Taylor-Reihe |
31.07.2012, 22:51 | n3rdfr34k | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Taylor-Reihe folgende Aufgabe: Berechnen Sie die Koeffizienten der Taylor-Reihe für die Funktion Laut unserem Prof müsste diese Aufgabe in maximal 10 Minuten machbar sein. Da Taylor-Reihen nicht gerade meine Stärke ist, habe ich damit große Probleme. Wie beginne ich bei einer solchen Aufgabe? Kann mir jemand einen verständlichen Lösungsweg zeigen? |
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31.07.2012, 23:09 | Helferlein | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wenn ihr die Taylorreihe schon behandelt habt, wirst Du wissen, dass Du die Ableitungen der Funktion an einer bestimmten Stelle kennen musst. Diese sind wegen ziemlich einfach zu berechnen. |
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01.08.2012, 00:23 | n3rdfr34k | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
also gut ich rechne also mal die ersten 4 Ableitungen aus: wie komme ich damit weiter? |
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01.08.2012, 00:26 | Helferlein | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wie oben schon gesagt: Überlege Dir, an welcher Stelle die Taylorreihe wohl angesetzt wird. |
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01.08.2012, 06:43 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nur als Einwurf gedacht: Falls du mit der Taylorreihe nicht zurechtkommst, kannst du hier auch die Binomische Reihe verwenden, was ohnehin die bessere Wahl ist... |
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01.08.2012, 09:40 | n3rdfr34k | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
so, ich probiere es nochmal in etwas ausgeschlafenerem Zustand: Die Allgemeine Formel für Taylorreihen lautet ja zumindest laut unserem Skript: Das bedetet für diese Aufgabe: Ist das eine valide Lösung für die Aufgabe oder bin ich vollkommen auf dem Holzweg? |
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01.08.2012, 09:45 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hm, bist du sicher, dass du ganz ausgeschlafen bist? Konstante Koeffizienten, wie hier die enthalten normalerweise kein x... Und ja -15/48 kann man noch kürzen... Aber sonst scheint es nach flüchtiger Überprüfung zu stimmen... Edit: Wobei vermutlich eine explizite Formel für die gefragt ist, also geht's noch weiter... |
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01.08.2012, 09:58 | n3rdfr34k | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
okay habe verstanden, ich korrigiere: da ich ja nur die Koeffizienten berechnen sollte glaube ich nicht, dass ich eine explizite Formel für angeben muss. |
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01.08.2012, 11:22 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ah, das hatte ich überlesen... Aber du könntest immerhin noch die zweite Methode mit ausprobieren, nur um den Unterschied zu sehen... P.S.: Ich hoffe du weisst, wie Profis sowas ausrechnen: Zuerst 1*2*...*k im Nenner anschreiben, dann im Zähler mit (-1/2) beginnend und jeweils 1 subtrahierend gleich viele Faktoren wie im Zähler anschreiben... Erst anschließend wird dann vereinfacht... |
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01.08.2012, 11:47 | n3rdfr34k | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
alles klar, danke! so aber es gibt natürlich noch einen Aufgaben-Teil b): Schätzen Sie den Fehler ab, der bei der Approximation der Funktion an der Stelle durch die Reihe mit den oben [also in Aufgabenteil a] bestimmten Koeffizienten entsteht. ich habe ja nun die Glieder an der Stelle gebildet, indem ich halt mit der 0 gerechnet habe. Allerdings ist imr die Formel für die Fehler-Abschätzung gerade nicht ganz klar, denn im Skript ist da zwar eine 4-seitige Herleitung für die Taylor-Reihen aber zur Fehler-Berechnung ist da nicht wirklich eine Formel drin. Könnte mir die jemand angeben? Und wie kann ich meine Ergebnisse aus Aufgabenteil a) dort verwenden, wenn ich nun an der Stelle das Ganze machen soll? |
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01.08.2012, 13:28 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Bei alternierenden Reihen, für welche die Beträge der Reihenglieder eine monoton abnehmende Nullfolge bilden (was aber hier leider nur für zutrifft!) kann der Absolutfehler bei einem Abbruch der Auswertung der Reihung durch den Absolutbetrag des ersten nicht berücksichtigen Gliedes nach oben abgeschätzt werden... Für x<0 wird die Sache wesentlich komplizierter, denn da muss man sich das Restglied der Taylorrreihe genauer ansehen und versuchen nach oben abzuschätzen... |
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01.08.2012, 23:19 | n3rdfr34k | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
okay ich versuche das mal zu verstehen: Ich kann den maximalen Fehler meiner Taylor-Reihe also abschätzen, indem ich das Glied angebe? Wozu steht dann da? |
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02.08.2012, 09:33 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hm, was genau verstehst du unter dem -Glied?... Falls wir beide das Gleiche meinen, kommt da ja auch ein x vor oder nicht? Und ja, dieses x liegt auch noch in [0,1], d.h., es liegt hier der einfache Fall vor, den ich oben erwähnt hatte... |
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02.08.2012, 15:44 | n3rdfr34k | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
also damnach ist der maximale Fehler hierdurch gegeben?!: also gut korrekt? |
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02.08.2012, 16:04 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das wäre okay, wenn man nur wüßte, dass gilt Aber man weiß ja mehr, nämlich dass ist... Warum setzt du also für x diesen Wert nicht einfach ein? |
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02.08.2012, 17:01 | n3rdfr34k | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
also gut dann ist der maximale Fehler einfach: vielen Dank noch einmal! |
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