komplexe Zahl

29.07.2012, 12:08

stefan.DD

komplexe Zahl

Meine Frage:
Hallo, ich habe folgendes gegeben z=(1+i)^8 und soll z berechnen.

Meine Ideen:
Aus dem Re-Anteil 1 und dem Im-Anteil 1i kann ich über arctan = |Im|/|Re| den Winkel von 45° errechnen.

Weiter geht es über den Satz von Moivre -> $\begin{eqnarray*} (cos8*45°+isin8*45°)^8 \end{eqnarray*}$ , was ja jeweils 360° sind.

Die Lösung ist aber z=16, was mich zu der Überlegung bringt, dass zu dem Winkel von $\begin{eqnarray*} (\sqrt{2})^{8} \end{eqnarray*}$ als r vor der Winkelangabe in der trigonometrischen Form stehen muss.

Woher kommt diese $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ ?

29.07.2012, 12:27

stefan.DD

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: komplexe Zahl
über den Pythagoras -> $\begin{eqnarray*} r = \sqrt{Re^2+Im^2} ; r=\sqrt{1^2+1^2} \end{eqnarray*}$

29.07.2012, 12:32

original

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: komplexe Zahl

Zitat:

Original von stefan.DD

z=(1+i)^8 und soll z berechnen.

Meine Ideen:
Aus dem Re-Anteil 1 und dem Im-Anteil 1i unglücklich

Die Lösung ist aber z=16,

Woher kommt diese $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ ?

$\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ ist der Betrag der Zahl 1+i

also $\begin{eqnarray*} 1+i = \sqrt{2} \cdot (cos(45°) +i \cdot sin(45°)) \end{eqnarray*}$

29.07.2012, 13:13

Mystic

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: komplexe Zahl

Zitat:

Original von stefan.DD
Meine Frage:
Hallo, ich habe folgendes gegeben z=(1+i)^8 und soll z berechnen.

Die kürzeste Art der Berechnung geht hier ganz ohne Polarkoordinaten und so:

$\begin{eqnarray*} (1+i)^8=((1+i)^2)^4=\ldots \end{eqnarray*}$

29.07.2012, 13:24

stefan.DD

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: komplexe Zahl
Inzwischen habe ich die Lösung gefunden und bei einer zweiten ähnlichen Aufgabe auch anwenden können.

Die Lösung für diese Aufgabe lautet:

Winkelberechnung: $\begin{eqnarray*} \phi=arctan\frac{|Im|}{|Re|} \end{eqnarray*}$

Vektorberechnung: $\begin{eqnarray*} |r|=\sqrt{Re^2+Im^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2} \end{eqnarray*}$

Winkel und Vektor in eine Formel bringen: $\begin{eqnarray*} Z=(\sqrt{2}*(\sin(45°)+i\cos(45°))^8 \end{eqnarray*}$

Satz von Moivre: $\begin{eqnarray*} Z=\sqrt{2}^8*(\cos(8*45°)+i\sin(8*45°)=\sqrt{2}^8*(\cos(360°)+i\sin(360°)=\sqrt{2}^8*(1+i0)=\sqrt{2}^8=16 \end{eqnarray*}$

fertig Freude

29.07.2012, 13:41

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Hast du dir den Weg von Mystic auch angesehen bzw. verstanden?

Wie so oft, führen mehrere Wege zum Ziel und der von dir beschriebene Weg ist der klassische, welcher im Allgemeinen auch so zu gehen wäre.

Manchmal bieten sich aber - bei besonderen Angaben - wesentlich kürzere Rechenwege an, so wie hier ...

mY+

29.07.2012, 18:40

Monoid

Auf diesen Beitrag antworten »

Komplexe Zahl
Hallo,
Weißt du was die Polarform komplexer Zahlen ist? Wenn ja bringe deine komplexe Zahl auf die Polarform, und benutze das folgende (r e^( i phi ) )^n = r^n e^( i n phi ) . Wenn du das hast kannst du die komplexe Zahl wieder auf die kartesiche Form bringen.

Wenn nicht:
Mache dirklar was die Polarform komplexer Zahlen ist.

mfG Mmm

31.07.2012, 14:31

Math1986

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Komplexe Zahl
Diese Aufgabe wurde bereits durch den Fragesteller selbst gelöst.

Ich bevorzuge hier auch Mystics Ansatz, der Polarform überflüssig macht.

Neue Frage »

Antworten »

komplexe Zahl

Verwandte Themen