Partielle Integration

04.08.2012, 12:15

Redwood

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Partielle Integration

hallo,
bin gerade Arbeiten und lerne dabei Mathe. Leiderbmuss ich deshalb vom Handy schreiben.
Die Aufgabe.ist folgenden S fur integral.
S sin(2x)*sinh(3x) dx
u=sin(2x) u'=(-cos(2x))/2
v= ??? v'=sinh(3x)
ich weiss nicht wie ich sinh(3x) integrieren soll. Ist die ableitung von sin(2x) richtig ?

gruß kai

04.08.2012, 12:44

Redwood

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edit geht leider nicht mehr. sehe gerade das ich sin(2x) integriert habe statt abzuleiten. richt wäre u'=cos(2x)*2

04.08.2012, 14:38

redwood.

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Ich sitze seid 12 uhr an der Aufgabe. Kann mir den keiner das Integral von sinh(3x) sagen ? Oder wie man das aufleitet ?

04.08.2012, 14:42

Che Netzer

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Hallo,

zunächst einmal meckere ich natürlich an dem "aufleiten" herum: Das heißt "integrieren" Augenzwinkern

Augenzwinkern

Dann: Kennst du denn vielleicht die Ableitung von $\begin{eqnarray*} \sinh(3x) \end{eqnarray*}$ ?

mfg,
Ché Netzer

04.08.2012, 14:43

Gast11022013

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Du solltest das per Substitution lösen!

Substituiere $\begin{eqnarray*} u=3x \end{eqnarray*}$ .

Edit: Du musst halt dann in Erfahrung bringen, was die Stammfunktion von $\begin{eqnarray*} \sinh(u) \end{eqnarray*}$ ist.

04.08.2012, 14:45

Mulder

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Das soll jetzt keine Kritik sein, sondern eher ein Tipp:

Wenn du einfach nur wissen willst, was eine Stammfunktion vom Sinus Hyperbolikus ist, hättest du das auch einfach kurz googeln können, das hätte dir in 20 Sekunden die Antwort geliefert.

Nunja, eine Stammfunktion vom Sinus Hyperbolikus ist der Cosinus Hyperbolikus, kurz cosh.

Denk aber dran, dass du hier eine verkettete Funktion hast. Bei sin(2x) hast du das richtig gemacht, dann sollte das bei sinh(3x) ja genau so klappen.

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04.08.2012, 14:51

redwood.

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hallo.
danke euch Augenzwinkern

Augenzwinkern

also muss ich sinh(3x) integrieren aber die substituierte 3x ableiten ?

04.08.2012, 14:55

Gast11022013

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Integrieren per Substitution lautet das Stichwort.

Das ist gut bei Wikipedia erklärt.

Setze $\begin{eqnarray*} u=3x \end{eqnarray*}$ . Dann gilt $\begin{eqnarray*} dx=\frac{1}{3} du \end{eqnarray*}$ .

Also $\begin{eqnarray*} \int \sinh(3x)\, dx=\frac{1}{3}\int\sinh(u)du=... \end{eqnarray*}$

04.08.2012, 14:55

Che Netzer

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Ohne Zusammenhang ist nicht ganz klar, ob du das richtige meinst. D.h. was machst du dann mit dem Integral/der Ableitung?
Wie sähe denn jetzt deine partielle Integration aus?

Ansonsten kannst du wie gesagt auch $\begin{eqnarray*} \sinh(3x) \end{eqnarray*}$ ableiten, wenn dir das leichter fällt. Den anderen Faktor hast du im ersten Beitrag ja schon korrekt integriert, das sollte dann also kein Problem sein.

04.08.2012, 15:01

Redwood

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habe es jetzt so gemacht
u(x)=3x u'(x)=3
F=cosh(u) F'(u)=sinh(u)
3*cosh(3x) wäre dann da integral.

eingestzt dann so
S 3cosh(3x)*sin(2x)dx = sin(2x)*3cosh(3x) - S 2cos(2x)*3cosh(2x)dx

gruß kai

04.08.2012, 15:07

Gast11022013

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Zitat:

Original von Redwood
habe es jetzt so gemacht
u(x)=3x u'(x)=3
F=cosh(u) F'(u)=sinh(u)

Bis hierhin stimmt's.

Den Rest verstehe ich nicht.

Du musst doch nun, wie ich es bereits getan habe, noch $\begin{eqnarray*} dx \end{eqnarray*}$ ersetzen.

Und dann einfach substituieren und den Faktor vors Integral ziehen; da Du nun weißt, daß die Stammfunktion $\begin{eqnarray*} \cosh(u) \end{eqnarray*}$ ist, musst Du es doch dann bloß noch re-substituieren und fertig.

04.08.2012, 15:10

Redwood

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ach ja habe das du/dx vergessen. ja danke für deine / eure hilfe. habe heute kein bock mehr auf den scheiß smile

smile

melde mich morgen früh dann kann ich auch von nem richtigen pc schreiben.

04.08.2012, 15:12

Gast11022013

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Na, na. Was ist denn das für ein Ton. Big Laugh

Big Laugh

Okay, schau' es Dir einfach nochmal an, wie man via Substitution integriert.

Im Grunde habe ich es da ja schon hingeschrieben.

04.08.2012, 15:30

Redwood

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ach was habe ich da mit F(u) gemacht so wie du es gemacht hast ist es natürlich richtig. ist es richtig das -1/3 cosh(3x) rauskommt ?

04.08.2012, 15:45

Redwood

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nein ist es natürlich nicht. Ich habe gerade gedacht das es wie beim gemeinen sinus ist, also sin,cos,-sin,-cos aber das ist ja anders.
so jetzt kommt das bei mir raus.
S sinh(3x)*sin(2x) dx = sin(2x)*1/3cosh(3x) - S 2cos(2x)*sin(2x) dx

04.08.2012, 20:27

Gast11022013

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Zitat:

Original von Redwood
ach was habe ich da mit F(u) gemacht so wie du es gemacht hast ist es natürlich richtig. ist es richtig das -1/3 cosh(3x) rauskommt ?

Nein, aber ohne das Minus ist es richtig.

Obwohl das nicht ganz richtig ist, da Du noch eine Konstante c hinzuaddieren musst.

05.08.2012, 09:46

Redwood

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Hallo Dennis2010

Wie versprochen melde ich mich wieder Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ich habe die Gleichung mal im Formeleditor zusammen gefasst.
$\begin{eqnarray*} \int_a^b \! sinh(3x)*sin(2x) \, dx = sin(2x)*\frac{1}{3} cosh(3x) - \int_a^b \! 2cos(2x)*sin(2x) \, dx \end{eqnarray*}$
In der Lösung steht man soll 2 mal Partielle Int. machen. Beim ersten mal u1(x)=sin(2x) v1'(x)=sinh(3x)
und beim zweiten mal u2(x)=cos(2x) v2'(x)=cosh(3x)
Wie mache ich jetzt weiter ... ?

Gruß Kai

05.08.2012, 11:50

fleurita

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ich misch auch mal mit smile

smile

am besten lässt du die grenzen a, b weg, dann ist es übersichtlicher. Dein 2. integral auf der rechten seite stimmt nicht. Bei der ableitung eine produkts gilt für 2 funktionen f und g: $\begin{eqnarray*} (fg)'=f'g+fg' \end{eqnarray*}$ .

Die idee beim partielle integrieren ist das diesen term zu integrieren und nach dem integral umzustellen, das man integrieren will: $\begin{eqnarray*} \underbrace{\int \!(fg)'}_{=fg}=\int \!f'g+\int \!fg' \end{eqnarray*}$

du hast so angefangen: $\begin{eqnarray*} \int \! \underbrace{\sin{(2x)}}_{=u_1(x)}\ \underbrace{\sinh{(3x)}}_{=v_1'(x)} \, \mathrm dx \end{eqnarray*}$ . Damit stellt sich die gleichung von oben so um:

$\begin{eqnarray*} fg=\int \!f'g+\int \!fg'\ \iff\ \int \!fg' = fg-\int \!f'g \end{eqnarray*}$

Damit sieht deine 1. part. integration so aus: $\begin{eqnarray*} \int \! \underbrace{\sinh{(3x)}}_{=u_1(x)}\ \underbrace{\sin{(2x)}}_{=v_1'(x)} \, \mathrm dx = \frac{1}{3}\sin{(2x)}\ \cosh{(3x)} -\frac{2}{3}\int \! \cos{(2x)}\ \cosh{(3x)} \end{eqnarray*}$

ok? smile

smile

05.08.2012, 11:51

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast da einen Fehler eingebaut im Integranden.

Der Integrand muss lauten (wenn Du die Faktoren vor das Integral gezogen hast):

$\begin{eqnarray*} \cosh(3x)\cdot \cos(2x) \end{eqnarray*}$

Ansonsten würde ja auch die zweite vorgeschlagene partielle Integration, die die Lösung vorschlägt, nicht anwendbar sein.

Ausführlicher:

Zu berechnen ist:

$\begin{eqnarray*} \int\limits_{a}^{b}\sinh(3x)\cdot\sin(2x)\, dx \end{eqnarray*}$

Setze $\begin{eqnarray*} u_1(x)=\sin(2x) \end{eqnarray*}$ , dann folgt $\begin{eqnarray*} u_1'(x)=2\cos(2x) \end{eqnarray*}$

(Diese Ableitung ergibt sich via Kettenregel.)

sowie

$\begin{eqnarray*} v_1'(x)=\sinh(3x) \end{eqnarray*}$ , dann folgt (wie besprochen) $\begin{eqnarray*} v_1(x)=\frac{\cosh(3x)}{3} \end{eqnarray*}$ .

Damit erhält man vorläufig gemäß partieller Integration

$\begin{eqnarray*} \int\limits_{a}^{b}\sinh(3x)\cdot\sin(2x)\, dx=\left[\sin(2x)\cdot\frac{\cosh(3x)}{3}\right]_{a}^{b}-\frac{2}{3}\underbrace{\int\limits_{a}^{b}\cosh(3x)\cdot\cos(2x)\, dx}_{(*)} \end{eqnarray*}$ .

Nun musst Du das hier vorkommende Integral (*) erneut per partieller Integration berechnen. Setze dazu, wie von Dir selbst vorgeschlagen:

$\begin{eqnarray*} u_2(x)=\cos(2x) \end{eqnarray*}$ und bestimme $\begin{eqnarray*} u_2'(x) \end{eqnarray*}$ .

Setze weiterhin:

$\begin{eqnarray*} v_2'(x)=\cosh(3x) \end{eqnarray*}$ und bestimme $\begin{eqnarray*} v_2(x) \end{eqnarray*}$ .

Benutze wieder die oben verlinkte "Formel" der partiellen Integration.

Nun fasse die Resultate aus der ersten und zweiten partiellen Integration zusammen.

Edit:

@fleurita

Okay, da warst Du schneller. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Aber doppelt hält besser.

05.08.2012, 12:46

Redwood

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke fleurita und Dennis für die ausführliche Erklärung.
@fleurita wie lässt man die Grenzen weg ?

Ich habe noch mal alles zusammen getippt.

$\begin{eqnarray*} \int_.^. \! sin(2x)*sinh(3x) \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <br /> u1=sin(2x) u1'=2cos(2x) <br /> v1=\frac{1}{3}cosh(3x) v1'=sinh(3x) \end{eqnarray*}$

edit: ich weiss nicht wie man erzwungende Leerzeichen macht.

N.R. für v1
$\begin{eqnarray*} \int_.^. \! sinh(3x) \, dx <br /> <br /> u=3x<br /> <br /> u'=\frac{du}{dx}=3 <br /> <br /> dx=\frac{du}{3} <br /> <br /> \frac{1}{3} cosh(3x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_a^b \! sinh(3x)*sin(2x) \, dx = sin(2x)*\frac{1}{3} cosh(3x) - \int_a^b \! 2cos(2x)*\frac{1}{3}cosh(3x) \, dx \end{eqnarray*}$

u2= $\begin{eqnarray*} cos(2x \end{eqnarray*}$ ) u2'= $\begin{eqnarray*} -2sin(2x) \end{eqnarray*}$
v2= $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} sinh(3x) \end{eqnarray*}$ v2'= $\begin{eqnarray*} cosh(3x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_a^b \! cosh(3x)*cos(2x) \, dx = cos(2x)*1/3sinh(3x) + \int_a^b \! 2sin(2x)*1/3sinh(3x) \, dx \end{eqnarray*}$

@Dennis
Ja da hast du recht, die Frage bezog sich auf den Editor, wenn ich \int_a^b \! f(x) \, dx a und b lösche kommt ein Fehler. smile

smile

05.08.2012, 12:51

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, und wie rechnest Du jetzt weiter? Augenzwinkern

Augenzwinkern

Du kannst die Grenzen natürlich nicht einfach weglassen, denn dann hast Du ja plötzlich ein unbestimmtes Integral.

fleurita meinte es nur der Übersichtlichkeit halber. Um das Prinzip der partiellen Integration zu verstehen, sind die Grenzen erstmal nicht wichtig.

05.08.2012, 13:02

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Redwood
Danke fleurita und Dennis für die ausführliche Erklärung.
@fleurita wie lässt man die Grenzen weg ?

Ich habe noch mal alles zusammen getippt.

$\begin{eqnarray*} \int_.^. \! sin(2x)*sinh(3x) \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <br /> u1=sin(2x) u1'=2cos(2x) <br /> v1=\frac{1}{3}cosh(3x) v1'=sinh(3x) \end{eqnarray*}$

edit: ich weiss nicht wie man erzwungende Leerzeichen macht.

N.R. für v1
$\begin{eqnarray*} \int_.^. \! sinh(3x) \, dx <br /> <br /> u=3x<br /> <br /> u'=\frac{du}{dx}=3 <br /> <br /> dx=\frac{du}{3} <br /> <br /> \frac{1}{3} cosh(3x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_a^b \! sinh(3x)*sin(2x) \, dx = sin(2x)*\frac{1}{3} cosh(3x) - \int_a^b \! 2cos(2x)*\frac{1}{3}cosh(3x) \, dx \end{eqnarray*}$

u2= $\begin{eqnarray*} cos(2x \end{eqnarray*}$ ) u2'= $\begin{eqnarray*} -2sin(2x) \end{eqnarray*}$
v2= $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} sinh(3x) \end{eqnarray*}$ v2'= $\begin{eqnarray*} cosh(3x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_a^b \! cosh(3x)*cos(2x) \, dx = cos(2x)*1/3sinh(3x) + \int_a^b \! 2sin(2x)*1/3sinh(3x) \, dx \end{eqnarray*}$

Ja, das stimmt bis hierhin fast.

Du solltest noch am Ende den Faktor $\begin{eqnarray*} \frac{2}{3} \end{eqnarray*}$ vors Integral ziehen. Und es muss

$\begin{eqnarray*} \left[\cos(2x)\cdot\frac{1}{3}\sinh(3x)\right]_a^b \end{eqnarray*}$

lauten.

Zitat:

Original von Redwood
Ja da hast du recht, die Frage bezog sich auf den Editor, wenn ich \int_a^b \! f(x) \, dx a und b lösche kommt ein Fehler. smile

smile

Du musst einfach nur

code:
1:	[l]\int f(x)\, dx[/l]

eingeben, wenn Du keine Integrationsgrenzen haben möchtest.

05.08.2012, 13:06

Redwood

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Ah gut zu Wissen mit den unbestimmten Intergral ! Augenzwinkern

Augenzwinkern

Mh ok also

$\begin{eqnarray*} \int \! cosh(3x)*cos(2x) \, dx = \frac{1}{3}cos(2x)* sinh(3x) + \frac{2}{3} \int \! sin(2x)*sinh(3x) \, dx \end{eqnarray*}$

und jetzt gehts noch weiter oder ?
Irgendwie sieht das noch genau so komplieziert aus wie vorher ...

05.08.2012, 13:20

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt setzt Du dieses Resultat für (*) ein.

Dann hast Du:

$\begin{eqnarray*} \underbrace{\int\limits_{a}^{b}\sinh(3x)\cdot\sin(2x)\, dx}_{=:A}=\underbrace{\left[\sin(2x)\cdot\frac{\cosh(3x)}{3}\right]_{a}^{b}}_{=\frac{\sin(2b)\cosh(3b)}{3}-\frac{\sin(2a)\cosh(3a)}{3}}-\frac{2}{3}\left(\underbrace{\left[\cos(2x)\cdot\frac{\sinh(3x)}{3}\right]_{a}^{b}}_{=\frac{\cos(2b)\sinh(3b)}{3}-\frac{\cos(2a)\sinh(3a)}{3}}+\frac{2}{3}\underbrace{\int\limits_{a}^{b}\sinh(3x)\cdot\sin(2x)\, dx}_{=A}\right) \end{eqnarray*}$

Wenn Du das jetzt nach $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ auflöst, hast Du es.

-----

Noch ein paar Tipps für die Schreibweise in $\begin{eqnarray*} \text{LaTeX} \end{eqnarray*}$ :

Den Multiplikationspunkt machst Du mit

code:
1:	\cdot

und für Funktionen wie Sinus oder Sinus hyperbolicus schreibt man

code:
1:	\sin, \sinh

.

Dann wird das nicht so kursiv dargestellt, sondern schöner und gerade.

05.08.2012, 14:33

Redwood

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok Danke für die Tipps !

Wieviel Teilpunkte kriegt man wohl wenn man das bis zu dem Schritt kann, 70% ?
Ich habe das mal versucht ...

$\begin{eqnarray*} \int \! \sin(2x\cdot\sinh(3x)) \, dx =\frac{1}{3} \sin(2x)\cdot\cosh(3x)-\frac{2}{9} \cos(2x)\cdot\sinh(3x)-\frac{4}{9}\int \! \sinh(3x)\cdot\sin(2x) \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{13}{9} \int \! \sin(2x)\cdot\sinh(3x)) \, dx =\frac{1}{3} \sin(2x)\cdot\cosh(3x)-\frac{2}{9} \cos(2x)\cdot\sinh(3x) + C \end{eqnarray*}$

05.08.2012, 14:54

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Schwer zu sagen, bis zu welchem Schritt der Lösung man welche Punkte bekäme.
Ich denke, die Hauptarbeit liegt aber schon in den beiden partiellen Integrationen und daher dürfte Deine Einschätzung ganz realistisch sein, vielleicht ist sie sogar untertrieben.

Zitat:

Original von Redwood

$\begin{eqnarray*} \frac{13}{9} \int \! \sin(2x)\cdot\sinh(3x)) \, dx =\frac{1}{3} \sin(2x)\cdot\cosh(3x)-\frac{2}{9} \cos(2x)\cdot\sinh(3x) + C \end{eqnarray*}$

Ja, wenn Du jetzt noch beide Gleichungsseiten durch $\begin{eqnarray*} \frac{13}{9} \end{eqnarray*}$ teilst, hast Du also schlussendlich:

$\begin{eqnarray*} \int \sin(2x)\cdot\sinh(3x)\, dx=\frac{1}{13}\left(3\sin(2x)\cosh(3x)-2\cos(2x)\sinh(3x)\right)+\tilde{C} \end{eqnarray*}$

05.08.2012, 16:07

Redwood

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Jo
Danke dir ! Ohne euch und besonders dich hätte ich die Aufgabe nie gelöst !

Ja teilen musste ich nich. War doch nicht so schwer, das umzustellen

Gruß Kai

Die nächste Aufgabe dazu habe ich sogar alleine geschafft Augenzwinkern

Augenzwinkern

!

05.08.2012, 19:10

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Bitte, gerne.

Wink

Wink

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