Konvergenzradius

31.07.2012, 12:16

svenhk1990

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Konvergenzradius

Meine Frage:
Hallo Zusammen,

ich drehe langsam durch da ich leider den Konvergenzradius der Potenzreihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty (k+1)^k * (x-1)^k \end{eqnarray*}$
nicht bestimmen kann.
Ich habe schon viele Aufgaben durchgeschaut aber kann leider keine Paralellen zu meiner Aufgabe finden unglücklich

unglücklich

Wäre super Ihr könntet mir weiter helfen smile

smile

Meine Ideen:
Ich habe es mit $\begin{eqnarray*} r = \lim_{n \to \infty }\begin{vmatrix}\frac{a_n}{a_n+1}\end{vmatrix} \end{eqnarray*}$
probiert,... bin inzwischen aber total verwirrt da ich was von Koeffizienten gelesen habe und das hier leider nicht einorden kann unglücklich

unglücklich

Edit Equester: Latexklammern gesetzt und verbessert.

31.07.2012, 12:30

Che Netzer

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RE: Konvergenzradius
Hallo,

ich würde es mit dem Wurzelkriterium probieren, nicht mit dem Quotientenkriterium. (WolframAlpha sagt zwar, das geht nicht, halte ich aber für unglaubwürdig.

Oder hast du mit dem Begriff "Koeffizienten" Probleme?

mfg,
Ché Netzer

31.07.2012, 12:37

svenhk1990

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RE: Konvergenzradius
Danke für die schnelle Antwort,
ich weißt nicht was hier der Koeffizient ist.
Was müsste ich den in das Quotientenkriterium einsetzten?
Wie gehe ich vor? Was sind die Koeffizienten? Hammer

Hammer

31.07.2012, 12:47

Che Netzer

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RE: Konvergenzradius
Die allgemeine Potenzreihe hat ja die Form
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty a_k(x-x_0)^k \end{eqnarray*}$
(oder mit Startindex 0).
Die Koeffizienten sind hier die $\begin{eqnarray*} a_k \end{eqnarray*}$ . Bei deiner Reihe kann man das auch sehr schön herausfiltern.

Im Prinzip testet man mit dem Quotienten- bzw. Wurzelkriterium, wie schnell die Koeffizienten (also der erste Faktor) konvergieren/divergieren, um daraus eine Aussage darüber zu treffen, wie schnell die Potenzen von $\begin{eqnarray*} x-x_0 \end{eqnarray*}$ (also der zweite Faktor) konvergieren müssen bzw. divergieren dürfen, damit die Reihe trotzdem noch konvergiert.

Wenn der Betrag von $\begin{eqnarray*} x-x_0 \end{eqnarray*}$ nahe an 0 ist, konvergiert dieser Term natürlich schneller als bei höherem Betrag. Der Konvergenzradius ist dann der Betrag von $\begin{eqnarray*} x-x_0 \end{eqnarray*}$ , an dem sich die Konvergenz-/Divergenzgeschwindigkeiten der beiden Faktoren genau aufheben. Bei kleinerem Betrag überwiegt die Konvergenz, bei höherem die Divergenz.

31.07.2012, 12:54

svenhk1990

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RE: Konvergenzradius
Wenn ich deine Antwort richtig verstanden habe kann ich den Koeffizienten finden indem ich schaue was meine Reihe schnell wachsen lässt?

Dafür ist dann ja: $\begin{eqnarray*} \left(k+1\right)^k \end{eqnarray*}$ verantwortlich richtig?

31.07.2012, 13:01

Che Netzer

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RE: Konvergenzradius
Jein. Das sind zwar wirklich die Koeffizienten, aber darauf kommt man eher, indem man den Term mit der Potenz von $\begin{eqnarray*} x-x_0 \end{eqnarray*}$ (in diesem Fall $\begin{eqnarray*} x-1 \end{eqnarray*}$ , da hier $\begin{eqnarray*} x_0=1 \end{eqnarray*}$ ) weglässt.
Wir müssen ja in $\begin{eqnarray*} (k+1)^k(x-1)^k \end{eqnarray*}$ die Koeffizienten bestimmen, also
$\begin{eqnarray*} (k+1)^k(x-1)^k=a_k(x-1)^k \end{eqnarray*}$ .
Und damit dürfte es klar sein, was die Koeffizienten sind.

Es kann auch vorkommen, dass die Koeffizienten die Reihe nicht schnell wachsen lassen, sondern im Gegenteil zur Konvergenz beitragen. Dann ist der Konvergenzradius größer als 1 (bzw. größer gleich, je nach Auffassung).
Das ist z.B. bei $\begin{eqnarray*} a_k=2^{-k} \end{eqnarray*}$ der Fall.

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31.07.2012, 13:12

svenhk1990

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Alles klar hat jetzt zwar etwas gedauert aber ist angekommen.
Ich suche $\begin{eqnarray*} \left(x-x_0\right) \end{eqnarray*}$ heraus und lasse dies gedanklich wegfallen.
Der "Rest" bildet automatisch den/die Koeffizienten.

Danke für die Hilfe smile

smile

Freude

31.07.2012, 13:14

Valdas

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RE: Konvergenzradius
Du kannst die ganze Schose hier auch recht einfach auf die geom. Reihe zurückführen.

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty x^n \end{eqnarray*}$ hat bekanntlich Kgz.-Rad. $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ .

Somit kann Deine Reihe nur konvergieren wenn fast immer gilt:

$\begin{eqnarray*} |(k+1)(x-1)|<1. \end{eqnarray*}$

Dies kann, da $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ beliebig groß wird, aber nur für $\begin{eqnarray*} x=1 \end{eqnarray*}$ der Fall sein.

31.07.2012, 13:20

svenhk1990

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Die Vorraussetzung < 1 sollte ich doch aber nur mit einbeziehen wenn ich mir sicher bin bzw. "weiß wo die Reise hingeht" oder ist da wieder was an mit vorbei gegangen??

31.07.2012, 13:20

Che Netzer

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RE: Konvergenzradius
Für geometrische Reihen muss aber die Basis unabhängig von $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ sein, d.h. man bräuchte ein $\begin{eqnarray*} c\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ , so dass
$\begin{eqnarray*} \lvert(k+1)(x-1)\rvert\leq c<1 \end{eqnarray*}$ . Ja, daraus folgt auch deine Ungleichung, aber im allgemeinen reicht die ja nicht aus, z.B. ist $\begin{eqnarray*} \sqrt[k]{\tfrac12} \end{eqnarray*}$ immer kleiner als 1, aber die entsprechende Reihe konvergiert ganz sicher nicht.

(Nur für den Fragesteller, damit er nicht denkt, die angegebene Ungleichung würde ausreichen)
EDIT: Man ersetze "würde ausreichen" durch "wäre äquivalent zur Konvergenz der entsprechenden Reihe" o.ä.

31.07.2012, 13:28

svenhk1990

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Also mir ist schon damit sehr geholfen das ich weiß wie ich an die Koeffizienten kommen und somit erstmal weiß was ich einsetzen muss.
Auf den Part mit den komplexen Zahlen werde ich ja vll später nochmal genauer kommen / treffen.

Freude

Freude

31.07.2012, 13:41

Valdas

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notwendig vs hinreichend

Zitat:

Original von Che Netzer
(Nur für den Fragesteller, damit er nicht denkt, die angegebene Ungleichung würde ausreichen)

Hier reicht sie schon, denn offenbar gilt für beliebig vorgegebenes $\begin{eqnarray*} x\neq 0 \end{eqnarray*}$ ab einem (groß genug zu wählenden) $\begin{eqnarray*} k\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ stets:

$\begin{eqnarray*} |(k+1)(x-1)|>1. \end{eqnarray*}$

Genau aus diesem Grund habe ich auch gesagt:

Somit kann die Reihe nur konvergieren wenn...

und nicht etwa:

die Reihe konvergiert genau dann wenn...

31.07.2012, 13:51

Che Netzer

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RE: notwendig vs hinreichend
@Valdas:
Ja, mir ist diese Formulierung vorhin auch nochmal komisch vorgekommen, habe sie dann auch editiert. (anscheinend zu spät)
D.h. ich wollte nur nicht, dass der Fragesteller denkt, diese Ungleichung würde dann die Konvergenz implizieren.

@svenhk1990:
Mit den komplexen Zahlen geht das meiste eigentlich genauso. Nur, dass der Konvergenzradius dir dann eine Scheibe, kein Intervall liefert.

01.08.2012, 08:51

svenhk1990

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Gute Morgen,
wollte grade voller Tatendrang starten stehe aber wie die Kuh vorm Berg.
Ich weiß jetzt das $\begin{eqnarray*} \left(k+1\right)^k \end{eqnarray*}$ der Koeffizient a_n ist.

Wie setzte ich diesen den nun in: $\begin{eqnarray*} \lim_{k \to\infty } \left(a_n/a_n+1\right) \end{eqnarray*}$ ein???
Ich habe auch eine Formel meiner Dozentin wo sie a_n und a_n+1 vertauscht hat?

01.08.2012, 12:17

Che Netzer

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Zum Quotientenkriterium würde ich nicht raten, benutze lieber das Wurzelkriterium.

Die Kehrwertbildung hat folgenden Grund:
Um die Konvergenz einer Reihe zu überprüfen, kann man das Quotienten- bzw. Wurzelkriterium anwenden und erhält den Wert
$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\left\lvert\frac{a_{n+1}}{a_n}\right\rvert \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{\lvert a_n\rvert} \end{eqnarray*}$ (oder halt mit $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ ...).
(diese Werte sollten immer gleich sein, wir können beides also mit $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ bezeichnen)
Wenn nun $\begin{eqnarray*} a<1 \end{eqnarray*}$ ist die Reihe (absolut) konvergent, für $\begin{eqnarray*} a=1 \end{eqnarray*}$ kann keine Aussage getroffen werden, für $\begin{eqnarray*} a>1 \end{eqnarray*}$ ist sie divergent.
Bei Potenzreihen wollen wir also dieses $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ unter 1 kriegen. Dazu wenden wir die Kriterien auf die Koeffizienten an und erhalten dann ein vorläufiges $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ . Der Konvergenzradius ist nun der Wert, den wir an $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ heranmultipliziere können, sodass genau 1 herauskommt - also $\begin{eqnarray*} \tfrac1a \end{eqnarray*}$ .

Um den Konvergenzradius also direkt zu bestimmen, bilden wir den Kehrwert des Grenzwertes. Die Formel, die du meinst, ist das allgemeine Wurzelkriterium (siehe oben).

01.08.2012, 12:23

svenhk1990

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Sry aber das Wurzelkriterium sagt mir leider garnichts!
Wenn ich recht verstanden habe kann ich dieses aber immer anwenden und das Quotientenkriterium nicht automatisch immer bzw. es führt nicht immer zur Lösung?

Aber jetzt nochmal ganz blöde gefragt was muss ich jetzt wo einsetzten?
Den Koeffizinenten anstelle des a_n unter die Wurzel?

01.08.2012, 12:28

Che Netzer

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Das Wurzelkriterium hattet ihr nicht?

Naja, eigentlich sind beide gleichwertig. Sie sollten auch immer denselben Grenzwert liefern, aber manchmal bietet sich eins halt an. Das Quotientenkriterium zum Beispiel für Fakultäten oder das Wurzelkriterium (wie hier) bei einem $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ im Exponenten.

Ja, du setzt einfach deine Koeffizienten für $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ dort ein. (natürlich mit $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ , wenn du es $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ nennst).
Aber wenn ihr das Wurzelkriterium nicht hattet, sollt ihr das vielleicht doch mit dem Quotientenkriterium machen.
Naja, so schlimm ist das hier auch nicht, du brauchst dann einfach eine geeignete Abschätzung.

01.08.2012, 12:30

svenhk1990

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Eine geeigente Abschätzung von was?
Also zu meiner Verteidigung ist studiere Maschbau. im 2 Semester.
Vll erklärt das einiges? Hammer

Hammer

01.08.2012, 12:33

Che Netzer

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Naja, wenn ihr das Wurzelkriterium nicht hattet, schreibe mal
$\begin{eqnarray*} \left\lvert\frac{a_k}{a_{k+1}}\right\lvert \end{eqnarray*}$
auf. (Setze im Nenner einfach $\begin{eqnarray*} k+1 \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ ein)
Danach schätze den Bruch geeignet nach oben ab und sieh dir an, wogegen diese Majorante dann konvergiert.

01.08.2012, 12:39

svenhk1990

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dann erhalte ich:

$\begin{eqnarray*} \left(k+1\right)^k/\left(k+2\right)^k*\left(k+2\right) \end{eqnarray*}$

und damit bin ich seit heute morgen überfordert,.... ich sehe da nicht wie es weiter gehen kann?

01.08.2012, 12:42

Che Netzer

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Mal ordentlich aufgeschrieben:
$\begin{eqnarray*} \frac{(k+1)^k}{(k+2)^k(k+2)} \end{eqnarray*}$ .
Wie gesagt: Du musst nach oben abschätzen; dazu kannst du den Nenner verkleinern:
$\begin{eqnarray*} \frac{(k+1)^k}{(k+2)^k(k+2)}\leq? \end{eqnarray*}$

01.08.2012, 12:44

svenhk1990

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Sieht besser aus Freude

Freude

Das ganze würde gegen 0 gehen.

01.08.2012, 12:48

Che Netzer

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Kannst du auch begründen, wieso?

01.08.2012, 12:53

svenhk1990

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Weil mein Nenner schneller wächst als der Zähler.
Damit hätte ich ja den Grenzwert und müsste davon den Kehrwert nehmen und hätte meinen Konvergenzradius richtig?
Allerdings soll laut Lösung das Ergebnis 1 sein was sich ja nicht mit meiner Aussage deckt!? verwirrt

verwirrt

01.08.2012, 13:58

Che Netzer

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Zitat:

Original von svenhk1990
Weil mein Nenner schneller wächst als der Zähler.

Die Begründung ist nicht sehr präzise. Immerhin wächst ja auch $\begin{eqnarray*} 2n \end{eqnarray*}$ schneller als $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ , aber $\begin{eqnarray*} \tfrac n{2n} \end{eqnarray*}$ geht nicht gegen Null.

Zitat:

Damit hätte ich ja den Grenzwert und müsste davon den Kehrwert nehmen und hätte meinen Konvergenzradius richtig?

Nein, hier hast du ja schon den Kehrwert: Der größere Index steht im Nenner, also berechnest du den Konvergenzradius direkt.

Zitat:

Allerdings soll laut Lösung das Ergebnis 1 sein was sich ja nicht mit meiner Aussage deckt!? verwirrt

verwirrt

Wenn du die Aufgabe richtig abgeschrieben hast und 1 der Konvergenzradius sein soll, ist das falsch.
Vielleicht meinen sie, dass die Reihe nur für $\begin{eqnarray*} x=1 \end{eqnarray*}$ konvergiert?

01.08.2012, 14:06

svenhk1990

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Das kann natürlich sein ich depp.
In der Lösung steht x=1 somit habe ich also keinen Radius sondern bildlich gesprochen nur einen Punkt!?

Ahhhhh jetzt scheint einiges klar zu werden. Da das Quotientenkriterium sagt das der Radius 0 sei schließe ich daraus des es lediglich ein Punkt ist!?

Jetzt ist mir nur noch unklar wie die Lösung 1 sein kann? Ist das jetzt der Grenzwert der Reihe?
verwirrt

verwirrt

01.08.2012, 14:10

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Den Grenzwert der Reihe kannst du kaum ermitteln.

Aber für $\begin{eqnarray*} x=1 \end{eqnarray*}$ konvergiert die Reihe garantiert, dann ist nämlich einer der Faktoren fast immer Null. Da der Konvergenzradius Null ist, gibt es sonst keine Punkte, für die die Reihe konvergiert.

Den Grenzwert bzw. Konvergenzradius hast du aber immer noch nicht sauber bestimmt Augenzwinkern

Augenzwinkern

01.08.2012, 14:14

svenhk1990

Auf diesen Beitrag antworten »

Immer noch nicht???
Danke erstmal an dieser Stelle erstmal für deine Gedult!!! Freude

Freude

Meinst du jetzt das lim ...... nicht mit bei geschrieben habe? oder meine Begründung?

01.08.2012, 14:17

Che Netzer

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Deine Begründung war nicht ausreichend. Du solltest einen handfesten, tatsächlichen Beweis dafür liefern können, dass
$\begin{eqnarray*} \lim_{k\to\infty}\frac{(k+1)^k}{(k+2)^k(k+2)}=0 \end{eqnarray*}$
bzw.
$\begin{eqnarray*} \frac{(k+1)^k}{(k+2)^k(k+2)}\to0 \end{eqnarray*}$ .

01.08.2012, 14:19

svenhk1990

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Okay das kann ich nicht.
Wäre jetzt mein erster Versuch so etwas zu beweisen unglücklich

unglücklich

01.08.2012, 14:21

svenhk1990

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kannst du mir einmal zeigen wie das geht???
Habe noch mehr aufgaben dann kann ich das da anwenden und vertiefen!!

01.08.2012, 14:21

Che Netzer

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Habt ihr noch nie einen Grenzwert bestimmt?? geschockt

geschockt

Glaube ich nicht!
Kennst du das Dreifolgenkriterium bzw. das "Sandwichprinzip"?

01.08.2012, 14:45

svenhk1990

Auf diesen Beitrag antworten »

Doch Grenzwerte klar.
z.B. von $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{5n+3}{n} \end{eqnarray*}$
In dem Niveau mit der Begründung wir wollten ja keine Mathematiker werden! Hammer

Hammer

01.08.2012, 14:55

Che Netzer

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Hm...
Naja, von mir aus:
$\begin{eqnarray*} 0\leq\frac{(k+1)^k}{(k+2)^{k+1}}\leq\frac{(k+1)^k}{(k+1)^{k+1}}=\frac1{k+1}\to0 \end{eqnarray*}$ .

01.08.2012, 15:07

svenhk1990

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Das kenne ich von der Art her.
Aber wie kannst du aus dem (k+2) ein (k+1) machen???

01.08.2012, 15:13

Che Netzer

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Durch Abschätzen:
$\begin{eqnarray*} k+2\geq k+1 \end{eqnarray*}$ dürfte ja keine Probleme bereiten, oder?

01.08.2012, 15:17

svenhk1990

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Nein macht kein Problem!
Danke das kann ich dann jetzt nach voll ziehen.
Ich verstehe jetzt aber immer noch nicht was es mit dem x=1 auf sich hat?
Wenn der Konvergenzradius doch 0 ist?

01.08.2012, 15:42

Che Netzer

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Naja, wir haben einen Mittelpunkt, das ist hier die 1. Und für alles, was sich innerhalb des Konvergenzradius um den Mittelpunkt befindet, konvergiert die Reihe auch.

01.08.2012, 15:47

svenhk1990

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Okay aber woher bekomme ich die 1?
Ist das Richtig das ich sie über die Normalform "ablesen" kann?
Müsste demnach ja das x_0 sein!

Ich müsste es jetzt beriffen haben! Probiere es morgen noch mal an anderen Aufgaben!!!

Vielen Dank für deine Gedult und Hilfe!!!!!!! Gott

Gott

01.08.2012, 16:14

Che Netzer

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Die 1 ist der Wert für $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ , für den $\begin{eqnarray*} (x-x_0)^k \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} (x-1)^k \end{eqnarray*}$ zu Null wird. Und dann konvergiert die Reihe natürlich.

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