Irreduzibilität eines Polynoms nachweisen

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alcardaalanda Auf diesen Beitrag antworten »
Irreduzibilität eines Polynoms nachweisen
Hallo zusammen.

Ich lerne gerade für meine Klausur in der Vorlesung Körper, Ringe, Moduln und da haben wir viel Galoistheorie gemacht.

Jetzt hänge ich hier bei einer Aufgabe fest, die ich prinzipiell bis auf einen kleinen Schritt denke ich vollständig gelöst habe.

Bestimmen Sie die Galoisgruppe und den Zerfällungskörper des Polynoms , die Untergruppen und korrespondierenden Fixkörper.

Meine Ideen:

In der Vorlesung hatten wir folgendes Korollar:
Sei irreduzibel.
Dann ist die Galoisgruppe genau dann, wenn ein Quadrat in ist.

Ich muss also die Irreduzibilität von f nachweisen.
Das Eisensteinkriterium greift hier leider nicht. Ich habe mein Glück dann einfach mit dieser Galoisgruppe versucht und es hat auch wunderbar geklappt. Es ist klar, dass das Polynom nicht in Linearfaktoren zerfällt, da es keine Nullstellen in Q hat. Aber wie kann ich zeigen, dass es nicht in zwei Faktoren vom Grad 2 zerfällt?

Hat jemand von euch vielleicht einen Tipp? Vielen Dank schonmal.

Gruß
alcardaalanda
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Ganz einfach, du rechnest die 4 komplexen Nullstellen aus, also ist das Polynom ein Produkt aus 4 Linearfaktoren.
alcardaalanda Auf diesen Beitrag antworten »

Tut mir Leid, aber irgendwie werde ich aus dem Argument nicht schlau.

Wie gesagt, dass f in nicht in Linearfaktoren zerfällt, ist klar.

Die Nullstellen sind:


Nun ist

Wie bekomme ich garantiert, dass ich das Polynom nicht in zwei Faktoren vom Grad 2 aufspalten kann , von denen dann einer z.B. ist?
Ich habe bestimmt einen Denkfehler, aber nach mehreren Stunden büffeln fällt der mir leider nicht mehr auf.^^
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Da Elvis gerade offline ist: Ich denke was er sagen wollte: Schreib dir das Polynom als das Produkt der 4 Linearfaktoren, und multipliziere jeweils 2 zusammen. Du bekommst dann 2 quadratische Faktoren. Wenn die Koeffizienten in Q liegen, hast du Reduzibilität, und sonst eben nicht.
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist übrigens , also sind die Nullstellen:

So sieht man doch leichter, dass jegliche quadratische Faktoren nicht in Q liegen.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Von den 4 Nullstellen sind je zwei komplex konjugiert, das jeweilige Produkt ist also reell-quadratisch.
 
 
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Kurzerhand auch so:
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000
Kurzerhand auch so:


Die Faktorisierung ist nicht eindeutig - gibt es einen Grund, warum eine nicht-rationale Zerlegung schon impliziert, dass es keine geben kann?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab mich nur auf Elvis' letzten Beitrag bezogen, nicht auf die vollständige Lösung der Aufgabe. Augenzwinkern
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von IfindU
Die Faktorisierung ist nicht eindeutig - gibt es einen Grund, warum eine nicht-rationale Zerlegung schon impliziert, dass es keine geben kann?

Es handelt sich hier nicht einfach um irgendeine Zerlegung, sondern um eine Zerlegung in irreduzible Polynome in ...Die Faktoren jeder nichttrivialen Zerlegung in müssten sich daher aus diesen beiden irreduziblen Faktoren multiplikativ aufbauen lassen, was aber hier offensichlich nicht möglich ist...
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mystic
Zitat:
Original von IfindU
Die Faktorisierung ist nicht eindeutig - gibt es einen Grund, warum eine nicht-rationale Zerlegung schon impliziert, dass es keine geben kann?

Es handelt sich hier nicht einfach um irgendeine Zerlegung, sondern um eine Zerlegung in irreduzible Polynome in ...Die Faktoren jeder nichttrivialen Zerlegung in müssten sich daher aus diesen beiden irreduziblen Faktoren multiplikativ aufbauen lassen, was aber hier offensichlich nicht möglich ist...


Ah, natürlich, danke Freude
alcardaalanda Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für die hilfreichen Tipps und Erklärungen. Hat mir sehr geholfen! Freude
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