Was sind Lie-Algebren?

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mango_monkey Auf diesen Beitrag antworten »
Was sind Lie-Algebren?
Hallo,
da das Internet bei solchen (Anfänger-)Fragen wie leergeräumt ist, wollte ich mal hier nachfragen.
Was ich nicht verstehe, ist, wie das denn ungefähr funktioniert und wie man sie einsetzt. "The Road To Reality" (Roger Penrose) bleibt da nämlich ziemlich abstrakt, genau wie alle anderen Quellen, weshalb es mir schwer fällt, die Sache zu begreifen.
Weiß hier jemand Rat?
Grüße
mango_monkey
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Was sind Lie-Algebren?
Hast du denn mal de Definition nachgeschlagen? Definitionen nachschlagen Und wenn ja, was genau ist dir daran unklar?

Du musst schon etwas präziser fragen
mango_monkey Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, auf vielen Seiten, z.B. Wikipedia. Die ist aber mal wieder furchtbar kompliziert (etwas weiter unten) und leider nicht für Anfänger geeignet. Ein wenig besser sind die englischen Seiten, aber mir fehlt eine, wo es auf den Punkt gebracht wird.
In "The Road To Reality" ist es immer noch am besten erklärt, aber da ich es nicht ganz verstanden habe, dachte ich, dass mich mal ans Forum richte.
Das Problem ist, dass ich im Kapitel über Lie-Algebren bisher fast nichts verstanden habe und deshalb auch nicht so genau weiß, wo das Verständnisproblem liegt.
Eine der vielen Unklarheiten ist zum Beispiel:
Wie und wofür benutzt man die Lie-Klammer? oder was ist der Sinn des "Kommutators" und wie funktioniert er?
Es geht mir also eher um die Grundlagen.
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »

Nun, die Lie-Klammer ist ja nun einfach nur eine Verknüpfung auf dem Vektorraum, mehr nicht.

Zumindest steht oben eine Definition, ist das soweit klar?
mango_monkey Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, eigentlich nicht.
Im Buch wurde Beschrieben, dass es bei der Lie-Algebra um die Struktur von Gruppen in der Umgebung geht.
Zum Beispiel:
soll eine Matrix sein, die ein a aus einer stetigen Gruppe G "repräsentiert", genauso mit B und b. (I ist die Identität.)
ist eine unendlich kleine (infinitesimale) Zahl.
Dann ließe sich anscheinend so das Produkt ab berechnen:



Hier verschwindet , da es "zu klein ist, um zu zählen".

Aber wie man zum Beispiel A durch eine Matrix "repräsentieren" kann, wird, wie ich das verstanden habe, nicht erklärt. So geht es gerade die ganze Zeit. Ich glaube, dass ich irgendetwas komplett falsch verstehe.

Meinst du mit "Verknüpfung", dass es aus zwei A und B einen Wert erzeugt? Mir ist aber immer noch nicht klar, was das mit a und b zu tun haben soll.
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich meine die Definuition aus dem Wikipedia Artikel:


Woher stammt dein Beispiel? Ich sehe den Zusammenhang auch nicht, falls sich also jemand besser damit auskennt..
 
 
mango_monkey Auf diesen Beitrag antworten »

Mein Beispiel stammt aus "The Road To Reality" von Roger Penrose.
Er erklärt ungefähr, dass Lie-Algebren benutzt werden können, um die (lokale) Struktur von stetigen Gruppen (wie SO(n)) zu untersuchen.
Die oben genannten a und b sind Elemente dieser Gruppe.

Ähnlich leitete Roger Penrose auch die Lie-Klammer her:

Das ist der Kommutator (den ich auch nicht verstanden habe), der jetzt durch die "repräsentativen" Matritzen von oben ersetzt wird:



Aber wie gesagt, verstanden habe ich das nicht.
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