Wahrscheinlichkeit beim Schafkopfen / hypergeometrische Verteilung

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Stefan03 Auf diesen Beitrag antworten »
Wahrscheinlichkeit beim Schafkopfen / hypergeometrische Verteilung
Hallo,

ich hänge wieder bei einem Problem beim Schafkopfen bzw. allgemein bei der hypergeometrischen Verteilung.
Situation: Beim Schafkopfen gibt es 32 Karten, davon 14 Trumpf und 18 Nichttrumpf Karten.
Ich also Spieler kenne meine eigenen Karten und ich habe in dieser Situation genau 6 Trmpf und 2 Nichtrumpf Karten, d.h. für die verbleibenden 3 Spieler gibt es noch
14-6=8 Trumpf und
18-2=16 Nichttrumpf Karten.

Nun Frage ich mich, wie wahrscheinlich es ist, dass bei einem Gegenspieler genau die restlichen 8 Trumpfkarten sind. Das würde ich so berechnen:

Aufbau jeweils 2 Faktoren Trumpf und Nichttrumpf, die ersten 2 Spieler 1, die zweiten 2 Spieler 2...

Muss ich diese Wahrscheinlichkeit nun noch mit 3 multiplizieren, weil ja jeder die drei Trümpfe haben könnte? Ich vermute schon...

Dann die nächste Frage, wie wahrscheinlich es ist, dass einer 7 Trümpfe hat.



Muss ich dann hier eine Unterscheidung treffen, ob Spieler 2 oder Spieler 3 den einen übrigen Trumpf hat?

Oder wäre das richtig?

Vermutlich dann auch hier wieder alles mal 3....

Aber eigentlich ist es ja egal, weil für mich ist nur interessant, wie der übrige einen Trumpf vereilt sein kann und da gibts eben nur die Möglichkeit, dass einer diesen hat und der andere keinen.
Mathe-Maus Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Stephan,
ich möchte Dein Problem etwas anders darstellen:

Es gibt noch 8 Trumpfkarten und 16 Nichttrumpfkarten.

Lottomodell: 24 Kugeln, 8 Gewinnerkugeln.

Wie groß ist die Wahrscheinlickeit, das Spieler1 die 8 Gewinnerkugeln zieht ?

Lege die 8 Gewinnerkugeln nach links. Lege die 16 Nieten nach rechts.
Nimm von links 8 Kugeln (8 über 8) und von rechts 0 Kugeln (16 über 0).
Das sind die günstigen Möglichkeiten.

Gesamtmöglichkeiten: Von 24 Kugeln 8 entnehmen (24 über 8).

P=Günstige Möglichkeiten / Gesamtmöglichkeiten



Bei mehreren Spielern muss man noch mit der Anzahl Spieler multiplizieren (genau wie Du es vorgeschlagen hast.)

LG Mathe-Maus Wink
frank09 Auf diesen Beitrag antworten »

Bliebe noch zu klären wie wahrscheinlich es ist, dass einer 7 Trümpfe hat:

Errechne die WK, dass etwa dein rechter Nachbar 7 und dein linker Nachbar 1 Trumpf bekommt.
Anschließend multiplizierst du mit der Zahl der möglichen Aufteilungen "einer 7, ein anderer 1" auf die drei Spieler.
Stefan03 Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,
ok, danke alles gleich.

Und ist dann die Verteilung, die hier vorliegt, eine hypergeometrische Verteilung oder doch eher Gleichverteilung, weil ich ja prinzipiell mit einem Laplace-Experiment arbeite, also
Anz. günster Fälle/Anz. möglicher Fälle

Oder ist das so ein Mischmasch? smile Wobei ich ich den Ausdruck der hypergeom. Verteilung dazu verwende, die Mächtigkeit der Mengen der bestimmen...
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Zunächst mal zu den Begrifflichkeiten:

Du arbeitest hier mit einer Laplacewahrscheinlichkeit. Das heißt, es liegt eine endliche Menge von Elementarereignissen vor, die per Postulat alle die gleiche Wahrscheinlichkeit haben. Die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis , welches eine Teilmenge von ist, ist dann:



Dabei stehen die Betragsstriche für die Zahl der Elemente in der jeweiligen Menge.

Das hat noch nichts mit einer bestimmten Verteilung zu tun. Zu einer bestimmten Verteilung gelangt man erst durch Spezifikation von und bestimmter Teilmengen von . Zu einer Gleichverteilung kommt man z.B., wenn man als Teilmengen die Elementarereignisse selbst betrachtet, bzw. genauer gesagt, wenn man die einelementigen Teilmengen von betrachtet. Die haben dann alle die gleiche Wahrscheinlichkeit .

Die hypergeometrische Verteilung beruht auf dem Modell des Ziehens ohne Zurücklegen. Man hat eine Menge von Objekten, aus denen man ohne Zurücklegen Objekte zieht. Bei jeder Ziehung geht man von einer Laplacewahrscheinlichkeit für das gezogene Objekt aus. Diese Laplacewahrscheinlichkeit ändert sich natürlich mit jedem Ziehen, weil sich ja die Zahl der noch vorhandenen Objekte jeweils um 1 vermindert. Nun betrachte man als Elementarereignisse nicht das einzelne gezogene Objekt, sondern das n-Tupel der n gezogenen Elemente. Die Menge ist dann die Menge aller solcher n-Tupel. Jedes der n-Tupel hat die gleiche Wahrscheinlichkeit gezogen zu werden. Es liegt also auch auf diesem eine Laplacewahrscheinlichkeit vor. Es ist:



wenn man die Reihenfolge, in der die Objekte gezogen werden, nicht beachtet. Unter den Objekten gebe es nun Objekte mit einer besonderen Eigenschaft. Nun kann man die Frage stellen, wie wahrscheinlich es ist, dass unter den gezogenen Objekten genau diese besondere Eigenschaft haben. Man betrachtet also die Teilmengen von n-Tupeln aus , bei denen Objekte die besondere Eigenschaft haben und die anderen nicht die besondere Eigenschaft haben. Die Objekte müssen aus den Objekten mit der besonderen Eigenschaft gezogen worden sein und die Objekte aus den Objekten ohne die besondere Eignschaft. Es ist daher:



Es sei die Zufallsvariable, die Zahl der Elemente mit der besonderen Eigenschaft unter den gezogenen Elementen angibt. Dann ist.



Das ist die hypergeometrische Verteilung.


Nun zur Anwendung auf dein Problem. Die Objekte seien die auf die 3 Gegenspieler zu verteilenden 24 Karten, also . Es sei die Zahl der Karten, die ein bestimmter der 3 Gegenspieler bekommt, also . Die Karten mit der besonderen Eigenschaft seien die Trumpfkarten, also . Wenn danach gefragt ist, wie wahrscheinlich es ist, dass dieser bestimmte Gegenspieler 8 Trumpfkarten bekommt, ist . Das Ergebnis wurde von MatheMaus schon angegeben. Wenn es um 7 Trumpfkarten für diesen Gegenspieler geht, ist .

Wenn nicht nach der Wahrscheinlichkeit für einen bestimmten Gegenspieler gefragt ist, sondern nach der Wahscheinlichkeit für irgendeinen der 3 Gegenspieler, sind die Ergebnisse noch mit 3 zu multiplizieren. Das ist richtig, weil man es mit einander ausschließenden Ereignissen zu tun hat, deren Wahrscheinlichkeiten sich addieren.
Stefan03 Auf diesen Beitrag antworten »

super! Sehr verständlich und ausführlich erklärt, danke!
 
 
Stefan03 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

ich hätte nochmal eine Frage zur Situation, dass z.B. einer 7 Trümpfe gegen mich hat.

Sei E_1 das Ereignis Spieler 1 hat 7 Trümpf, E_2 und E_3 analog, dann gilt:

usw...

Laut Einschluss-Ausschluss-Formel gilt ja:



Also ist X "ein beliebiger hat hat 7 Trumpf ja wohl einfach nur

Ist das richtig?

Aber das ist doch etwas anderes wie das von
Zitat:
Original von frank09
Bliebe noch zu klären wie wahrscheinlich es ist, dass einer 7 Trümpfe hat:

Errechne die WK, dass etwa dein rechter Nachbar 7 und dein linker Nachbar 1 Trumpf bekommt.
Anschließend multiplizierst du mit der Zahl der möglichen Aufteilungen "einer 7, ein anderer 1" auf die drei Spieler.


oder irre ich mich da?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Dein Ergebnis ist richtig.

Der Weg von frank09 führt zum selben Resultat. Er spaltet lediglich den Fall, dass ein Gegenspieler 7 Trümpfe bekommt, in 2 Unterfälle auf, je nachdem, welcher der beiden anderen Spieler den letzten Trumpf hat. Jeder Unterfall hat die halbe Wahrscheinlichkeit. Deshalb muss dann dieses Ergebnis mit 6 multipliziert werden.
Stefan03 Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

ok, danke. Hab mir gestern Abend nochmals Gedanken zum Fall mit 4 Trumpf gemacht und bin dann mit beiden Methoden zum gleichen Ergebnis bebekommen...Zunächst war meine W-kleit, mit dem Einschluss-Aussschluss Prinzip berechnet, etwas höher als nachs frank09 Methode, aber ich hab den Fehler bei mir gefunden...

Noch eine andere Frage: Beim Einschluss-Ausschluss Prinzip müssen die Ereignisse nicht unabhängig sein, oder? Das gilt für beliebige...Irgendwo dachte ich gelesen zu haben, sie müssen unabh. sein, aber das ist ja hier nicht der Fall.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Das Einschluss-Ausschluss Prinzip ist zunächst mal eine Methode zur Bestimmung der Kardinalität einer Vereinigungsmenge über eine Summe von Kardinalitäten von Schnittmengen. Bis dahin hat es noch gar nichts mit Stochastik zu tun. Bei der Anwendung innerhalb der Stochastik tauchen dann die Wahrscheinlichkeiten dieser Schnittmengen, die dann Ereignisse repräsentieren, auf. Die Berechnung dieser Wahrscheinlichkeiten ist besonders einfach, wenn diese Ereignisse unabhängig sind.

Wenn das Problem auf einer Laplacewahrscheinklichkeit beruht, sind die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse proportional zur Kardinalität (Zahl der Elemente) in den Ereignismengen. Wenn du die Zahl der Elemente der Schnittmengen bestimmen kannst, muss dich die Frage der Abhängigkeit oder Unabhängkeit nicht kümmern.
Stefan03 Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

ok, danke. Das ist einleuchtend und man hätte, zumindest dass das E-A-P noch nicht direkt was mit der W-keit zu tun hat, selber drauf kommen können.

Jetzt habe ich ein neues Problem samt Ansatz, bin mir aber nicht sicher.

kurze Situation: Spieler hat 3 Karten einer Farbe, z.B. Sau, König, 9 + 5 weitere bliebige, aber nicht in der Farbe --> gibt noch 4 andere Karten in der Farbe (+1 weitere, die ist aber Trumpf)

Frage: Wie wahrscheinlich ist es, sie 3-1-0 verteilt sind: Ist klar, analog zu oben einfach



So, nun will ich aber nicht all solche eintreten Fälle als "gefährlich" einstufen, sondern nur, wenn derjenige, der die 3 Karten hat, auch die 10 in der Farbe hat.

Ich würde dann so argumentieren: W-keit, dass sie 10 bei dem mit den 3 ist:



Also sind 3/4 der Fälle von P(3-1-0) gefährlich und somit würde ich einfach rechnen:


Darf ich das so machen?

Und analog auch bei P(2-1-1), wobei da die Hälfte der Fälle gefährlich ist.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist korrekt.
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