Potenzreihe

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Crazy007 Auf diesen Beitrag antworten »
Potenzreihe
Meine Frage:
Hallo ich bin gerade beim üben und habe probleme bei einer Aufgabe:

Bestimmen Sie mit dem Quotientenkriterium oder dem Wurzelkriterium die Konvergenzradien der folgenden Potenzreihen:

Ich hab bereits versucht mit dem Wurzelkriterium zu lösen,weiss aber allerdings nicht mehr weiter.





Meine Ideen:
bereits gepostet
Cheftheoretiker Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Potenzreihe
Hi,

ich würde die Sache mit dem Quotientenkriterium angehen.



Also:




 
 
Crazy007 Auf diesen Beitrag antworten »

Soll ich jetzt einfach den Kehrwert nehmen um das auszurechnen?
Cheftheoretiker Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Crazy007
Soll ich jetzt einfach den Kehrwert nehmen um das auszurechnen?


Ja, was erhälst du dann? smile
Valdas Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Potenzreihe
Bestimme zunächst mal die Koeffizienten der Potenzreihe!

Dann kannst Du den Kgz.-Rad. mit der Formel Deiner Wahl ganz einfach ausrechnen.
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

@hangman: Was hat den bei deinem noch das x zu suchen geschockt ?
shipwater Auf diesen Beitrag antworten »

An hangman: Was soll das sein was du im ersten Beitrag gerechnet hast? Ist jetzt schon das zweite mal, dass du so ansetzt daher wollte ich dich mal darauf hinweisen. Schau noch mal nach wie das Quotientenkriterium tatsächlich lautet.

Gruß Shipwater

Edit: Namen ausgebessert Augenzwinkern
Cheftheoretiker Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von shipwater
An hagman: Was soll das sein was du im ersten Beitrag gerechnet hast? Ist jetzt schon das zweite mal, dass du so ansetzt daher wollte ich dich mal darauf hinweisen. Schau noch mal nach wie das Quotientenkriterium tatsächlich lautet.

Gruß Shipwater


Für Potenzreihen lautet das Quotientenkriterium doch,



Nun habe ich einfach den Kehrwert genommen sprich,



Oder ist das ein Fehler? verwirrt


Gruß, hangman Wink
shipwater Auf diesen Beitrag antworten »

Wie Equester schon schreibt haben da dann aber die nichts mehr verloren. Bei gilt (falls dieser Grenzwert existiert)
Die Formel von Cauchy-Hadamard scheint mir hier aber sowieso mit weniger Rechnung verbunden zu sein.

Gruß Shipwater
Cheftheoretiker Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Wie Equester schon schreibt haben da dann aber die nichts mehr verloren.


Ja, da muss ich euch recht geben, ich ziehe das x erst immer nach dem kürzen vor den limes. Entschuldigung falls es für Verwirrung gesorgt hat. smile


Viele Grüße, hangman Wink
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von hangman
Zitat:
Wie Equester schon schreibt haben da dann aber die nichts mehr verloren.


Ja, da muss ich euch recht geben, ich ziehe das x erst immer nach dem kürzen vor den limes. Entschuldigung falls es für Verwirrung gesorgt hat. smile


Viele Grüße, hangman Wink


Was weiterhin falsch wäre.

Schau dir hier die Potenzreihen nochmals an:
http://de.wikipedia.org/wiki/Potenzreihe


Das hat mit dem x nix am Hut.



@Crazy:
Ich persönlich würde hier geschwind wie der Wind die 2 rausholen:



Dann habe ich mein .
Dann kannst du tatsächlich das Quotientenkriterium verwenden. Aber richtig^^.



Wink
Cheftheoretiker Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, dann werde ich demnächst das direkt außen vor lassen das es auch keine Missverständnisse mehr gibt. smile

Wobei das Ergebnis natürlich das selbe wäre.


Viele Grüße, hangman Wink
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von hangman

Wobei das Ergebnis natürlich das selbe wäre.


Was leider nicht stimmt unglücklich .





Das würdest du erhalten. Wobei A, das gekürzte ist (was auch richtig ist, ich aber
Crazy nicht alles vorwegnehmen will Augenzwinkern ); dein x ist aber weiterhin fehlplatziert, hangman!
Cheftheoretiker Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verstehe schon was ihr meint, dass es nicht korrekt ist das ich das in dem mitverarbeite. Wenn ich aber das nach dem kürzen nicht weiter beachte und es einfach rausziehe erhalte ich doch den gleichen Konvergenzradius als wenn ich das von vornherein nicht mit reingeschrieben hätte. Das ist dabei auch egal.

In Zukunft werde ich das einfach nicht mit in packen.

Gruß, hangman Wink
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Du meiner Treu, was ist denn das für eine Aussage geschockt (verzeih mir die Wortwahl, aber
mein Mund steht offen).

D.h. wenn ich haben will und ich aber schreibe , dann
muss ich halt einfach das 1/x ignorieren? geschockt

Das wäre ja DER Joker für jeden Prüfling der Mathematik Gott .
Cheftheoretiker Auf diesen Beitrag antworten »

Ich sage ja nicht das es mathematisch korrekt sei. Dennoch erhält man den gleichen Konvergenzradius. Ich werde das in Zukunft berücksichtigen.
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von hangman
Dennoch erhält man den gleichen Konvergenzradius.


Genau, wenn man ignoriert, was...ums jetzt wirklich deutlich zu sagen...Schwachsinn ist.
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, wenn man mit ansetzt, geht das mit hangmans Methode Big Laugh
Crazy007 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo leute ich hab zuerst einmal ein verständnisproblem .

Warum bleibt nach den dem Kehrwert nur noch 1/x stehen?
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Die 1/x haben hier nichts zu suchen. Also bei der Bestimmung des Konvergenzradius Augenzwinkern .
Lass dich da nicht verwirren.
Crazy007 Auf diesen Beitrag antworten »

Wie rechne ich denn genau den Mehrwert mit dem potenzen aus?
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Was verstehst du unter "Mehrwert"?
Wenn du den Konvergenzradius haben willst, dann starte wie um 11:35Uhr beschrieben Augenzwinkern .
Crazy007 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich meine den Kehrwert.
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Aso :P.

Schreib mir mal hin, was du bisher hast Augenzwinkern .
Kehrwert war ja nur den Bruch "umzudrehen" und das Divisionszeichen durch nen Malpunkt zu ersetzen Augenzwinkern .
Crazy007 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Equester
Zitat:
Original von hangman

Wobei das Ergebnis natürlich das selbe wäre.


Was leider nicht stimmt unglücklich .





Das würdest du erhalten. Wobei A, das gekürzte ist (was auch richtig ist, ich aber
Crazy nicht alles vorwegnehmen will Augenzwinkern ); dein x ist aber weiterhin fehlplatziert, hangman!


Bis hiehin habe ich es auch , aber ich weiss nicht wie ich diesen Quotienten ausmultiplizeren soll.

Was mache ich da mit den exponenten genau.

Oder lohn es sich überhaupt das auszumultiplizieren?
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist doch falsch.


Wir haben doch ein .

Das Quotientenkriterium:


Schreibe das sauber hin. Wenn ein x dabei ist, ists falsch :P.

Für den Kehrwert gilt folgendes:




(Bin jetzt aber im Bett)
Crazy007 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich poste mal meine rechnung :



Kann ich eigentlich sagen das das hier :
gegen 0 geht und das damit wegfällt?

Edit Equester: Latex ausgebessert.
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, ganz so einfach ists nicht^^. Was du aber machen kannst, ist die Potenzgesetze
anzuwenden, und die 2er Potenzen zu kürzen.
Für n und n+1 kannst du dann letztlich sagen, dass die für n gegen unendlich etwa
gleichgroß sind...und ebenfalls kürzen Augenzwinkern .
Crazy007 Auf diesen Beitrag antworten »

Dann müsste nur noch die 2 übrig bleiben ,ist es richtig?

Aber warum kann ich das n mit dem n+1 kürzen?

Kannst du mir das bitte genauer erklären?
Crazy007 Auf diesen Beitrag antworten »

Tschuldigung 2 ist glaub ich falsch , der lim müsste dann gegen 1/2 gehen.
shipwater Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

ist richtig. Nach dem Potenzgesetz gilt nämlich . Nachdem du dann kürzt bleibt übrig.
Eine Alternative zum "Quotientenkriterium" wäre hier die Formel von Cauchy-Hadamard. Demnach würde gelten:


Gruß Shipwater
Crazy007 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo shipwater, kannst du mir aber erklären warum man das n mit dem n+1 kürzen kann . Das ist mir nicht so ganz klar.
Crazy007 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Crazy007
Zitat:
Original von Equester
Zitat:
Original von hangman

Wobei das Ergebnis natürlich das selbe wäre.


Was leider nicht stimmt unglücklich .





Das würdest du erhalten. Wobei A, das gekürzte ist (was auch richtig ist, ich aber
Crazy nicht alles vorwegnehmen will Augenzwinkern ); dein x ist aber weiterhin fehlplatziert, hangman!


Bis hiehin habe ich es auch , aber ich weiss nicht wie ich diesen Quotienten ausmultiplizeren soll.

Was mache ich da mit den exponenten genau.

Oder lohn es sich überhaupt das auszumultiplizieren?



Und ich habe hier auch noch nicht so ganz verstanden , warum es hier kein x mehr geben soll?

Das ist mir nicht so richtig klar.
shipwater Auf diesen Beitrag antworten »

Na dann lies dich doch erstmal ein: Konvergenzradius
Crazy007 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Crazy007
Hallo shipwater, kannst du mir aber erklären warum man das n mit dem n+1 kürzen kann . Das ist mir nicht so ganz klar.


Ah ok x^n ist gleich 1 daher ok. Danke shipwater .

Aber diese Frage muss mir noch noch bitte jemand beantworten:

Hallo shipwater, kannst du mir aber erklären warum man das n mit dem n+1 kürzen kann .
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Crazy007
Ah ok x^n ist gleich 1 daher ok.


Ist es nicht Oo.
Der Konvergenzradius von ist vllt 1. Das hat
aber nichts mit x^n zu tun!


Bei der Bestimmung des Konvergenzradius interessiert uns nicht, was mit dem x
los ist. Ignoriere das was hangman da gesagt hat. Das ist falsch.
Beim Konvergenzradius konzentrieren wir uns alleine auf den anderen Faktor!
(Obiges gilt nur bei der Form
)

Das haben wir ja mittlerweile mit dem Quotientenkriterium geklärt?!




Warum du (n+1)/n kürzen darfst? So wies hier gerade dasteht, eigentlich nicht.
Für z.B. n=3 hätten wir 4/3~1,333... Das ist doch noch recht weit entfernt von 1.
Wenn wir aber ein größeres n wählen (z.B. n=1000) haben wir eine Wert der doch
ziemlich nahe bei 1 liegt (1,001 für n=1000). Wenn wir nun n gegen unendlich
streben lassen, spielt die +1 eine noch geringere Rolle als sie das im kleinen Zahlenbereich
tut. Wir können die +1 also getrost ignorieren.
Anschaulich nun klar? Augenzwinkern
Crazy007 Auf diesen Beitrag antworten »

Aber warum verschwindet dann das x^n?
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Für den Konvergenzradius r gilt, dass |x-x0|<r sein muss, wobei r sich nach
Cauchy-Hadamard aus ergibt.
Oder eben durch unser Quotientenkriterium.

Siehe auch nochmals hier: Klick mich
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