ML-Schätzer determinieren

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30.07.2012, 16:26	Öko	Auf diesen Beitrag antworten »
ML-Schätzer determinieren Meine Frage: Bin gerade dabei für meine Ökonometrie Klausur zu lernen. Folgende Frage war letztes Jahr dran: Sie beobachten eine Stichprobe X1, X2, ?, XN aus einer Exponentialverteilung. Die Dichtefunktion ist gegeben durch f(x/b)= 1/b * e^(-x/b) mit 0 <= x < unendlich und b > 0. Determinieren Sie den ML-Schätzer für ?. Meine Ideen: Da meine Mathematikkenntnisse etwas eingerostet sind, hab ich leider keine Ahnung wie das funktioniert. Wäre schön wenn mir jemand helfen könnte.
30.07.2012, 16:30	Öko	Auf diesen Beitrag antworten »
Es soll natürlich heißten... Determinieren Sie den ML-Schätzer für b.
30.07.2012, 17:16	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, die Likelihood-Funktion sieht ja so aus: $\begin{eqnarray} \prod_{i=1}^{n} f(x_i;b) \end{eqnarray}$ Jetzt musst du erstmal für $\begin{eqnarray} f(x_i;b) \end{eqnarray}$ die Funktion einsetzen. Man will das Maximum dieser Funktion ermitteln. Dazu muss man ableiten. Das geht am Einfachsten, wenn man diese Funktion logarithmiert. Deswegen sollte man erst mal versuchen das Produktzeichen wegzukriegen. Bei Faktoren ist es einfach. Diese potenziert man einfach mit der oberen Grenze des Produktzeichens. Aber was passiert mit der e-Funktion? Hier gilt: $\begin{eqnarray} \prod_{i=1}^{n} e^{x_i}=e^{\sum x_i} \end{eqnarray}$ Du kannst jetzt versuchen die Likelihood-Funktion ohne Produktzeichen aufzustellen. Mit freundlichen Grüßen.
30.07.2012, 17:17	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Kurze Rückfrage: Sollen $\begin{eqnarray} X_1,\hdots,X_n \end{eqnarray}$ unabhängig exponentialverteilt sein? Falls ja, kannst Du die Likelihood einfach bestimmen als $\begin{eqnarray} L(b,x_1,\hdots,x_n)=\prod_{i=1}^{n}f(x_i) \end{eqnarray}$ . Ansonsten müsstest Du aufwändiger die gemeinsame Dichte bestimmen. Edit: Da war jemand schneller als ich.
30.07.2012, 17:50	Öko	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke. Dann werd ich es mal versuchen.
30.07.2012, 17:52	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
OK. Bin gespannt.
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01.08.2012, 07:30	Öko	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} <br /> f (x/b) = \frac{1}{b}e^{\frac{x}{b} } <br /> <br /> <br /> L(b/x_{1},...x_{n})= \frac{1}{b}e^{\frac{x_{1} }{b} }...* \frac{1}{b}e^{\frac{x_{n} }{b} } <br /> <br /> logL = log \left[\frac{1}{b}e^{\frac{x_{1} }{b} }... \frac{1}{b}e^{\frac{x_{n} }{b} }\right]<br /> <br /> logL = log \frac{1}{b}e^{\frac{x_{1} }{b} }+...+ log \frac{1}{b}e^{\frac{x_{n} }{b} }<br /> \end{eqnarray}$ Also soweit komme ich. Mir ist jetzt nicht klar, wie ich das e rausbekomme.
01.08.2012, 12:40	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich glaube, daß Kasen75 gerade offline ist. Daher versuche ich mal zu helfen. Die Likelihhood-Funktion lautet: $\begin{eqnarray} L(b\|x_1,\hdots,x_n)=\prod\limits_{i=1}^{n}\frac{1}{b}\exp\left(\frac{x_i}{b}\right) \end{eqnarray}$ Die log-Likelihood-Funktion ist: $\begin{eqnarray} \ln L(b\|x_1,\hdots,x_n)=\ln\left(\prod\limits_{i=1}^{n}\frac{1}{b}\exp\left(\frac{x_i}{b}\right)\right)=\sum\limits_{i=1}^{n}\ln\left(\frac{1}{b}\exp\left(\frac{x_i}{b}\right)\right)=\sum\limits_{i=1}^{n}\frac{x_i}{b}+\ln\left(\frac{1}{b}\right) \end{eqnarray}$ Hilft Dir das schon weiter? Viele Grüße Dennis
01.08.2012, 18:11	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
@Öko, da du in deinem ersten Beitrag von dieser Funktion ausgegangen bist $\begin{eqnarray} (f(x)=\frac{1}{b} \cdot e^{\frac{-x}{b}}) \end{eqnarray}$ , würde sich die Herleitung von Dennis2010 in folgender Weise modifizieren: Die Likelihhood-Funktion lautet: $\begin{eqnarray} L(b\|x_1,\hdots,x_n)=\prod\limits_{i=1}^{n}\frac{1}{b}\exp\left(-\frac{x_i}{b}\right) \end{eqnarray}$ Die log-Likelihood-Funktion ist: $\begin{eqnarray} \ln L(b\|x_1,\hdots,x_n)=\ln\left(\prod\limits_{i=1}^{n}\frac{1}{b}\exp\left(-\frac{x_i}{b}\right)\right)=\sum\limits_{i=1}^{n}\ln\left(\frac{1}{b}\exp\left(-\frac{x_i}{b}\right)\right)=\sum\limits_{i=1}^{n}\Bigg( \frac{-x_i}{b}+\ln\left(\frac{1}{b}\right)\Bigg) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = -\sum\limits_{i=1}^{n} \frac{x_i}{b}+ \sum\limits_{i=1}^{n}\ln\left(\frac{1}{b}\right) \end{eqnarray}$ Den ersten Ausdruck, kannst du dahin gehend vereinfachen, dass du den Ausdruck $\begin{eqnarray} \frac{1}{b} \end{eqnarray}$ vor das Summenzeichen ziehst. Des Weiteren gilt, dass $\begin{eqnarray} \sum_{i=1}^n x_i \end{eqnarray}$ gleich $\begin{eqnarray} n \cdot \overline{x} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} ln(\frac{1}{b}) =-ln(b) \end{eqnarray}$ ist. Nach Anwendung dieser Tipps musst du nur noch die Funktion ableiten und diese Ableitung dann gleich Null setzten. Mit freundlichen Grüßen.
01.08.2012, 18:47	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für den Hinweis, daß im ersten Beitrag ein Minus im Exponenten stand. Damit ergibt sich auch ein schöneres Resultat.
01.08.2012, 18:56	Öko	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke euch zwei. Also soweit kann ich das alles nachvollziehen. Was ich nicht kapiere, wie bekomm ich das Summenzeichen vor dem ln weg. Das wird morgen ein Disaster in der Prüfung, aber die Nacht ist ja noch lang. Meine Mathekenntnisse sind einfach zu eingerostet. Das letzte mal hab ich das vor 12 Jahren fürs Abi gebraucht.
01.08.2012, 19:12	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, ich würde den Ausdruck nach dem Summenzeichen einfach ableiten und die Summe erstmal so stehen lassen, zumindest beim ln-Ausdruck: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{i=1}^{n}\ln\left(\frac{1}{b}\right) \end{eqnarray}$ Wie gesagt: Entsprechend (letzter Beitrag) umformen, Summenzeichen stehen lassen und ableiten. Mit freundlichen Grüßen.
01.08.2012, 19:15	Öko	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ich würde es so machen... Das mit dem Mittelwert von x verwirrt mich zu sehr: ausgehend von: $\begin{eqnarray} <br /> log L = log(\frac{1}{b}e^{\frac{-x1}{b} }... \frac{1}{b}e^{\frac{-xn}{b} }<br /> \end{eqnarray}$ komm ich auf folgendes: $\begin{eqnarray} <br /> log L = - n logb - \frac{1}{b}(x1 + .... + xn)<br /> \end{eqnarray*}$ Stimmt doch auch, oder? Und jetzt ableiten. Da muss ich jetzt aber erst recherchieren wie das geht.
01.08.2012, 19:37	Öko	Auf diesen Beitrag antworten »
Hier noch die Ableitung: $\begin{eqnarray} <br /> \frac{dlogL}{b} = -n \frac{1}{b} - \frac{1}{b^{2} } * (x1+...+xn)<br /> <br /> b = (x1+...+xn)/ n<br /> b = \sum\limits_{i=1}^n k / n<br /> \end{eqnarray*}$ b = Mittelwert von x Könnt ihr mir bitte sagen ob das stimmt.
01.08.2012, 19:47	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, bis hier richtig : $\begin{eqnarray} b = (x1+...+xn)/ n=\frac{\sum_{i=1}^n x_i}{n} \end{eqnarray}$ Was ist jetzt der rechte Ausdruck? Stichwort: Mittelwert. Mit freundlichen Grüßen.
01.08.2012, 19:51	Öko	Auf diesen Beitrag antworten »
super DANKE. Bin es gerade nochmal durchgegangen. Mein Kommilitone hat das ganze mit negativen Vorzeichen. Ich hab irgendwo mal -1 genommen. Macht es einen Unterschied ob der Mittelwert + oder - ist.
01.08.2012, 20:19	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
So wie ich das sehe hast bist du richtig vorgegangen. Es macht natürlich einen Unterschied. Aber das ist das Problem deines Kommilitonen.
01.08.2012, 20:51	Öko	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank. Jetzt seh ich meiner Prüfung schon deutlich gelassener entgegen.
01.08.2012, 21:25	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hattest im ersten Beitrag im Exponenten ein Minus stehen, dann später mal nicht. Wenn Du kein Minus im Exponenten hast, kommt am Ende das Minus hinzu. Vermutlich hat Dein Kommilitione das Minuszeichen vergessen. Edit: Viel Erfolg bei der Prüfung!

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