Ungleichung - Vollst. Induktion

31.07.2012, 20:37

mbbm

Ungleichung - Vollst. Induktion

Hallo,

ich brauche bitte Hilfe bei folgender Aufgabe:

Sei $\begin{eqnarray*} n\geq 5 \end{eqnarray*}$ , dann gilt $\begin{eqnarray*} 2^{n}>n^{2} \end{eqnarray*}$

Induktionsanfang: $\begin{eqnarray*} 2^{5}=32>25=5^{2} \end{eqnarray*}$

Induktionsannahme: $\begin{eqnarray*} 2^{n}>n^{2} \end{eqnarray*}$

Induktionsschritt:

$\begin{eqnarray*} 2^{n+1}=2^{n}*2>n^{2}*2 \end{eqnarray*}$

Ab hier weiß ich nicht mehr weiter. Wie muss ich fortfahren, um die Ungleichung zu beweisen?

mfg

31.07.2012, 20:51

Iorek

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Du willst im IS letztendlich die Ungleichung $\begin{eqnarray*} 2^{n+1} > (n+1)^2 \end{eqnarray*}$ stehen haben (Tipp: rechte Seite mal ausmultiplizieren könnte hilfreiche Ideen bringen), dazu könntest du erst einmal $\begin{eqnarray*} 2\cdot n^2 \end{eqnarray*}$ als $\begin{eqnarray*} n^2+n^2 \end{eqnarray*}$ schreiben. Nun weißt du noch zusätzlich, dass $\begin{eqnarray*} n>5 \end{eqnarray*}$ ist, damit kannst du dann eins der $\begin{eqnarray*} n^2 \end{eqnarray*}$ abschätzen.

31.07.2012, 21:16

mbbm

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Also ist

$\begin{eqnarray*} n^{2}+n^{2}>n^2+2n+1 \end{eqnarray*}$

daraus folgt dann:

$\begin{eqnarray*} n^{2}>2n+1 \end{eqnarray*}$

Aber weiter weiß ich leider immer noch nicht. Ich habe generell Schwierigkeiten mit den Ungleichheiten, weil ich da meistens nicht weiß, was ich machen soll.
Soweit ich es verstanden habe versuche ich doch, die Ungleichheit zu beweisen indem ich

$\begin{eqnarray*} x>y, y>z \Rightarrow x>z \end{eqnarray*}$

zeige. Dass stimmt doch hoffentlich soweit oder?

31.07.2012, 21:43

Iorek

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Zitat:

Original von mbbm
Also ist

$\begin{eqnarray*} n^{2}+n^{2}>n^2+2n+1 \end{eqnarray*}$

Kannst du das denn zeigen bzw. begründen? Wenn ja, dann bist du doch eigentlich fertig.

31.07.2012, 22:04

mbbm

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Nein, leider kann ich es nicht begründen. Stehe wirklich völlig auf der Leitung, wie ich weitermachen soll. unglücklich

31.07.2012, 22:19

Iorek

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Zitat:

Original von Iorek
Nun weißt du noch zusätzlich, dass $\begin{eqnarray*} n>5 \end{eqnarray*}$ ist, damit kannst du dann eins der $\begin{eqnarray*} n^2 \end{eqnarray*}$ abschätzen.

Wenn $\begin{eqnarray*} n>5 \end{eqnarray*}$ , dann kannst du in $\begin{eqnarray*} n^2=n\cdot n \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ damit nach unten abschätzen. Danach ist noch eine ähnliche Abschätzung nötig und dann stehts schon da.

31.07.2012, 22:38

mbbm

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Tut mir leid, aber ich komme immer noch nicht weiter. Könntest du mir bitte den nächsten Schritt zeigen, da ich ehrlich gesagt nicht genau weiß, was du mit "nach unten abschätzen" meinst. Das Problem ist nämlich, dass in meinem Buch keine Ungleichheit bewiesen wurde und nun ist plötzlich eine bei den Übungsaufgaben dabei.

31.07.2012, 22:42

Iorek

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Im Prinzip hast du schon das korrekte Vorgehen aufgeschrieben:

Zitat:

Original von mbbm
Soweit ich es verstanden habe versuche ich doch, die Ungleichheit zu beweisen indem ich

$\begin{eqnarray*} x>y, y>z \Rightarrow x>z \end{eqnarray*}$

zeige.

Du stehst bei $\begin{eqnarray*} 2^{n+1} > n^2+n^2 \end{eqnarray*}$ und du willst zu $\begin{eqnarray*} 2^{n+1} > (n+1)^2 \end{eqnarray*}$ , also reicht es wenn wir $\begin{eqnarray*} n^2+n^2> (n+1)^2 \end{eqnarray*}$ hinbekommen.

Da $\begin{eqnarray*} n> 5 \end{eqnarray*}$ vorausgesetzt ist, können wir das nach unten abschätzen (heißt: den Term verkleinern): $\begin{eqnarray*} n^2=n\cdot n > 5\cdot n \end{eqnarray*}$ , also haben wir insgesamt jetzt:

$\begin{eqnarray*} 2^{n+1} > n^2 + n^2 > n^2 + 5n \end{eqnarray*}$

Mit einer ähnlichen Abschätzung nach unten solltest du nun auf $\begin{eqnarray*} (n+1)^2 \end{eqnarray*}$ kommen.

01.08.2012, 15:02

mbbm

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Ok, ich glaube ich bin fertig.

Also $\begin{eqnarray*} n^{2}+5n=n^{2}+2n+3n>n^{2}+2n+1 \end{eqnarray*}$

Die Ungleichheit müsste stimmen, weil 3*5 (da $\begin{eqnarray*} n\geq 5 \end{eqnarray*}$ ) auf jeden Fall größer ist als 1.

Ist der Beweis so in Ordnung?

mfg

01.08.2012, 16:10

Mystic

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Zitat:

Original von mbbm
Ist der Beweis so in Ordnung?

Ja, falls du den kleinen Fehler von Iorek, der n > 5 vorausgesetzt hat, was an einer Stelle eine Änderung von > auf $\begin{eqnarray*} \ge \end{eqnarray*}$ zur Folge hat, aber insgesamt nichts ändert, nicht mit übernommen hast... Augenzwinkern

War der Beweis wirklich mit Induktion verlangt? Wenn ja, wie ich vermute, ist es schade, dass der Fantasie solche willkürlichen Grenzen gesetzt werden... Wieviel schöner - und daher auch befriedigender - wäre ein Beweis wie dieser ohne Induktion

$\begin{eqnarray*} 2^n =(1+1)^n= \sum_{k=0}^n \binom nk > \binom n1+\binom n2 +\binom n{n-2}=n+2n(n-1)/2=n^2 \quad (n \ge 5) \end{eqnarray*}$

03.08.2012, 00:29

Iorek

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Zitat:

Original von Mystic
Ja, falls du den kleinen Fehler von Iorek, der n > 5 vorausgesetzt hat, was an einer Stelle eine Änderung von > auf $\begin{eqnarray*} \ge \end{eqnarray*}$ zur Folge hat, aber insgesamt nichts ändert, nicht mit übernommen hast... Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} n>5,~n\geq 5 \end{eqnarray*}$ , bis auf endlich viele $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ sehe ich da keine Unterschiede, und die sind doch dann wirklich uninteressant. Big Laugh

Solche Aufgaben mit Induktion zu lösen ist (leider) der Normalfall, ich wurd schon ein paar Mal komisch angesehen wenn ich gesagt habe, dass ich die Summenformel nach Gauß lieber ohne Induktion beweise...aber immer wieder schön zu sehen, wie es auch anders gehen kann. Augenzwinkern

03.08.2012, 09:36

HAL 9000

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Zumindest ist Induktion hier noch eine einigermaßen vernünftige Wahl, ganz im Gegensatz zu "reinen" Polynomungleichungen wie hier

Induktionsbeweis fuer n^2 > 7n + 1 fuer alle n >= 8 . Augenzwinkern

03.08.2012, 13:53

mbbm

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Naja, für mich war das Ganze bereits so eine Herausforderung smile

. Aber danke für eure Hilfe Gott

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