Geradengleichungen mit Scharparameter

01.08.2012, 18:22

Nez57

Geradengleichungen mit Scharparameter

Meine Frage:
Hallo Leute,

hab ein kleines Problem. Es geht um folgende Aufgabe:

Gegeben sind die Geraden $\begin{eqnarray*} g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ -5 \end{pmatrix} + t * \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} h_{a}: \vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \\ -5 \end{pmatrix} + s * \begin{pmatrix} 1 \\ a \\ -2a \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
a) Berechnen Sie den Schnittpunkt der Geraden g und ha.
b) Untersuchen Sie die gegenseitige Lage der Geraden g und der Geraden ha.

Meine Ideen:
a)
Also ich habe mit meiner Rechnung für a = 1 raus für t = 7 und für s = 5
Meine 1. Frage ist: Heißt das, NUR wenn ich für a = 1 einsetzte, dann gibt es einen Schnittpunkt ansonsten NICHT?
b)
Hier hab ich erstmal überprüft, ob die Richtungsvektoren Vielfache voneinander sind:
$\begin{eqnarray*} k*\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ a \\-2a \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Gleichungssystem:
I. k = 1
II. k = a
III. k = -2*a
Also muss gelten a = 1
III. 1 = -2*1 <=> 1 = -2 Das ist ein Widerspruch.
Das heißt also es gibt keine Parallelität, egal was man für a einsetzt.
Aus Teilaufgabe a) und b) folgt also: Für a = |R liegen die Geraden windschief zueinander, außer wenn a = 1 gilt. Dann schneiden sich die Geraden.

Meine 2. Frage: Habe ich bei der Teilaufgabe b) alles richtig gerechnet und richtig verstanden?

Ich danke euch jetzt schonmal vielmals!!

Liebe Grüße,
Nez57

01.08.2012, 18:28

riwe

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RE: Geradengleichungen mit Scharparameter
ich würde zunächst a) noch einmal rechnen.
ich erhalte für S(5/4/-5) unabhängig von a verwirrt

02.08.2012, 00:43

Nez57

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Mir ist auch gerade aufgefallen, dass ich bei der a) vermutlich ein Fehler gemacht habe... unglücklich

Habe jetzt zig Wege versucht, aber komme jedesmal auf kein Ergebnis.
Das ist mein Lösungsweg:

Gleichsetzen der beiden Geradengleichungen führt zu folgendem Gleichungssystem:
I. 3+t = 5+s <=> -2 = s-t
II. 2+t = 4+s*a <=> -2 = s*a-t
III. -5 = -5+s*(-2*a) <=> 0 = s*a

Umformen von I. nach t:
-2 = s-t |-s
-2-s = -t |*(-1)
2+s = t

Einsetzen von t in II.:
-2 = s*a - (2+s)

Umformen nach s:
-2 = s*a - (2+s)
-2 = s*a - 2 - s |+s
-2+s = s * a -2 |+2
s = s*a

Ich komme jedesmal bishierhin und habe zunächst gedacht, ich kann durch s teilen, dann habe ich a = 1. Aber es kann ja sein, dass s=0 ist und man darf ja nicht durch null teilen... Weiß einer vielleicht wie ich hier weiterkomme? Ich habe viele verschiedene Wege ausprobiert, aber komme immer wieder auf diesen Schritt und weiß nicht mehr weiter....

02.08.2012, 07:28

Bjoern1982

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Dann untersuche doch mal beide Fälle, also für s=0 und s ungleich null.

Um sich das Ganze vielleicht noch etwas besser vorstellen zu könnnen, könnte man sich überlegen, dass alle Geraden der Schar ha durch einen gemeinsamen Punkt S verlaufen müssen und man könnte ja dann mal aus Spaß (oder Neugier) testen, ob dieser Punkt auch auf g liegt.
Zusammen mit der von dir bereits rausgefundenen Info, dass die Richtungsvektoren von g und ha nie Vielfache voneinander sein können, ergibt sich dann eigentlich direkt eine bestimmte Schlussfolgerung.

02.08.2012, 10:38

riwe

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schön pragmatisch ist auch schön Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} I)\quad{ }t=2+s \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} II)\quad{ }t=2+a\cdot s \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} III)\quad{ }0=-2a\cdot s \end{eqnarray*}$

da $\begin{eqnarray*} III \quad{ } \forall a\to s=0 \end{eqnarray*}$

bleibt als "fleißaufgabe" der fall $\begin{eqnarray*} a= 0 \end{eqnarray*}$ zu untersuchen

aus II folgt $\begin{eqnarray*} t = 2 \end{eqnarray*}$ und damit aus I $\begin{eqnarray*} s = 0 \end{eqnarray*}$

02.08.2012, 14:50

Nez57

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Also ich hab jetzt auch mal eine Fallunterscheidung gemacht und komme auf folgendes Problem:

Für $\begin{eqnarray*} s\neq 0 \end{eqnarray*}$ :
s = s*a |: s
a = 1

Für $\begin{eqnarray*} s = 0 \end{eqnarray*}$ :
0 = 0*a
a = |R

Wenn $\begin{eqnarray*} s = 0 \end{eqnarray*}$ ist, dann ist der Schnittpunkt immer S (5|4|-5). Wenn $\begin{eqnarray*} s\neq 0 \end{eqnarray*}$ ist, dann gibt es alle Möglichen Schnittpunkte?!

Aber dann habe ich mir gedacht, dass s ja nur die Länge der Gerade angibt und s sozusagen, eigentlich unendlich ist. Das heißt ich muss eigentlich, nur den Fall untersuchen wenn a = 1 ist. Wenn a = |R spielt das keine Rolle, weil dann s = 0 ist. Der Schnittpunkt ist also immer S (5|4|-5). Wenn wir jetzt aber annehmen, dass a = 1 ist, dann kommt als Schnittpunkt auch S (5|4|-5) raus.

Ist das die richtige Lösung?

Ich glaube hierbei ist es wichtig immer im Hinterkopf zu behalten, dass s und t, also die Variabeln vor den Vektoren, nur die Länge der Gerade angeben und eigentlich unendlich sein können, oder?

07.08.2012, 17:17

mYthos

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Zitat:

Original von Nez57
...
Wenn $\begin{eqnarray*} s = 0 \end{eqnarray*}$ ist, dann ist der Schnittpunkt immer S (5|4|-5). Wenn $\begin{eqnarray*} s\neq 0 \end{eqnarray*}$ ist, dann gibt es alle Möglichen Schnittpunkte?!
...

Das stimmt nicht. In jedem Fall gibt es nur einen Schnittpunkt S, wie du ja in der Folge auch selbst festgestellt hast.
Bei der Fallunterscheidung folge besser der Argumentation von werner, die ist klipp und klar, während deine in des Teufels Küche führen kann .. Big Laugh

Und: Geraden haben keine bestimmte Länge, sie sind immer unendlich lang. Durch die Parameter s, t werden lediglich Streckenabschnitte auf den Geraden erzeugt.

mY+

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