2. Induktionsprinzip - Erklärung

30.07.2012, 18:44

Daniel1

2. Induktionsprinzip - Erklärung

Hallo,

folgendes wird in einem Lehrbuch als zweites Induktionsprinzip definiert:

$\begin{eqnarray*} M \subset \mathbb N \end{eqnarray*}$
es gilt:

1.
$\begin{eqnarray*} 1 \in M \end{eqnarray*}$

2.
Ist $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} k \in M \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} k < n \end{eqnarray*}$ , so ist $\begin{eqnarray*} n \in M \end{eqnarray*}$

Mir persönlich hilft es immer, es in einfach Alltagssprache auszudrücken. Das ist wohl ein mathematisches Fiasko, aber ich hoffe man verzeihe mir das Augenzwinkern

Also ich verstehe es so:
Wenn ich etwas für z.B. k={1;2} beweise, reicht es wenn ich es anschließend noch für ein beliebiges n>k beweise?
Ist das so gemeint?

Vielen Dank für eure Hilfe!

30.07.2012, 18:55

Math1986

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RE: 2. Induktionsprinzip - Erklärung
In diesem Fall ist deine Induktionsannahme, dass die Annahme für alle $\begin{eqnarray*} k<n \end{eqnarray*}$ gilt, und du die Aussage für $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ zeihst. Bei dem ersten Induktionsprinzip hast du die Annahme, dass die Aussage für $\begin{eqnarray*} n-1 \end{eqnarray*}$ gilt, und du diese für $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ zeigst.

Du musst die Aussage also nicht für beliebiges n, sondern für alle n zeigen - unter der Annahme, dass die Aussage für $\begin{eqnarray*} k<n \end{eqnarray*}$ gilt.

30.07.2012, 19:32

Daniel1

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RE: 2. Induktionsprinzip - Erklärung

Zitat:

Original von Math1986
In diesem Fall ist deine Induktionsannahme, dass die Annahme für alle $\begin{eqnarray*} k<n \end{eqnarray*}$ gilt, und du die Aussage für $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ zeihst. Bei dem ersten Induktionsprinzip hast du die Annahme, dass die Aussage für $\begin{eqnarray*} n-1 \end{eqnarray*}$ gilt, und du diese für $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ zeigst.

Du musst die Aussage also nicht für beliebiges n, sondern für alle n zeigen - unter der Annahme, dass die Aussage für $\begin{eqnarray*} k<n \end{eqnarray*}$ gilt.

Aber wie zeigt man unter diesen Voraussetzungen, dass es für alle n gilt?
Denn die mir derzeit einzig bekannte Methode, etwas für "alle" zu zeigen.
Ist das klassische 1. Induktionsprizip

30.07.2012, 19:50

Helferlein

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Nimm z.B. eine rekursive Folge $\begin{eqnarray*} a_n=a_{n-1}+a_{n-2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a_0=0, a_1=0 \end{eqnarray*}$ .

Behauptung: $\begin{eqnarray*} a_n=0~\forall~n \in \mathbb{N}_0 \end{eqnarray*}$

Induktionsanfang: Offensichtlich ist $\begin{eqnarray*} a_0=a_1=0 \end{eqnarray*}$ .

Induktionsvoraussetzung: Die Annahme gilt für alle k<n

Induktionsschluss: Es ist $\begin{eqnarray*} a_n=a_{n-1}+a_{n-2} = 0+0 = 0 \end{eqnarray*}$

30.07.2012, 19:56

Daniel1

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Zitat:

Original von Helferlein
Nimm z.B. eine rekursive Folge $\begin{eqnarray*} a_n=a_{n-1}+a_{n-2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a_0=0, a_1=0 \end{eqnarray*}$ .

Behauptung: $\begin{eqnarray*} a_n=0~\forall~n \in \mathbb{N}_0 \end{eqnarray*}$

Induktionsanfang: Offensichtlich ist $\begin{eqnarray*} a_0=a_1=0 \end{eqnarray*}$ .

Induktionsvoraussetzung: Die Annahme gilt für alle k<n

Induktionsschluss: Es ist $\begin{eqnarray*} a_n=a_{n-1}+a_{n-2} = 0+0 = 0 \end{eqnarray*}$

Achso, man kann also sagen: Man zeigt etwas konkret für 1 oder 2. Wenn man es dann für ein beliebiges n versucht, gelangt man zum selben Ergebnis wie mit den beiden Proben?

30.07.2012, 20:07

Helferlein

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Genau so machst Du es ja auch bei der normalen Induktion: Du zeigst es für ein bestimmtes n und zeigst dann, dass es für n+1 gilt.
Hier ist halt nicht nur der direkte Vorgänger wichtig, sondern (schlimmstenfalls) alle.

30.07.2012, 20:15

Daniel1

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Zitat:

Original von Helferlein
Genau so machst Du es ja auch bei der normalen Induktion: Du zeigst es für ein bestimmtes n und zeigst dann, dass es für n+1 gilt.
Hier ist halt nicht nur der direkte Vorgänger wichtig, sondern (schlimmstenfalls) alle.

Warum, wie darf man sich das schlimmstenfalls vorstellen, bzw. lösen? Das wären ja unendlich viele, womit man wieder beim Ausgangsproblem wäre.

31.07.2012, 14:03

Math1986

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Zitat:

Original von Daniel1
Das wären ja unendlich viele, womit man wieder beim Ausgangsproblem wäre.

Wo siehst du da ein Problem?

Schau dir am besten mal ein Beispiel an, es ist schwierig, so etwas allgemein zu diskutieren.

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