Fußpunkte eines dreidimensionalen Dreiecks

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rez Auf diesen Beitrag antworten »
Fußpunkte eines dreidimensionalen Dreiecks
Meine Frage:
Hi, hänge hier leider an dieser Aufgabe fest und die schon geposteten Lösungen helfen mir auch nicht weiter. :P

Gegeben ist ein Dreieck ABC mit A(4/2/-0,5), B(9/2/3,25) und C(6/9,5/1). a.) Bestimmen Sie die Fußpunkte Fa, Fb und Fc der drei Höhen.
Anleitung: Es ist AFc = r*AB, wobei r aus (AC - r*AB) * AB = 0 bestimmt werden kann.
b.) Berechnen Sie die Koordinaten des Höhenschnittpunktes H.

Meine Ideen:
Also die "Anleitung" hab ich mithilfe einer Abbildung jetzt verstanden, die Aufgabe eigentlich auch, nur löse ich sie einfach falsch und komme nicht drauf wo der fehler liegt.

http://www.math.rwth-aachen.de/~Ulrich.Schoenwaelder/Gdg/Gdg18-01/Skizze6.GIF
hier hab ich eine skizze zu der aufgabe gefunden die passt, nur teilweise andere bezeichnungen.


Also erstmal hab ich (AC - r*AB) * AB = 0 umgeformt.. vlt ist hier schon der fehler...
-> AC - r*AB = 0,
-> AC = r*AB,
r = AC/AB .

dann hab ich für die länge von AC = 7,91 rausbekommen und für AB = 6,25, und 7,91/6,25 = 1,27. Das heißt demnach wäre AFc = 1,27*AB, der weg von A zu dem fußpunkt der auf AB liegen muss also länger als der weg von A nach B. das kann nicht sein. oder? XD

bitte hilfe? xD
LG
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Der entscheidende und gravierende Fehler ist, dass du es hier mit Vektoren zu tun hast und hierfür nicht dieselben Regeln wie für reelle Zahlen gelten.
Einfach den Satz vom Nullprodukt anwenden oder Vektoren dividieren, das funktioniert nicht.

Zitat:
Also erstmal hab ich (AC - r*AB) * AB = 0 umgeformt.. vlt ist hier schon der fehler...


Der Stern * steht für das (Standard)Skalarprodukt und ist hier dafür da, dass bestimmte Vektoren zueinander senkrecht stehen (Höhe steht immer senkrecht zur entsprechenden Grundseite).
Bilde also zunächst mal mittels der gegebenen Punkte A,B und C die entsprechenden Vektoren.
Durch Anwenden des Skalarproduktes wird damit dann eine lineare Gleichung entstehen, die du nach r auflösen kannst.
riwe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fußpunkte eines dreidimensionalen Dreiecks
der fehler liegt genau dort, wo du ihn vermutest:



das sind doch VEKTOREN und skalarprodukte, da solltest du wissen, dass man durch einen vektor nicht dividieren darf
rez Auf diesen Beitrag antworten »

das weiß ich alles und hab ich meines wissens auch so gemacht... könntest du sagen wo GENAU ich wie mit reellen zahlen gerechnet habe wo ich es nicht durfte?
dachte halt es geht um die länge der vektoren um r rauszukriegen, wüsste nicht wie sonst, und die längen sind ja reelle zahlen...

also habe vektor AC gebildet = (4/2/-0,5) + r*(2/7,5/1,5)
und AB = (4/2/-0,5) + r*(5/0/3,75)

und dann für länge AC = wurzel(2^2+7,5^2+1,5^2) = 7,91
und AB = wurzel(5^2+3,75^2) = 6,25....
rez Auf diesen Beitrag antworten »

@werner hab die kürzere umformung (und wohl die noch falschere) gepostet, hatte eine die ähnlich wie deine anfängt...

(AC - r*AB)*AB=0
ausmultipliziert -> AC*AB - r* AB*AB = 0
und dann weiter ist das auch schon falsch?

weiß halt nicht wie ich sonst nach r auflösen kann, ohne klammern lösen, ausmultiplizieren usw...

achso, erst einsetzen und dann auflösen? probiers mal...
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
könntest du sagen wo GENAU ich wie mit reellen zahlen gerechnet habe wo ich es nicht durfte?


Einmal vom Schritt (AC - r*AB) * AB = 0 nach AC-r*AB=0, denn da hast du ja irgendwas wegdividert.
Und dann bei r = AC/AB dividierst du Vektoren durcheinander, das sind keine Vektorlängen. Die Längen von Vektoren werden z.B. durch Betragsstriche gekennzeichnet.

Zitat:
also habe vektor AC gebildet = (4/2/-0,5) + r*(2/7,5/1,5) und AB = (4/2/-0,5) + r*(5/0/3,75)


Du hast Geradengleichungen gebildet, das ist hier aber nicht gefragt.
 
 
rez Auf diesen Beitrag antworten »

ich weiß halt einfach nicht, wie dann sonst. ich kann jetzt anfangen zu raten, aber dann werdet ihr noch in ohnmacht fallen von dem was ich dann rausbringe.

egal.
also wie gesagt mir fällt dann kein anderer weg ein als erst einsetzen (aber was wenn keine geradengleichungen?)...
(AC - r*AB) * AB = 0
dass ich hier echt das skalaprodukt bilden soll spricht ja dafür dass ich die ganzen vektoren einsetzen soll...(richtungsvektoren)..

((2/7,5/1,5) - r*(5/0/3,75)) * (5/0/3,75) = 0.
r*(-3/7,5/-2,25) * (5/0/3,75) = 0.
was anderes (es ist falsch) fällt mir dazu echt nicht ein.
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
((2/7,5/1,5) - r*(5/0/3,75)) * (5/0/3,75) = 0.


Soweit richtig, jetzt gibt es mehrere Möglichkeiten,
Z.B. kannst du das Ganze noch etwas umschreiben zu:



Jetzt würde dann mittels Skalarprodukt die von mir oben erwähnte lineare Gleichung entstehen, die man nach r auflösen kann.

Alternativ kannst du auch das Distributivgesetz benutzen und erst nach r auflösen und erst dann die entsprechenden Skalarprodukte bilden (siehe Werners Vorschlag, dein Ansatz dazu stimmte auch schon bereits)
rez Auf diesen Beitrag antworten »

juhu, hab auch 0,4 raus,
(2-5r)*5 + (1,5-3.75r)*3,75 = 0
r= 16,625/39,0625.

jetzt rechne ich die aufgabe mal weiter und gebe dann zwischenmeldung. xD
rez Auf diesen Beitrag antworten »

hab jetzt für Fc = (6/2/1) raus stimmt das?
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Freude
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von rez
das weiß ich alles


bleibt die frage, warum du dann so einen unfug machst:


Zitat:
Original von rez


Also erstmal hab ich (AC - r*AB) * AB = 0 umgeformt.. vlt ist hier schon der fehler...
-> AC - r*AB = 0,
-> AC = r*AB,
r = AC/AB .

LG


wohin ist nun der VEKTOR AB verschwunden bzw. im NENNER aufgetauchtverwirrt
rez Auf diesen Beitrag antworten »

@werner: ok ich wusste FAST alles. :P
@Bjoern1982: sicher dass das richtig ist? hab den punkt mit AB gleichgesetzt (muss ja draufliegen), kommt keine lösung raus, und wenn ich den punkt als ortsvektor nehme und als richtungsvektor einen orthogonalen zu AB, komme ich auch nicht auf C. müsste ich aber doch oder? O.o
LG & danke
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Der Punkt Fc liegt mit r=0,4 in der Tat auf der Geraden durch A und B:

Zitat:
und AB = (4/2/-0,5) + r*(5/0/3,75)
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Bjoern1982
Freude

das stimmt Augenzwinkern
rez Auf diesen Beitrag antworten »

Ok hab jetzt auch raus dass er auf der geraden liegt, aber wenn ich von ihm eine (zu AB) orthogonale gerade erstelle geht sie immer noch nicht durch C... muss ich vielleicht stattdessen eine zur ebene orthogonale erstellen, also zu beiden spannvektoren? dann müsste sie auf jeden fall durch C gehen und als probe dienen, ob (6/2/1) stimmt..
Nur kann ich grad irgendwie das LGS nicht lösen, um die orthogonale zur ebene zu erstellen XD
Aber könnt ihr mir schonmal sagen, ob das der richtige ansatz ist? (wenn ich halt mein Fc sehr gründlich prüfen will)?
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von rez
Ok hab jetzt auch raus dass er auf der geraden liegt, aber wenn ich von ihm eine (zu AB) orthogonale gerade erstelle geht sie immer noch nicht durch C... muss ich vielleicht stattdessen eine zur ebene orthogonale erstellen, also zu beiden spannvektoren? dann müsste sie auf jeden fall durch C gehen und als probe dienen, ob (6/2/1) stimmt..
Nur kann ich grad irgendwie das LGS nicht lösen, um die orthogonale zur ebene zu erstellen XD
Aber könnt ihr mir schonmal sagen, ob das der richtige ansatz ist? (wenn ich halt mein Fc sehr gründlich prüfen will)?


wovon redest du denn verwirrt
wer sind denn er, sie usw. verwirrt

um den höhenschnittpunkt H zu bestimmen, brauchst du keine ebene, du hast doch A und Fa sowie C und Fc, und bekanntlich - zumindest darf ich das als bekannt unterstellen - ist eine gerade durch 2 punkte festgelegt Augenzwinkern

1) etwas einfacher geht´s mit hilfe eines geschlossenen vektorzuges

2) im speziellen, betrachte dazu die koordinaten von C und Fc, kommst du bei der berechnung von H sogar mit nur 1 (einer) gleichung aus


der lieben ordnung halber:
ich vermute, dass der titel "dreidimensionales dreieck" eher plunder ist Augenzwinkern
rez Auf diesen Beitrag antworten »

Ich wollte das nicht für den Höhenschnittpunkt, ich wollte nur den punkt Fc nachprüfen, denn wenn der richtig ist, muss er ja
1. auf AB liegen (tut er) und
2., wenn man eine orthogonale zu AB daraufsetzt, muss diese durch C gehen.
(Hab ich noch nicht so rausbekommen, meine vermutung war, dass es nicht reicht, dass sie orthogonal zu AB ist, sondern dass sie orthogonal zu AB sein muss, aber trotzdem in der gleichen ebene wie das dreieck liegt. Oder was meinst du? )

ja, kann sein dass der titel schrott ist smile
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

da hast du mit deiner vermutung recht:
orthogonal zu AB ist gefordert UND dass die gerade in der von A, B und C aufgespannten ebene liegt => (doppeltes) EXprodukt hilft hier Augenzwinkern
rez Auf diesen Beitrag antworten »

Kenn kein doppeltes Exprodukt XD
Denke es geht auch so, diese gerade zur probe aufzustellen, man nimmt als ortsvektor den punkt (6/2/1) und als richtungsvektor braucht man einen, der orthogonal zu AB und orthogonal zum normalenvektor der ebene ist...
Nur hab ich als normalenvektor (1/0/-1,3) rausbekommen und AB ist ja (5/0/3,75), hab irgendwie probleme das LGS daraus zu lösen... weil beide zeilen = 0 sind, krieg ich für die variablen halt immer null raus XD
Bin ich jetzt total abgestürzt oder ist das der falsche weg (hab das gefühl da kann nichts richtiges rauskommen)? O.o
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

klar geht es so auch,
aber du hast dein ergebnis falsch "interpretiert"
der gesuchte vektor ist NICHT der nullvektor sondern



die y-komponente kannst du ja frei wählen <> 0!

nun mache die probe Augenzwinkern
rez Auf diesen Beitrag antworten »

ook habs kapiert, nachdem ich endlich mal weitermachen konnte, also damit stimmt dann Fc wegen (6/2/1) + (0/1/0) = (6/9,5/1) = C.

Für Fb hab ich (4,5/3,875/-0,125) raus und für Fa (8/4,5/2,5).
Auch beide geprüft, müsste stimmen.

Und der Schnittpunkt von den drei bzw der von [AFa und BFb] und [BFb und CFc] ist (6/3,25/1). Gibt es eigentlich auch ne möglichkeit alle drei irgendwie gleichzusetzen statt alle möglichen zweierpaare? naja ist nicht wichtig in dem fall.
Vielen Dank also für die Hilfe, hätte die ganzen Hindernisse alleine sicher nicht in den nächsten jahren überwunden. smile lg
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

Freude
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