Taylor-Reihe

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n3rdfr34k Auf diesen Beitrag antworten »
Taylor-Reihe
Hallo ihr,
folgende Aufgabe:
Berechnen Sie die Koeffizienten der Taylor-Reihe für die Funktion

Laut unserem Prof müsste diese Aufgabe in maximal 10 Minuten machbar sein.

Da Taylor-Reihen nicht gerade meine Stärke ist, habe ich damit große Probleme.
Wie beginne ich bei einer solchen Aufgabe?
Kann mir jemand einen verständlichen Lösungsweg zeigen?
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ihr die Taylorreihe schon behandelt habt, wirst Du wissen, dass Du die Ableitungen der Funktion an einer bestimmten Stelle kennen musst.
Diese sind wegen ziemlich einfach zu berechnen.
n3rdfr34k Auf diesen Beitrag antworten »

also gut ich rechne also mal die ersten 4 Ableitungen aus:


wie komme ich damit weiter?
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Wie oben schon gesagt: Überlege Dir, an welcher Stelle die Taylorreihe wohl angesetzt wird.
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Nur als Einwurf gedacht: Falls du mit der Taylorreihe nicht zurechtkommst, kannst du hier auch die Binomische Reihe verwenden, was ohnehin die bessere Wahl ist...
n3rdfr34k Auf diesen Beitrag antworten »

so, ich probiere es nochmal in etwas ausgeschlafenerem Zustand:

Die Allgemeine Formel für Taylorreihen lautet ja zumindest laut unserem Skript:

Das bedetet für diese Aufgabe:



Ist das eine valide Lösung für die Aufgabe oder bin ich vollkommen auf dem Holzweg?
 
 
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Hm, bist du sicher, dass du ganz ausgeschlafen bist? Big Laugh

Konstante Koeffizienten, wie hier die enthalten normalerweise kein x... Und ja -15/48 kann man noch kürzen... Aber sonst scheint es nach flüchtiger Überprüfung zu stimmen... Freude

Edit: Wobei vermutlich eine explizite Formel für die gefragt ist, also geht's noch weiter...
n3rdfr34k Auf diesen Beitrag antworten »

okay habe verstanden, ich korrigiere:




da ich ja nur die Koeffizienten berechnen sollte glaube ich nicht, dass ich eine explizite Formel für angeben muss.
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von n3rdfr34k
da ich ja nur die Koeffizienten berechnen sollte glaube ich nicht, dass ich eine explizite Formel für angeben muss.

Ah, das hatte ich überlesen... Aber du könntest immerhin noch die zweite Methode



mit



ausprobieren, nur um den Unterschied zu sehen... Augenzwinkern

P.S.: Ich hoffe du weisst, wie Profis sowas ausrechnen: Zuerst 1*2*...*k im Nenner anschreiben, dann im Zähler mit (-1/2) beginnend und jeweils 1 subtrahierend gleich viele Faktoren wie im Zähler anschreiben... Erst anschließend wird dann vereinfacht...
n3rdfr34k Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mystic
Aber du könntest immerhin noch die zweite Methode



mit



ausprobieren, nur um den Unterschied zu sehen... Augenzwinkern

P.S.: Ich hoffe du weisst, wie Profis sowas ausrechnen: Zuerst 1*2*...*k im Nenner anschreiben, dann im Zähler mit (-1/2) beginnend und jeweils 1 subtrahierend gleich viele Faktoren wie im Zähler anschreiben... Erst anschließend wird dann vereinfacht...


alles klar, danke!

so aber es gibt natürlich noch einen Aufgaben-Teil b):
Schätzen Sie den Fehler ab, der bei der Approximation der Funktion an der Stelle durch die Reihe mit den oben [also in Aufgabenteil a] bestimmten Koeffizienten entsteht.

ich habe ja nun die Glieder an der Stelle gebildet, indem ich halt mit der 0 gerechnet habe.
Allerdings ist imr die Formel für die Fehler-Abschätzung gerade nicht ganz klar, denn im Skript ist da zwar eine 4-seitige Herleitung für die Taylor-Reihen aber zur Fehler-Berechnung ist da nicht wirklich eine Formel drin.
Könnte mir die jemand angeben?
Und wie kann ich meine Ergebnisse aus Aufgabenteil a) dort verwenden, wenn ich nun an der Stelle das Ganze machen soll?
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Bei alternierenden Reihen, für welche die Beträge der Reihenglieder eine monoton abnehmende Nullfolge bilden (was aber hier leider nur für zutrifft!) kann der Absolutfehler bei einem Abbruch der Auswertung der Reihung durch den Absolutbetrag des ersten nicht berücksichtigen Gliedes nach oben abgeschätzt werden... Für x<0 wird die Sache wesentlich komplizierter, denn da muss man sich das Restglied der Taylorrreihe genauer ansehen und versuchen nach oben abzuschätzen...
n3rdfr34k Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mystic
Bei alternierenden Reihen, für welche die Beträge der Reihenglieder eine monoton abnehmende Nullfolge bilden (was aber hier leider nur für zutrifft!) kann der Absolutfehler bei einem Abbruch der Auswertung der Reihung durch den Absolutbetrag des ersten nicht berücksichtigen Gliedes nach oben abgeschätzt werden... Für x<0 wird die Sache wesentlich komplizierter, denn da muss man sich das Restglied der Taylorrreihe genauer ansehen und versuchen nach oben abzuschätzen...


okay ich versuche das mal zu verstehen:
Ich kann den maximalen Fehler meiner Taylor-Reihe also abschätzen, indem ich das Glied angebe? Wozu steht dann da?
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von n3rdfr34k
okay ich versuche das mal zu verstehen:
Ich kann den maximalen Fehler meiner Taylor-Reihe also abschätzen, indem ich das Glied angebe? Wozu steht dann da?

Hm, was genau verstehst du unter dem -Glied?... Falls wir beide das Gleiche meinen, kommt da ja auch ein x vor oder nicht? verwirrt

Und ja, dieses x liegt auch noch in [0,1], d.h., es liegt hier der einfache Fall vor, den ich oben erwähnt hatte...
n3rdfr34k Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mystic
Hm, was genau verstehst du unter dem -Glied?... Falls wir beide das Gleiche meinen, kommt da ja auch ein x vor oder nicht? verwirrt

Und ja, dieses x liegt auch noch in [0,1], d.h., es liegt hier der einfache Fall vor, den ich oben erwähnt hatte...



also damnach ist der maximale Fehler hierdurch gegeben?!:
also gut

korrekt?
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Das wäre okay, wenn man nur wüßte, dass gilt



Aber man weiß ja mehr, nämlich dass ist... Warum setzt du also für x diesen Wert nicht einfach ein? geschockt
n3rdfr34k Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mystic
Das wäre okay, wenn man nur wüßte, dass gilt



Aber man weiß ja mehr, nämlich dass ist... Warum setzt du also für x diesen Wert nicht einfach ein? geschockt


also gut dann ist der maximale Fehler einfach:




vielen Dank noch einmal!
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