Poisson- und Exponentialverteilung

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WSPrint2 Auf diesen Beitrag antworten »
Poisson- und Exponentialverteilung
Meine Frage:
Guten Morgen.
Ich stehe vor folgenden 2 Aufgaben und habe leider kaum Ideen. Bisher haben wir vornehmlich Normal- und Standardnormalverteilung gehandhabt.

Fangen wir mal mit der Poissonverteilung an:

Ein Händler mit 20 Mitarbeitern.
Jeder Mitarbeiter verkauft durchschnittlich 5 Artikel pro Woche.
Wir betrachten 4 Wochen.


Die Exponentialverteilung:

Zufallsvariable X, wobei:
-
-sowie Xi ~ Exp (2)
-und: i=1,...,n



Meine Ideen:
Bei der Poissonverteilung ist E(X) = V(X) = 400 (da 5*20*4=400).
Soweit bin ich...
Zu Berechnen hier:

W(X>450).

Nun, die Funktion lautet ja:



Leider gibt meine Formelsammlung keine Tabelle her, die bis 400 bzw. 450 geht.

Was ich weiss:

W(X>450) = 1-W(X<=450) = 1-F(450), wenn man das so sagen kann?

Die Frage ist nur, wie gelange ich an diesen Wert?

-----

Bei der Exponentialverteilung lautet die Frage:

W(2<= X <= 8) = _____
Angabe: n=10.

Hier weiss ich, dass die Funktion so aussieht:



(Weil Lambda = 2).

Es handelt sich also um eine Folge (??) von 10 Zufallsvariablen, die jeweils X ~ Exp(2) verteilt sind.
Ich glaube es geht in die richtung Grenzwertsätze oder Tschebyscheff?

Wer kann mir mit einem Tipp aufzeigen, wie ich solche Fragen lösen kann bzw. herangehe?

Danke und Gruß
WSprint
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Poisson- und Exponentialverteilung
Hallo, könntest du bitte für jede Aufgabe ein separates Thema starten und die komplette Aufgabenstellung, so wie sie ist, posten?
Ich finde den Beitrag hier sehr unübersichtlich unglücklich
WSPrint2 Auf diesen Beitrag antworten »
Poissonverteilung
Na gut, dann gehen wir erstmal der Poissonverteilung nach:

Wir haben eine Poissonverteilung mit Lambda = 400

Gesucht ist: W(X>450).

Die Funktion müsste meiner Meinung nach lauten:




Wie kann ich W(X>450) errechnen, was ja das gleiche wäre wie 1-(W<=450)

Die Tabelle meiner Formelsammlung gibt natürlich keine Werte für Lambda=400 und i = 450 her.

Höchstens im Bereich 4, aber dort natürlich nur ganze Zahlen.

Eine Möglichkeit wäre sicherlich W(X=0), W(X=1), W(X=2), ..., W(X=450) einzeln zu berechnen, zu addieren, und von 1 abzuziehen. Dauert ewig.

Was gibt es da für einen Trick?

Danke vorab!
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Poissonverteilung
Es wäre hier sinnvol, eine Approximation durch die Normalverteilung zu berechnen
WSPrint2 Auf diesen Beitrag antworten »
Poissonverteilung
Das hört sich wirklich gut an, denn ist dies einmal geschafft, ist der Rest ein Kinderspiel.
Aber wie approximiere ich eine Poissonvert. in eine N-Verteilung?
Mir ist nur bekannt, dass man Binomial und t-Verteilung direkt in die Normalverteilung bringen kann. Wie geht das mit der Poissonverteilung?

Ich weiss, dass man eine B(n,p) Verteilung in eine P(np) Verteilung bringen kann, geht das auch andersrum? Und dann ggf. wieder die B in N approximieren? verwirrt
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Poissonverteilung
Nein, du kannst due Poisson-Verteilung genau wie jede andere Verteilung auch in eine Normalverteilung transformieren. Dazu nimmst du den Erwartungswert und die Varianz und generierst daraus die Parameter der Normalverteilung.
 
 
WSPrint2 Auf diesen Beitrag antworten »
Poissonverteilung
Hallo,
danke dir.

Das heisst also, wenn ich eine X~P(400) - Verteilung habe,
ähnelt dies einer X~N(400,20) Verteilung?

Damit habe ich bspw. folgendes Ergebnis zu der o.a. Aufgabe raus:

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Mitarbeiter mehr als 450 Artikel verkaufen.

W(X>450) was das gleiche ist wie 1-W(X <= 450) was das gleiche ist wie F(450):



Dieses ziehe ich von 1 ab und erhalte 0,0062, was richtig ist.

Danke schonmal.

Habe hier aber noch eine Aufgabe wo es nicht weitergeht, bzw. ich ein komplett falsches Ergebnis erhalte:

(Schreibe ich gleich)
WSPrint2 Auf diesen Beitrag antworten »
Exp-Vert.
Danke nochmal. Zwei Fragen habe ich wie gesagt noch:

Gibt es analog auch einen Übergang von der Exponential- in die Normalverteilung?

Wie gehe ich diese Aufgabe an:

Zufallsvariable:

wobei die einzelnen Zufallsvariablen wie folgt verteilt sind:



und i = 1,.........,n

Eine Frage lautet bspw: Wie hoch ist:

W(2 <= X <= 4) im Falle von n = 100

Auch hier habe ich keine Ahnung, wie ich das angehe. Irgendwas mit Tschebyscheff oder Grenzwertsätze vllt?

Ich bitte nochmals im Hilfe : )
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Poissonverteilung
Zitat:
Original von WSPrint2


Dieses ziehe ich von 1 ab und erhalte 0,0062, was richtig ist.

Danke schonmal.
Soweit korrekt.
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Exp-Vert.
Zitat:
Original von WSPrint2
Danke nochmal. Zwei Fragen habe ich wie gesagt noch:

Gibt es analog auch einen Übergang von der Exponential- in die Normalverteilung?
Im Prinzip kannst du jede Vetrteilung durch Erwartungswert und Varianz in eine Normalverteilung überführen, wobei die Ergebnisse nicht immer korrekt genug sind.


Bei der zweiten Aufgabe muss man wissen, dass die Summe von Exponentialverteilten Exponentialverteilungen mit gleichem Parameter Gammaverteilt ist.
WSPrint2 Auf diesen Beitrag antworten »
Exp
Hey,
weitere Infos legen zu der Aufgabe definitiv nicht vor.

Wie sähe die Approximation der Exponentialverteilung in die Normalverteilung konkret aus?

Danke
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Exp
Zitat:
Original von WSPrint2

Wie sähe die Approximation der Exponentialverteilung in die Normalverteilung konkret aus?
Die Information zur Gammaverteilung ist ein allgemeiner Hinweis. Das muss nicht explizit angegeben werden.
WSPrint2 Auf diesen Beitrag antworten »
Exp-Vert.
Aaachso.
Hm.

Wie sähe denn ein Ansatz zum Lösungsweg aus? Wink
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Exp-Vert.
Der Ansatz ist, wie bereits mehrfach gesagt, eben die Gammaverteilung, dazu findet man auch genügend Informationen.
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