Optimierungsprobleme |
| 04.08.2012, 20:17 | Helly | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Optimierungsprobleme Hallo ihr Lieben, ich habe mal wieder ein Problem und diesmal leider auch keinen Ansatz. Ich habe das alles schon einmal gerechnet, aber das ist schon ewig her und ich weiß leider gar nicht mehr wie das funktioniert. Von allen natürlichen Zahlen dessen Summe 70 beträgt, finde die zwei, die den Maximalwert (Maximalprodukt) haben. Erfülle die folgenden Schritte: a) Welche Größe (Anzahl) soll maximiert oder minimiert werden? b) Ordne den Variablen Buchstaben zu. c) Was ist die Zielfunktion? d) Was ist die constraint function (Nebenfunktion?) e) Gib die Zielfunktion in Bezug auf eine Variable wieder und bestimme ihren Definitionsbereich f) Verwende den 1. bzw. 2. Ableitungstest um das Problem zu lösen. Danke schonmal für eure Tipps 
!Meine Ideen: Ich habe leider keine Idee :/.. Ich meine zu a suche ich ja die größten Zahlen, die 70 ergeben. Man muss ja im Prinzip so eine Zahl dann einfach durch zwei teilen und dann weiß man es doch, oder? |
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| 04.08.2012, 20:46 | Kasen75 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo, du könntest zufällig recht haben. Aber du sollst es die Aufgabe analytisch lösen. zu a) Welche Größe soll denn maximiert werden? Das Produkt, die Differenz, die Summe der beiden Zahlen? zu b) Mit welcher Variable würdest du Zahl 1 bzw. Zahl 2 belegen (frei wählbar)? zu c) Wie würde mit den von Dir gewählten Variablen die Zielfunktion aussehen? Mit freundlichen Grüßen. |
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| 05.08.2012, 00:00 | Helly | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich habe das mittlerweile gelöst bekommen. Allerdings habe ich jetzt ein neues Problem. Aufgabe: Ein Bauer hat 1500$ zur Verfügung um einen E-förmigen Zaun an einem gradlinigen Fluss zu bauen. Somit gestaltet er zwei identisch, rechteckige Weiden - eine für Schafe, eine für Kühe. Die Materialien für die Seite parallel zu dem Fluss dosten 6$ pro Fuß und die Materialien für die drei gleich großen Zäune rechtwinklig zu dem Fluss kosten 5$ pro Fuß. Finde die Dimensionen wo die Fläche so groß wie möglich ist. a,b,c,d,e und f sind genauso wie bei der 1. Aufgabe. a - die Fläche soll maximiert werden. b - den Zaun zum Fluss hin habe ich a genannt und die drei identischen b c - da habe ich die Formel der Flächenberechnung = a x b d - da habe ich schon alles mögliche durchprobiert, aber scheinbar nicht das richtige :/.. |
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| 05.08.2012, 00:21 | Kasen75 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Auf jeden Fall brauchst du die Formel für die Länge (mit a und b) 1. des Zauns am Wasser und 2. des Zauns jenseits des Flusses. Mit freundlichen Grüßen. |
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| 05.08.2012, 00:32 | Helly | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja genau die Länge. Dafür muss ich ja mit den Flächen der Weiden rechnen. Ich hatte für d jetzt einmal 3a x 5b + 3a x 5b und 2 x (5b x 3a) bei beiden kam irgendwie Murks raus.. |
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| 05.08.2012, 00:42 | Kasen75 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich muss gestehen, dass ich die Aufgabe nicht ganz verstanden habe. Ich habe mal ein Bild angehängt, so wie ich es mir vorgestellt hatte. Vielleicht könntest du mich da mal berichtigen. Mit freundlichen Grüßen. |
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| 05.08.2012, 00:48 | Helly | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich sehe leider kein Bild. Da ist ein Fluss und neben diesem Fluss will der Bauer einen E-förmigen Zaun bauen. Die lange Seite vom e ist direkt am Fluss. Die Drei Striche die vom E wegzeigen stehen waagerecht daneben - wie ein e halt. Somit hat der Bauer dann zwei Weiden. Und ich soll die größtmögliche Fläche der beiden weiden berechnen bzw. wie lang die zäune dafür sein müssen. |
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| 05.08.2012, 00:52 | Helly | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Doch jetzt sehe ichs 
! Ja ich glaube die meinen das umgekehrt. Also dass das E nicht Richtung Fluss, sondern in die andere Richtung zeigt
! |
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| 05.08.2012, 00:57 | Kasen75 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ist dann die Formel a + 3 * b ? Das E eben. |
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| 05.08.2012, 01:03 | Helly | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also ist doch eigentlich egal in welche Richtung das zeigt, oder? Was fragst du mich? Ich bin doch die, die Hilfe braucht 
. Also bei einer anderen Aufgabe habe ich direkt noch das Geld mit einbezogen. Wäre es denn nicht a x (3 x b) - wegen der Flächenformel? |
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| 05.08.2012, 01:07 | Kasen75 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nein. Die Flächenformel haben wir schon als Maximierungsfunktion. Wir haben jetzt die Funktion für die Länge des Zauns (siehe letzter Beitrag). Du musst jetzt die einzelnen Teile des Zauns mit den entsprechenden Preisen multiplizieren. Das Ganze muss dann 1500 ergeben. Versuch jetzt mal die Nebenbedingung aufzustellen. |
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| 05.08.2012, 01:14 | Helly | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Achso ok. Das wären ja dann: 1500= 6a + 3 x 5b 1500= 6a + 15b Stimmt das soweit? |
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| 05.08.2012, 01:18 | Kasen75 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Perfekt.
Jetzt musst du das nur noch lösen. Wie löst du denn so ein Maximierungsproblem? |
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| 05.08.2012, 01:20 | Helly | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also erst mal nach a oder b lösen würde ich sagen. 1500= 6a + 15b auf beiden Seiten der Gleichung - 6a 1500 - 6a = 15b auf beiden Seiten der Gleichung /15 1500/15 - 6a/15= b |
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| 05.08.2012, 01:24 | Kasen75 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Genau
Du könntest noch kürzen. Jetzt den Ausdruck für b in die Maximierungsfunktion einsetzen und nach a ableiten. |
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| 05.08.2012, 01:30 | Helly | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Jaaa genau hier fängst an zu haken :/. 1500/15 - 6a/15= b oder 100 - 6a/15 = b f(a)= a x b f(a)= a x (100 - 6a/15) f(a)= 100a - 6a^2/15 Soweit noch korrekt? Bin mir wegen der a^2 nicht sicher. Falls es stimmt, müsste ich jetzt ableiten. Aber da stört mich noch die /15. |
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| 05.08.2012, 01:34 | Kasen75 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja.
Ich schreibs mal klarer auf: |
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| 05.08.2012, 01:41 | Helly | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ok f(a)= 100a - 2/5 x a^2 f'(a)= - 4/5a + 100 auf beiden Seiten der Gleichung -100 -100= -4/5a auf beiden Seiten der Gleichung geteilt durch -4/5 80 = a Das Problem ist, dass ich Musterlösungen habe und das nicht stimmt 
.. |
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| 05.08.2012, 01:48 | Kasen75 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Bis hierhin richtig. Wenn du jetzt durch 4/5 teilst musst du bedenken: Man teilt einen Ausdruck durch einen Bruch, indem man den Ausdruck mit dem Nenner multipliziert und durch den Zähler dividiert. |
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| 05.08.2012, 01:56 | Helly | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Achja der olle Kehrwert
!Jaaa jetzt sind es 125 und jetzt stimmt es auch 
! Pass auf und dann um zu überprüfen, ob das auch wirklich ein Maximum ist mache ich die zweite Ableitung also: f'(a)= -4/5a + 100 f''(a)= -4/5 also ein Maximum. Jetzt muss ich noch b rausbekommen und setze die 125 bei 1500= 6a + 15b ein: 1500= 6 x 125 + 15b auf beiden Seiten der Gleichung -750 750= 15b auf beiden Seiten der Gleichung durch 15 50= b Und jaaa das ist richtig 
! Dankeschön 
! |
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| 05.08.2012, 02:01 | Kasen75 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Freut mich, dass es geklappt hat.
Du hast ja gleich den 2. Ableitungstest gemacht. Sehr schön.
Wenn du noch Lust und Laune hast kannst du noch den 1. Ableitungstest machen. Die Anleitung dazu findest du hier: Link Auf jeden Fall wünsche ich Dir eine gute Nacht. Mit freundlichen Grüßen. |
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| 05.08.2012, 12:05 | Helly | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Problem again: Also ich verstehe ja so allgemein was die wollen nur ich weiß nie, welche Formel ich dahin schreiben soll. Bei beiden Formeln habe ich ein Problem 
. Die Firma XYZ denkt, dass sie 600000 Reifen von einer bestimmten Größe und Form während des nächsten Jahres verkaufen wird. Die Verkaufszahlen sind ungefähr in jedem Monat dieselben. Jede neue Produktionsrunde, die aufgestellt werden muss kostet die Firma 15000$. Frachtkosten, gemessen an der Durchschnittsanzahl der Reifen auf Lager, betragen 5$ pro Jahr für einen Reifen. Finde die Ökonomische Größe (z.B. die Größe der Produktionsrunde (Arbeitslaufs), die die Gesamtkosten von der Produktion der Reifen minimiert.) a-f wieder dasselbe und: Ein Supermarkt soll rechteckig gebaut werden mit einer Grundfläche von 12000 m^2. Die Vorderseite des Gebäudes wird zum größten Teil aus Glas bestehen und wird 70$ pro laufenden m^2 für das Material kosten. Die anderen drei Seiten werden aus Ziegeln gebaut und kosten 50$ pro m^2. Ignoriere alle anderen Kosten (Arbeitskosten, Kosten des Fundaments und des Daches, etc.) und finde die Dimensionen der Grundfläche (Base) des Gebäudes, welche die Kosten der Materialien für die vier Wände des Gebäudes minimieren. Bei dem 1. kam ich gar nicht weiter. Da hatte ich mir zum einen erst mal aufgeschrieben. C=600000 * 5 + 15000 600000= a * b Bei dem 2. hatte ich 12000=a x b und x= ac + 2 x bc + ac x= 70ac + 2 x 50bc + 50ac x= 120 ac + 100 bc Ist das soweit richtig, oder eher Murks? |
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