Mengen.

So scharf getrennt stimmt das schon. "Fehl am Platz" bietet aber schon etwas Interpretationsfreiraum..
Ich nehme an du kannst nachvollziehen wie ich auf das XOR gekommen bin, da es hier um die Partition, sprich die "disjunkte Zerlegung", geht!
Man benutzt doch fast immer logische operationen um herauszufinden welche Eigenschaften ein Element hat..
Angenommen wir haben: A={1,2,3,4}, B={1,2} und C={3,4}, dann kann ich für jedes Element aus A jeweils fragen ob es in der Menge B bzw. C liegt. Und wenn nur genau eine Antwort "wahr" ist, sind B und C Partitionen von A.

Zitat:

zu 1.: Soll es aber nicht!
zu 2.: Macht das so mehr Sinn für dich?
$\begin{eqnarray*} 1_{M_g}(n)+1_{M_u}(n)=1, \forall n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$

Zitat:

Wie wäre es mit
$\begin{eqnarray*} 1_{M}=\sum\limits_{i=1}^\infty 1_{M_i}(i) \end{eqnarray*}$ für's Erste?
Beim zweiten geht es mit der Summe dann doch...
Es macht für dich anscheinend einen gravierenden Unterschied, ob die Funktion mit oder ohne Argumente geschrieben wird..
Das i kommt von einer allgemeinen Form der Funktion für alle M_i. Wie z.B. u(m,i)=2m-i.
Ich würde das $\begin{eqnarray*} 1_{M_i}(i,n) \end{eqnarray*}$ dann so lesen, dass es sich um die "charakt. Fkt." der i-ten Menge handelt, die von n und i abhängt. ..muss ja nicht zwingend von i abhängen...

Zitat:

Das ist $\begin{eqnarray*} \dot\cup \end{eqnarray*}$ (\cup statt \cap). Ich hatte das hier auch mal falsch geschrieben, tut mir leid für die Verwirrung.

Nicht der Rede wert. Ich könnte ja froh sein, dass du in Sachen Verwirrung stiften aufholst... Im Gegensatz zu dir habe ich allerdings keine "Edit-Funktion" (macht ja auch keinen Sinn)

Zitat:

...Eine Verknüpfung von Funktionen? ist eine Menge?
m weist einen Index einem Element zu, und f werden die Elemente zugewiesen ??? Äh...

Zitat:

$\begin{eqnarray*} m(f(n))=a_{f(n)} \end{eqnarray*}$

Soweit ich das richtig verstehe, stimmts.

Zitat:

Das ist im allgemeinen aber nicht möglich.
1. könnte $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ wie gesagt überabzählbar sein, d.h. du kannst die Elemente gar nicht durchnummerieren.
2. Wenn du eine Nummerierung gefunden hast, $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ also als Folge darstellen kannst und mit $\begin{eqnarray*} m(f(\mathbb N)) \end{eqnarray*}$ eine Teilfolge auswählst, bräuchtest du ja eine bijektive Funktion $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} g\colon\mathbb N\to(f(\mathbb N))^{\mathrm C} \end{eqnarray*}$ . Ohne $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ konkret zu kennen, kann man da nichts machen. Und auch wenn man $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ kennt, kann man nicht immer eine vernünftige Funktion $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ angeben, z.B. bei $\begin{eqnarray*} f(n)=n^2 \end{eqnarray*}$ kann man $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ nur darstellen, indem man sagt, dass es nunmal nicht die Quadratzahlen treffen soll.

zu 1.: Soll sie aber nicht sein. Wenn ich das richtig verstehe war sie das bis jetzt auch nicht.
zu 2.: f, bzw. mindestens eine Teilmenge ist bekannt.
"f(n)=n^2 etc.": Es ist aber nicht gesagt, ob sich der Rest nicht wieder mittels Vorschrift sinnvoll unterteilen lässt..
Es geht darum eine Menge, wobei eine Teilmenge mittels Vorschrift ala f gegeben ist, so zu unterteilen, dass alle Teilmengen einer jeweiligen Vorschrift folgen, (die dann evtl. zu einer einzigen verallgemeinert werden kann).
Wenn ich z.B. mit O_1={1,2,3} als Teilmenge von N beginne, bekomme ich für den Rest {4,5,6,7,...} heraus. Nun zerteile ich den Rest in {4,5,6}=O_2 und {7,8,9,10,...} usw..:
f_1(n)=n , für n aus {1,2,3}
f_2(n)=n+3
f_3(n)=n+6=n+2*3 , oder allgemein:
f_i(n)=n+3*i , oder noch allgemeiner, wobei k=Anz. Elemente der O_i:
f_i(n)=n+k*i .
Das letzte f_i beschreibt meiner Meinung nach die auf diese Weise zerlegte Menge am allgemeinsten.

Für die Zerlegung in Mg und Mu wäre es noch simpler:
f_i(m)=2*m-i , mit m aus N und i aus {0,1} .

Und für eine Zerlegung in "M_(n^2)" und weitere Mengen wäre
f_1(n)=n^2 .
Verstehst du worauf ich hinaus will?! Selbst rekursive Darstellungen würden mir genügen.

Zitat:

Menge/Folge/Funktion??? Als das liegt jetzt aber nicht an mir... Aber egal, auch hier sofern ich dich richtig verstehe, würde ich sagen es stimmt.

Zitat:

Aber geht es immer noch darum, zu überprüfen, ob zwei (oder mehr) Mengen eine disjunkte Zerlegung einer anderen bilden?
Das würde jedenfalls nicht dazu passen, dass $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ unbekannt sind.

Darum ging es eigentlich nie, außer wenn man z.B. durch Raten oder wie auch immer g bzw. v schon kennt..
Die Partition ist von Prinzip her, also den "zwei Teilschritten" auch klar, nur die jeweilige Durchführung nicht.

Zitat:

Naja, so ca. nach 6 posts und nachdem ich das mit "Partition" tituliert hatte, aber so in etwa vom Anfang an..
Fremde Notation ist mir aber auch nicht ohne weiteres eine Hilfe, ist ja nicht so als hätte ich den Sachverhalt nicht auch in Worten beschrieben..

Zitat:

Jetzt gehst du anscheinend von einer Teilmenge von $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ aus, die als Bild einer bestimmten Folge definiert ist. Dann möchtest du eine Folgenvorschrift finden, deren Bild das Komplement dieser Teilmenge ist.
Wie gesagt: Ich fürchte, das geht allgemein nur rekursiv, wie oben beschrieben (mit dem Minimum)

Ok gut zu wissen, dass min() Minimum bedeutet, aber verstanden hab ich das noch nicht. Gibt es für das ganze auch einen Namen? Naja, das was ich gerne erreichen würde steht in der Passage mit den "f_i"

31.07.2012, 01:52

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Muny
Angenommen wir haben: A={1,2,3,4}, B={1,2} und C={3,4}, dann kann ich für jedes Element aus A jeweils fragen ob es in der Menge B bzw. C liegt. Und wenn nur genau eine Antwort "wahr" ist, sind B und C Partitionen von A.

Ja, ich verstehe schon, wie du auf XOR gekommen bist, aber die Menge(nverknüpfung), die man daraus definiert, wäre ja die symmetrische Differenz, nicht die disjunkte Vereinigung.

Und mit "fehl am Platz" meinte ich, dass ein XOR nichts zwischen zwei Mengen zu suchen hat, sondern nur zwischen zwei Aussagen.

Zitat:

zu 1.: Soll es aber nicht!

Das ist dann Definitionssache...

Zitat:

zu 2.: Macht das so mehr Sinn für dich?
$\begin{eqnarray*} 1_{M_g}(n)+1_{M_u}(n)=1, \forall n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$

Ja. Das macht überhaupt nur so Sinn Augenzwinkern

Zitat:

Wie wäre es mit
$\begin{eqnarray*} 1_{M}=\sum\limits_{i=1}^\infty 1_{M_i}(i) \end{eqnarray*}$ für's Erste?
[...]
Ich würde das $\begin{eqnarray*} 1_{M_i}(i,n) \end{eqnarray*}$ dann so lesen, dass es sich um die "charakt. Fkt." der i-ten Menge handelt, die von n und i abhängt. ..muss ja nicht zwingend von i abhängen...

Das $\begin{eqnarray*} (i) \end{eqnarray*}$ solltest du rausnehmen. Dass es die charakteristische Funktion der $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ -ten Menge ist, wird schon durch den Index deutlich.
So wäre die rechte Seite aber wieder eine Zahl. Und zwar wäre das die Anzahl der Mengen $\begin{eqnarray*} M_i \end{eqnarray*}$ , so dass $\begin{eqnarray*} i\in M_i \end{eqnarray*}$ (ggf. Unendlich)

Zitat:

Es macht für dich anscheinend einen gravierenden Unterschied, ob die Funktion mit oder ohne Argumente geschrieben wird..

Nicht nur für mich!
Ohne das Argument ist es eine Funktion, mit ihm ein Funktionswert.

Zitat:

...Eine Verknüpfung von Funktionen? ist eine Menge?
m weist einen Index einem Element zu, und f werden die Elemente zugewiesen ??? Äh...

Nicht ganz. Mit $\begin{eqnarray*} f(\mathbb N) \end{eqnarray*}$ ist das Bild von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ gemeint, d.h. es ist wieder eine Menge.
Und $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ weist erst einmal jeder natürlichen Zahl einen Index zu. (bzw. nummeriert die Indizes einer Teilfolge). $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ ordnet dann diesem Index sein zugehöriges Element zu.

Zitat:

zu 1.: Soll sie aber nicht sein. Wenn ich das richtig verstehe war sie das bis jetzt auch nicht.

Du möchtest dieses Verfahren also nur für abzählbar unendliche Mengen anwenden? Das schränkt die Anwendbarkeit aber stark ein.

Zitat:

"f(n)=n^2 etc.": Es ist aber nicht gesagt, ob sich der Rest nicht wieder mittels Vorschrift sinnvoll unterteilen lässt..

Sinnvoll geht das nicht. Zumindest nicht so, wie ich es sinnvoll nennen würde.

Zitat:

Es geht darum eine Menge, wobei eine Teilmenge mittels Vorschrift ala f gegeben ist, so zu unterteilen, dass alle Teilmengen einer jeweiligen Vorschrift folgen, (die dann evtl. zu einer einzigen verallgemeinert werden kann).

Das ist im allgemeinen nicht sinnvoll möglich. Beispiel sind die Quadratzahlen, wie oben.

Zitat:

f_i(n)=n+k*i .
Das letzte f_i beschreibt meiner Meinung nach die auf diese Weise zerlegte Menge am allgemeinsten.

Wie beschreibt die Funktion die Mengen denn? Das Bild von $\begin{eqnarray*} f_0 \end{eqnarray*}$ ist ja z.B. ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ und überhaupt ist das Bild solcher Funktionen immer vollständig im Bild einer dieser Funktionen mit kleinerem Index enthalten.

Zitat:

Und für eine Zerlegung in "M_(n^2)" und weitere Mengen wäre
f_1(n)=n^2 .
Verstehst du worauf ich hinaus will?! Selbst rekursive Darstellungen würden mir genügen.

Für eine rekursive Darstellung einer Folge, deren Bild das Komplement davon ist, habe ich dir ja schon etwas genannt. Allerdings kannst du dann nur eine andere Menge definieren. Die Menge aller Kubikzahlen überschneidet sich ja mit der der Quadratzahlen.

Zitat:

Menge/Folge/Funktion??? Als das liegt jetzt aber nicht an mir... Aber egal, auch hier sofern ich dich richtig verstehe, würde ich sagen es stimmt.

Naja, eine Folge ist ja nichts weiter als eine Funktion, die auf $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ definiert ist.

Zitat:

Dass es um diese Überprüfung geht, hast du mir aber schon ein paar mal bestätigt unglücklich

Also ging es von Anfang an darum, eine Funktionsvorschrift zu finden, deren Bild die Indizes des Komplements sind?

Zitat:

Naja, so ca. nach 6 posts

Also als du zum ersten mal von XOR gesprochen hast Augenzwinkern

Zitat:

Fremde Notation ist mir aber auch nicht ohne weiteres eine Hilfe, ist ja nicht so als hätte ich den Sachverhalt nicht auch in Worten beschrieben..

Das ist keine fremde Notation, das ist die korrekte Notation. Du kannst ja nicht einfach $\begin{eqnarray*} 1+1=2 \end{eqnarray*}$ schreiben, etwas wirr darumherum erzählen und erwarten, dass der Leser darin die Schrödinger-Gleichung erkennt.

Ich fände es ganz praktisch, wenn wir eine Notation verwenden, die auch allgemein verstanden wird.

Zitat:

Also versuche ich nochmal dein Problem zu erfassen.

Gegeben sei eine abzählbar unendliche Menge $\begin{eqnarray*} M=(a_n)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ .
Außerdem sei eine (nichtleere, echte) Teilmenge $\begin{eqnarray*} M_1\subsetneq M \end{eqnarray*}$ gegeben.
Zu dieser existiere eine Funktion bzw. Folge $\begin{eqnarray*} f\colon\mathbb N\to\mathbb N \end{eqnarray*}$ , so dass $\begin{eqnarray*} M_1=(a_n)_{n\in f(\mathbb N)} \end{eqnarray*}$ . (d.h. $\begin{eqnarray*} M_1 \end{eqnarray*}$ wäre unendlich)
Gesucht ist eine Funktion bzw. Folge $\begin{eqnarray*} g\colon\mathbb N\to\mathbb N \end{eqnarray*}$ , so dass
$\begin{eqnarray*} M_2:=M_1^{\mathrm C}=(a_n)_{n\in g(\mathbb N)} \end{eqnarray*}$ .

Wenn das das Problem ist, hier die Antwort:
Wir gehen zunächst davon aus, dass $\begin{eqnarray*} M_2 \end{eqnarray*}$ auch unendlich ist.
Dann definieren wir
$\begin{eqnarray*} g(n)=\min\Bigl\{n\in\{g(n-1),\dots\}:n\notin f(\mathbb N)\Bigr\} \end{eqnarray*}$ ,
wobei zu Definitionszwecken $\begin{eqnarray*} g(0) \end{eqnarray*}$ als $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ betrachtet wird.
Diese Folge durchläuft also in aufsteigender Reihenfolge alle natürlichen Zahlen und überspringt dabei die, die Index eines Elements von $\begin{eqnarray*} M_1 \end{eqnarray*}$ sind.

Ist $\begin{eqnarray*} M_2 \end{eqnarray*}$ dagegen endlich, können wir
a) den Definitionsbereich von $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ einschränken oder
b) nach Erreichen des maximalen Elements wieder von vorne beginnen. Ist z.B. $\begin{eqnarray*} M_2=\{1,2\} \end{eqnarray*}$ , dann könnte man $\begin{eqnarray*} g(1)=1 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} g(2)=2 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} g(3)=1 \end{eqnarray*}$ etc. definieren.

Auf beide bzw. auf alle genannten Weisen hat man dann (rekursiv) eine Funktion definiert, dessen Bildbereich genau die Indexmenge für $\begin{eqnarray*} M_2=M_1^{\mathrm C} \end{eqnarray*}$ bildet.

Ist das so in Ordnung?
Ich fände eine solche rekursive Definition ja recht unschön, aber im allgemeinen geht es nicht anders...

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Umgangston! Menge = Teilmenge1 + Teilmenge2

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