Formel Standardabweichung..

28.07.2012, 20:40	Anahita	Auf diesen Beitrag antworten »
Formel Standardabweichung.. Kurze Frage: Darf man die Standardabweichung schreiben als: sd(X) = E[abs(X-E[X]] ein Mitstudent hat mir das so aufgeschrieben, aber ich wüsste nicht, wie man da drauf kommen würde. Merci
28.07.2012, 21:18	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, darf man nicht. Die Idee war wohl, in der richtigen Formel für die Standardabweichung $\begin{eqnarray} \sqrt{E[(X-E[X])^2]} \end{eqnarray}$ einfach Wurzelzeichen und Erwartungswertoperator in der Reihenfolge zu vertauschen. Das geht nicht, von trivialen Ausnahmefällen mal abgesehen.
28.07.2012, 21:57	Anahita	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke. Aus Interesse: Diese Vertauschung ist nicht erlaubt da die Funktionen nicht kommutativ sind - oder wie würde man das begründen?
29.07.2012, 08:21	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Dazu genügt die Angabe eines einfachen Gegenbeispiels, z.B. die Zweipunktverteilung $\begin{eqnarray} P(X=0) = 1-p,\; P(X=1) = p \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} 0<p<1 \end{eqnarray}$ , für die ist $\begin{eqnarray} E[X] = p \end{eqnarray}$ sowie dann $\begin{eqnarray} E[(X-E[X])^2] = (1-p)p^2 + p(1-p)^2 = p(1-p) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} E[\|X-E[X]\|] = (1-p)p + p(1-p) = 2p(1-p) \end{eqnarray}$ . Bei Gleichheit beider Formeln müsste $\begin{eqnarray} \sqrt{p(1-p)} = 2p(1-p) \end{eqnarray}$ , d.h. $\begin{eqnarray} 1=4p(1-p) \end{eqnarray}$ gelten, was aber nur für $\begin{eqnarray} p=\frac{1}{2} \end{eqnarray}$ der Fall ist, für alle anderen $\begin{eqnarray} p\in (0,1) \end{eqnarray}$ aber nicht. P.S.: Laut Jensenscher Ungleichung gilt übrigens allgemein $\begin{eqnarray} \sqrt{E\left[(X-E[X])^2\right]} \geq E\left[ \left\| X-E[X] \right\| \right] \end{eqnarray}$ .
29.07.2012, 13:55	Anahita	Auf diesen Beitrag antworten »
Super, danke für das einfache Beispiel mit der Bernoulli-Verteilung und für die Ungleichung! Heisst das also, wie gefragt, dass die Funktionen nicht kommutativ sind (es interessiert mich, wie man das allgemein charakterisieren würde). Lg
29.07.2012, 14:22	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Es geht hier um die Vertauschung der vollkommen unterschiedlichen Operatoren $\begin{eqnarray} E:\;\Omega'\to \mathbb{R} \end{eqnarray}$ geht, wobei ich mit $\begin{eqnarray} \Omega' \end{eqnarray}$ einfach mal die Menge der messbaren reellen Funktionen auf $\begin{eqnarray} \Omega \end{eqnarray}$ bezeichnen will, sowie $\begin{eqnarray} f:\;\mathbb{R}\to \mathbb{R} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f(t)=t^2 \end{eqnarray}$ - nach der Vertauschung übrigens in der anderen Bedeutung $\begin{eqnarray} f:\;\Omega'\to \Omega' \end{eqnarray}$ . Kurz gesagt, ich finde deswegen deine Verwendung des Begriffes "Kommutativität" im vorliegenden Kontext für total daneben.
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29.07.2012, 17:47	Anahita	Auf diesen Beitrag antworten »
Na ja, ich hab grad das erste Semester hinter mir - da darf man ev. ab und zu total daneben liegen :-) Was du "total daneben" findest versteh ich jedoch nicht.. Verknüpfen wir die zwei Funktionen f und g: gf(x) (Stern hier mal für Verknüpfung) verfügen beide über versch. Definitionsbereiche und zwar: f: X -> Y, g: Y-> Z, die Verknüpfung somit gf(x): X->Z - so etwas liegt ja wenn ich richtig sehe in unserem Fall vor. Verknüpfung ist iA ja nur assoziativ und nicht kommutativ, und das scheint ja zB eben hier der Fall zu sein.. Ich wollte wissen, ob ich das richtig verstehe, ev. ist das ja für dich trivial. Gruss
29.07.2012, 20:51	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich bewundere deine Beharrlichkeit, hier jetzt zum dritten Mal den Begriff Kommutativität reindeuten zu wollen, aber ich werde dir auch beim dritten Mal nicht zustimmen, aus den erwähnten Gründen.

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