Homöomorphismus eines abgeschlossenen Balls gesucht

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juffo-wup Auf diesen Beitrag antworten »
Homöomorphismus eines abgeschlossenen Balls gesucht
Ich suche einen Homöomorphismus bei dem für 2 vorgegebene Punkte gilt und
Hierbei ist der abgeschlossene Einheitsball in mit Rand
ollie3 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Homöomorphismus eines abgeschlossenen Balls gesucht
hallo juffo-wup,
ich habe zwar leider nicht viel ahnung vom fachgebiert topologie, aber anschaulich
betrachtet müsste das ja eine abbildung sein, die das kugelinnere verzerrt, aber
den (n-1)dimensionalen kugelrand konstant lässt. Ich nehme ja an, dass hier eine
konkrete funktionsvorschrift für h gefordert wird, damit kann ich leider nicht
dienen.
gruss ollie3
Louis1991 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Homöomorphismus eines abgeschlossenen Balls gesucht
Moin,

Also rein anschaulich würde mir zunächst folgender Gedanke kommen:

h(a)= b wissen wir schon

Jetzt wollen wir h(x) bestimmen. Dann schauen wir uns die Halbgerade von a nach x und ihren Schnittpunkt s mit der S^(n-1) an. Dann betrachten wir das Verhältnis (Norm) in dem x auf der Strecke von a zu s liegt.

Jetzt suchen wir den Punkt y der im selben Verhältnis auf der Strecke von b zu s liegt.

Dann ist h(x)=y.

Könnte funktionieren, sollte glaube ich auch nicht sooo schwer in eine Formel zu fassen sein.

lg
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Möglichkeit ist folgendes (damit bekommt man sogar einen Diffeomorphismus):

Konstruiere zuerst ein glattes Vektorfeld auf , so dass für alle und so dass das Vektorfeld kompakten Träger in hat. Nun betrachte den Fluss von diesem Vektorfeld. Der Fluss erfüllt automatisch für alle für welche . Und es gilt



D.h. . Da das Vektorfeld null ist ausserhalb von haben wir weiterhin und .
Insgesamt hast du also einen Diffeomorphismus



Zur Konstruktion eines solchen Vektorfelds ist etwas von der Form für eine glatte Abschneidefunktion geeignet.
juffo-wup Auf diesen Beitrag antworten »

Danke euch. smile
Die Idee von Louis1991 funktioniert, soweit ich das sehe (eine Umkehrabbildung ist ja die gleiche Konstruktion mit b und a statt a und b) und gefällt mir gut, weil so einfach.
Das über den Fluss eines Vektorfeldes zu machen ist aber auch cool (daran hätte ich nie gedacht), vor allem weil ein Diffeomorphismus herauskommt, ich konnte die Konstruktion von gonnabphd (nach einer Weile, meine Vektoranalysis-Kenntnisse sind etwas rostig Augenzwinkern ) auch nachvollziehen.

( Jetzt kenne ich einen sauberen Beweis, dass die Dimension einer zusammenhängenden Mannigfaltigkeit wohldefiniert ist. Augenzwinkern )
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