Klausur Multiple Choice. Wahrscheinlichkeit berechnen.

27.07.2012, 23:25

MC86

Klausur Multiple Choice. Wahrscheinlichkeit berechnen.

Meine Frage:
Hallo

Ich habe heute eine Klausur geschrieben und kam zeitlich nicht mit dem Stoff zurecht. Von 4 Aufgaben war eine Multiple Choice dabei.
Insgesamt 12 Fragen, davon 9 mit je einem Punkt für die 3 Aufgaben gab es 2 Punkte.
Insgesamt also 15 Punkte.
Da ich leider keine Zeit mehr hatte, habe ich wahllos angekreuzt. Jede Aufgabe hatte 4 Antwortmöglichkeiten und es war immer nur eine Antwort richtig.

Ich möchte gerne wissen, mit welcher WSK ich eine bestimmte Punktzahl erreicht habe.

Meine Ideen:
Ich habe keinen Ansatz, da ich das Thema Wahrscheinlichkeitsrechnung noch nicht hatte Augenzwinkern

.

Den Erwartungswert müsste folgender sein, oder?

(0,25 * 1) * 9 + 3 * (0,25 *2) = 3,75 Punkte.

Aber mit welcher WSK habe ich z.B. 6 Punkte erreicht?

27.07.2012, 23:47

Gast11022013

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Hierbei handelt es sich um ein sogenanntes Bernoullie-Experiment.

Allerdings muss man hier noch beachten, dass 3 der 12 Aufgaben ja eine andere Punktezahl bringen.

Außerdem würde ich sagen, dass du wendern eine Punktezahl mit der Wahrscheinlichkeit 6 oder größer berechnen solltest. Ich mein, wenn du mehr Punkte als 6 hast ist doch auch toll. Augenzwinkern

Welche Klassenstufe gehst du?

28.07.2012, 00:15

Che Netzer

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Hallo,

da mir gerade langweilig ist und ich nicht glaube, dass das für eine Hausaufgabe benötigt wird, habe ich mal alle interessanten Wahrscheinlichkeiten ausgeben lassen:

Edit opi: Komplettlösung entfernt. Ein wenig Mitarbeit des Fragestellers sollte bitte schon erfolgen, es eilt ja auch nicht. Augenzwinkern

mfg,
Ché Netzer

28.07.2012, 00:40

Gast11022013

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Zitat:

Edit opi: Komplettlösung entfernt. Ein wenig Mitarbeit des Fragestellers sollte bitte schon erfolgen, es eilt ja auch nicht.

Nun ja, wenn der Fragesteller das Thema tatsächlich noch nicht in der Schule hatte, sehe ich keine Chance, dass er es Zeitnah lösen kann.

Wink

28.07.2012, 00:50

opi

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Den Erwartungswert konnte er ja schon erfolgreich bestimmen, da geht sicherlich noch mehr. Augenzwinkern

Das Matheboard ist keine Lösungsmaschine.

28.07.2012, 20:32

frank09

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Wenn du die Wk, eine bestimmte Punktzahl zu erreichen, bestimmen willst, musst du zuerst überlegen, auf wieviele Arten du sie erreichen kannst:

Zum Beispiel 13 Punkte:
(I) 9 x 1 Punkt + 2x2 Punkte
(II) 7 x 1 Punkt + 3x2 Punkte

Anschließend berechnest du pro Möglichkeit die WK für den 1-Punkte-Teil ( $\begin{eqnarray*} X_1 \end{eqnarray*}$ ) , die WK für den 2-Punkte-Teil ( $\begin{eqnarray*} X_2 \end{eqnarray*}$ ) und multiplizierst sie.
z.B. Möglichkeit (II):
$\begin{eqnarray*} P(X_1= 7)\cdot P(X_2=3) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} X_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} X_2 \end{eqnarray*}$ sind dabei binomialverteilt:
$\begin{eqnarray*} P(X_{1/2}=k)={n\choose k}\, p^k (1-p)^{n-k} \end{eqnarray*}$

Für $\begin{eqnarray*} X_1 \end{eqnarray*}$ ist n=9, p= 0,25
Für $\begin{eqnarray*} X_2 \end{eqnarray*}$ ist n=3, p= 0,25

Soweit nachvollziehbar?

29.07.2012, 10:55

Che Netzer

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Naja, wenn ihn interessiert, wie wahrscheinlich 6 Punkte sind, wird die Rechnung ja noch ein Stück aufwendiger; insbesondere wenn es ihm um mindestens 6 Punkte geht. Daher habe ich hier auch mal eine Komplettlösung für geeignet gehalten.

Aber wenn er sich hier eh nicht zurückmeldet, hat sich das ja auch erledigt smile

29.07.2012, 22:27

andyrue

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schade, die komplettlösung hätte mein interesse geweckt, zumal die aufgabe vom umfang des lösungsvorgangs her kaum thema einer klassenarbeit sein kann.

den erwartungswert auszurechnen war noch nicht schwer, aber die WK für genau sechs punkte? (was übrigens noch deutlich weniger umfangreich wäre ist als mindestens 6 punkte, es ist eigentlich keine steigerung des schwierigkeitsgrades, sondern nur eine extreme steigerung des rechenaufwands weil wegen der verschiedenen punkte nicht einfach mit dem GTR die binomcdf() funktion benutzt werden kann)

P genau sechs punkte würde meines erachtens bedeuten:

P(0 richtige bei den 1-punkt aufgaben und 3 richtige bei den 2-punkt aufgaben)
+
P(2 richtige bei den 1-punkt aufgaben und 2 richtige bei den 2-punkt aufgaben)
+
P(4 richtige bei den 1-punkt aufgaben und 1 richtige bei den 2-punkt aufgaben)
+
P(6 richtige bei den 1-punkt aufgaben und 0 richtige bei den 2-punkt aufgaben)

die einzelnen WK würde jeweils durch multiplikation der beiden bernoulli-ergebisse
errechnet, das ganze wird dann aufaddiert, so wie es oben auch geschildert wurde.

liege ich mit meinen betrachtungen richtig?, wenn ja, würde es auch noch eine elegantere art geben, die aufgabe zu lösen?

danke für evt. antworten andy

29.07.2012, 23:03

Che Netzer

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Zitat:

Original von andyrue
liege ich mit meinen betrachtungen richtig?, wenn ja, würde es auch noch eine elegantere art geben, die aufgabe zu lösen?

Jein.

Meine Methode war folgende:
Ich schreibe zu jeder Punktzahl von 0-15 eine Zahl auf, anfangs ist diese Null.
Dann gehe ich alle Kombinationen von Antworten durch, also als erstes "alle Aufgabe falsch", dann "Aufgabe 1 richtig, alle anderen falsch" etc.
Zu diesen Möglichkeiten berechne ich die zugehörige Punktzahl und berechne die Wahrscheinlichkeit. Diese Wahrscheinlichkeit addiere ich zu der Zahl, die ich bisher der entsprechenden Punktzahl zugewiesen habe.
Am Ende habe ich dann also die Wahrscheinlichkeiten, eine dieser Punktzahlen erreicht zu haben.

Hört sich vielleicht etwas aufwendig an, aber wenn das Verfahren dann auf .java endet, sieht das schon ganz anders aus smile

Ansonsten sehe ich auch keinen Weg als mit diesen Binomialverteilungen ein paar Stunden/Tage zu verbringen.
Deswegen hatte ich auch die Lösungen hier reingestellt, weil ich nicht geglaubt habe, dass so etwas als Übungsaufgabe gestellt wird.

Naja, wie gesagt: Wenn sich der Fragesteller ohnehin nicht zurückmeldet, ist das ja auch egal.

Bei Interesse an den Ergebnissen kann ich gerne eine PN mit der Programmausgabe verschicken.

29.07.2012, 23:09

Iorek

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RE: Klausur Multiple Choice. Wahrscheinlichkeit berechnen.

Zitat:

Original von MC86
Ich habe heute eine Klausur geschrieben und kam zeitlich nicht mit dem Stoff zurecht. Von 4 Aufgaben war eine Multiple Choice dabei.
[...]
Da ich leider keine Zeit mehr hatte, habe ich wahllos angekreuzt. Jede Aufgabe hatte 4 Antwortmöglichkeiten und es war immer nur eine Antwort richtig.

Es war ja auch keine Übungsaufgabe sondern eine "reale Anwendungsaufgabe". Augenzwinkern

29.07.2012, 23:10

Che Netzer

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RE: Klausur Multiple Choice. Wahrscheinlichkeit berechnen.
Das meinte ich ja; ich hielt es für unwahrscheinlich, dass das ein Trick zum Hausaufgabenmachenlassen war.

29.07.2012, 23:32

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, dann hab ich das falsch aufgefasst.

Ist allerdings ein schönes Beispiel, dass stochastische Anwendungen außerhalb der genau kalkulierten Übungsaufgaben in Schulbüchern oft unschöne Rechnungen nach sich ziehen.

29.07.2012, 23:37

Che Netzer

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Und auch ein wenig ironisch: Endlich braucht man die Stochastik mal, und dann wird die Rechnung sehr viel ekliger als in den Übungsaufgaben über betrunkene Seefahrer im $\begin{eqnarray*} \mathbb Z^2 \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

30.07.2012, 01:30

andyrue

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Zitat:

Original von Che Netzer

Zitat:

Original von andyrue
liege ich mit meinen betrachtungen richtig?, wenn ja, würde es auch noch eine elegantere art geben, die aufgabe zu lösen?

Jein.

..
Hört sich vielleicht etwas aufwendig an, aber wenn das Verfahren dann auf .java endet, sieht das schon ganz anders aus smile

ha, ja, ok, mit 'eleganter' meinte ich keine brute force methode per programmierung.

es sind 12 fragen, bei jeder frage gibt es 2 möglichkeiten der antwort, 'falsch' (P(falsch)=3/4) oder 'richtig' (P(richtig)=1/4), also 2 hoch 12 möglichkeiten die durchgerechnet werden müssten, jeder möglichkeit wäre eindeutig eine wahrscheinlichkeit und eine punktzahl zugeordnet.

aber ok, so ging's auch, mfg andy

30.07.2012, 01:37

opi

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Die Berechnung ist in der Tat aufwendig.

Zitat:

Original von andyrue, stark gekürzt

P(4 richtige bei den 1-punkt aufgaben und 1 richtige bei den 2-punkt aufgaben)

die einzelnen WK würde jeweils durch multiplikation der beiden bernoulli-ergebisse
errechnet

Wer bei diesem Beispiel einzelne Ergebnisse berechnet und ausmultipliziert, ist selber Schuld:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 9 \\ {\color{blue}4} \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 3 \\ {\color{blue}1} \end{pmatrix}\cdot \left( \frac 1 4\right)^{\color{blue}5}\cdot \left( \frac 3 4\right)^{\color{blue}7} \end{eqnarray*}$

Wenn man bei einem TR/CAS/oder sonstigem Rechner einzelne Werte ersetzen kann, geht's recht schnell, zumal der zweite Binomialkoeffizient bei dieser Aufgabenstellung nicht so wirklich überraschende Ergebnisse liefert.

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