Unverständliches Korrollar zu cosinus und sinus

31.01.2007, 15:46

Buef

Unverständliches Korrollar zu cosinus und sinus

Rechenregeln

$\begin{eqnarray*} cos(x+2\pi)=cos x \end{eqnarray*}$

mir ist das noch nicht so ganz klar

$\begin{eqnarray*} cos(x)+cos(2\pi)=cos(x)+1 \neq cos(x) \end{eqnarray*}$

31.01.2007, 15:50

sqrt(2)

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RE: Unverständliches Korrollar zu cosinus und sinus

Zitat:

Original von Buef
mir ist das noch nicht so ganz klar

$\begin{eqnarray*} cos(x)+cos(2\pi)=cos(x)+1 \neq cos(x) \end{eqnarray*}$

Wie kommst du auf die Idee, dass du den Kosinus so auseinanderziehen darfst? Nach dem Additionstheorem für den Kosinus gilt

$\begin{eqnarray*} \cos(x+2\pi)=\cos x \cos 2\pi - \sin x \sin 2\pi=\cos x \end{eqnarray*}$ .

31.01.2007, 15:56

Buef

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achja stimmt! jetzt steht mir das wieder vor augen!
das mit sinus war dann so, wenn ich mich nicht irre!

$\begin{eqnarray*} sin(x+2\pi)=sin(x)cos(2\pi)+cos(x)sin(2\pi)=sin(x) \end{eqnarray*}$

31.01.2007, 15:58

sqrt(2)

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Statt Minus Plus, aber hier ist das ja egal.

31.01.2007, 16:14

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Mancher scheint schlicht zu vergessen, wie Sinus und Kosinus original definiert sind: Über Winkel im Einheitskreis, und wenn man da $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$ zum Winkel hinzuaddiert, ist man wieder an derselben Stelle, und damit beim selben Sinus- bzw. Kosinuswert. Ganz ohne Additionstheoreme. Augenzwinkern

31.01.2007, 16:37

sqrt(2)

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Naja, bei uns haben wir Sinus und Kosinus über die Potenzreihen definiert, da bringt die Überlegung nicht viel.

31.01.2007, 16:45

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Zitat:

Original von sqrt(2)
Naja, bei uns haben wir Sinus und Kosinus über die Potenzreihen definiert,

Echt?

Also ich habe Winkelfunktionen damals, glaube ich, offiziell in der 10.Klasse kennengelernt, als die Analysis lehrplanmäßig noch weit in der Zukunft lag...

31.01.2007, 16:55

sqrt(2)

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Naja, ich spreche schon von der Uni, und um einen solchen Beweis scheint es ja hier zu gehen ("Korollare" kennt in der Schule doch niemand... Augenzwinkern

31.01.2007, 17:01

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Mag sein. Trotzdem sind für mich Sinus, Kosinus geometrisch definiert, die Additionstheoreme ergeben sich auch geometrisch, daraus kann man dann die Ableitungen folgern, und kommt dann zu den Taylorreihen - so für mich der logisch schlüssige Aufbau. Klar kann man das Pferd auch von der anderen Seite aufzäumen, didaktisch durchaus möglich, aber für mich etwas befremdlich. Augenzwinkern

31.01.2007, 17:04

Lazarus

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Definiert man die Winkelfunktionen über ihre Taylorreihen kann man doch auch über den Zusammenhang mit der Exponentialfunktion und deren Periodizität recht anschaulich zu dieser Überlegung kommen ...

31.01.2007, 17:20

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Bei den Pünktchen am Ende muss ich ja fragen: Wie? smile

31.01.2007, 18:34

Lazarus

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Die Frage ist dir natürlich gestattet Augenzwinkern

, und ich weiss ja auch worauf sie abzielt, doch möglich wäre es:
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\infty}~\frac{z^k}{k!}~:=e^z \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} z=x+\i y \end{eqnarray*}$ ergibt sich daraus $\begin{eqnarray*} e^z=e^x\cdot e^{\i y} \end{eqnarray*}$
Aus $\begin{eqnarray*} \left|e^{\i y}\right|=1 \end{eqnarray*}$ folgt nun wiederrum, dass $\begin{eqnarray*} \omega=e^{\i y} \end{eqnarray*}$ auf der 1-Sphäre liegt: dem Einheitskreis.

Folgerung: $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ gibt sozusagen den Drehwinkel von $\begin{eqnarray*} e^z \end{eqnarray*}$ an, und ist periodisch (Mehr als effektiv einmal um sich selbst drehen kann man sich halt nunmal nicht). Durch Rechnung kann man das beweisen, und findet dann die Periode $\begin{eqnarray*} 2\i\pi \end{eqnarray*}$ bzw. aus der "Sicht" von $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ als Variable eben nur $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$

Die Potenzreihendarstellung von $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ liese sich aufteilen in Real und Imaginärteil, welchen man wiederrum als jeweils eigene Reihe darstellen kann.

Nun könnte man hergehen und folgende Definitionen machen:
$\begin{eqnarray*} \Re\left(\omega\right):=\cos\left(\omega\right) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Im\left(\omega\right):=\sin\left(\omega\right) \end{eqnarray*}$
Was ja lediglich eine Namensgebung ist, allerdings die oben angegebenen Folgerungen zulässt.

31.01.2007, 18:53

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Zitat:

Original von Lazarus
Durch Rechnung kann man das beweisen, und findet dann die Periode $\begin{eqnarray*} 2\i\pi \end{eqnarray*}$

"kann man" ist schön - noch schöner wäre es zu sehen, wie. smile

Man kann sich drehen und wenden wie man will, irgendwann muss man die "Naturkonstante" $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ (= Verhältnis von Umfang zu Durchmesser eines Kreises) in das Gebäude schlüssig reinbringen - und das scheint mir der Knackpunkt zu sein!

31.01.2007, 19:09

Lazarus

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Ich behaupte, würde jemand wirklich Sinus und Cosinus nicht kennen, will aber unbedingt die Periode von $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ rausfinden, würde er früher oder später, sei es durch findiges Probieren (einfach mal alles was mit einem Kreis zu tun hat für $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ einsetzten) oder durch arithmetische Annäherung der Periode $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ , auf $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ stoßen, bzw. erkennen das gilt $\begin{eqnarray*} p=2\pi \end{eqnarray*}$

Die "Naturkonstante" ist ja, wie du auch schon gesagt hast, eigentlich mal wenig mit den Winkelfunktionen verbunden.

Meiner Ansicht nach entscheident ist ja, wo und vorallem wie man das rein geometrische Gebilde Kreis verlässt und sich der abstrakten Mathematik zuwendet. Wählt man dabei den Weg über die komplexen Zaheln, indem man den Kreis in der Gauß'schen Zahleneben zu interpretieren versucht, kommt man zu dem Ergebniss das ich oben beschrieben hab.

31.01.2007, 19:12

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Nun gut: Überzeugende Argumenten für diesen anderen Zugang habe ich im Thread hier nicht gefunden. Dir ist es nicht gelungen, auf kurze überzeugende Art aus der Reihendefinition heraus $\begin{eqnarray*} e^{2\pi i}=1 \end{eqnarray*}$ nachzuweisen - also bleibe ich lieber bei meinem geometrischen Zugang. Augenzwinkern

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