Problem mit Varianzen

29.07.2012, 14:51

Zitroneneistee

Problem mit Varianzen

Meine Frage:
Guten Tag,

also ich hab da ein kleines Problem mit den vorliegenden Informationen:
Zwei Zufallsvariablen haben die Varianzen V ar(X1) = 16 und V ar(X2) = 4. Die Kovarianz sei
Cov(X1;X2) = 1.

Gesucht ist:

V ar(5X1)

V ar(X1 + X2)
V ar(X1 - X2)

Meine Ideen:
Das Var (5X1) = 400 ist mir klar, doch wie errechne ich zwei varianzen zusammen ?

Var (X1+X2) = ? bzw. ziehe die eine Varianz von der anderen ab...

es scheint simpel zu sein, jedoch komm ich da nicht drauf, vielen dank für die Hilfe

Mit freundlichen Grüßen

Josef

29.07.2012, 15:11

Math1986

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RE: Problem mit Varianzen
Hallo,
Für die Varianz der Summe zweier Zufallsvariablen gilt:
$\begin{eqnarray*} \operatorname{Var}(X_1+X_2) = \operatorname{Var}(X_1) + \operatorname{Var}(X_2) + 2\operatorname{Cov}(X_1,X_2) \end{eqnarray*}$

Eine ähnliche Summe gibt es auch für die Differenz.

03.08.2012, 14:52

Bobby197

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Vielleicht noch ganz hilfreich für die Zukunft (brauchst du jetzt nicht bei dieser Aufgabe):

Wenn $\begin{eqnarray*} X_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} X_2 \end{eqnarray*}$ unabhängig sind, dann gilt:

$\begin{eqnarray*} Var(X_1+X_2)=Var(X_1)+Var(X_2) \end{eqnarray*}$

Aber da in deinem Beispiel die Zufallsvariablen nicht unabhängig sind musst du, wie im vorigen Post beschrieben, die Kovarianz mit einbeziehen.

03.08.2012, 15:41

Math1986

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Zitat:

Original von Bobby197
Wenn $\begin{eqnarray*} X_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} X_2 \end{eqnarray*}$ unabhängig sind, dann gilt:

$\begin{eqnarray*} Var(X_1+X_2)=Var(X_1)+Var(X_2) \end{eqnarray*}$

Auch bekannt als Formel von Bienaymé.

Was übrigens auch direkt aus meiner obigen Aussage folgt. Dazu müssen $\begin{eqnarray*} X_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} X_2 \end{eqnarray*}$ noch nicht mal unabhängig sein, das gilt auch, wenn diese "nur" unkorrelliert sind.

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