Eigenwerte und Eigenvektoren

07.08.2012, 12:07

Mixer007

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Eigenwerte und Eigenvektoren

Hallo, ich sitz gerad an einer Aufgabe, wo man die Eigenwerte und Eigenvektoren berechnen soll.

Die Matrix lautet:

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & -1 & -2 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

so nun habe ich das charakteristische Polynom bestimmt.

Dieses lautet :

$\begin{eqnarray*} (1-x)(x²+x-1) \end{eqnarray*}$

so nun komme ich dann auf die Nullstellen bzw. Eigenwerte von A:

diese sind:

$\begin{eqnarray*} x_1= 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_2 = -1+i\sqrt{3}/2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_3= -1-i\sqrt{3}/2 \end{eqnarray*}$

so nun muss ich ja zu jedem eigenwert ein lineares Gleichungssystem lösen.

Genau da habe ich ein Problem.

Aus der ersten Spalte kann man ja den Eigenraum zu $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ ablesen.

Dieser ist: $\begin{eqnarray*} V(1) = C ( 1,0,0,)^T \end{eqnarray*}$

wenn ich aber nun das lineare Gelichungssystem für den zweiten Eigenwert aufstelle, bekomme ich Schwierigkeiten beim Auflösen der Gleichung.

Diese wäre zu $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 3/2 -i\sqrt{3}/2 & -2 & 1 \\ 0 & 3/2 -i\sqrt{3}/2 & 3 \\ 0 & -1 & -3/2 -i\sqrt{3}/2 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich kenne die Lösungen dazu: diese sind $\begin{eqnarray*} V(2) = C ( -8-i*\sqrt{3}, -6, 3-i*\sqrt{3}) \end{eqnarray*}$

aber ich schaffs einfach nicht das LGS zu lösen. Kann mir jemand bitte den ganzen Lösungsweg zeigen bitte. Wenn ich jetzt die 2 Zeile von der 3 Zeile abziehe, ergibt sich die dritte Zeile komischerweise zu Null, damit hätte das LGS ja unendlich viele Lösungen, was es aber nicht hat, wenn man die V(2) einsetzt.

07.08.2012, 12:40

Mixer007

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das ist mein ein Fehler unterlaufen,

es sollte heißen,

$\begin{eqnarray*} V(2) = C( -8-2*\sqrt{3}*i, -6, 3-\sqrt{3}*i )^T \end{eqnarray*}$

07.08.2012, 12:57

klarsoweit

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RE: Eigenwerte und Eigenvektoren

Zitat:

Original von Mixer007
so nun habe ich das charakteristische Polynom bestimmt.

Dieses lautet :

$\begin{eqnarray*} (1-x)(x²+x-1) \end{eqnarray*}$

Also ich komme auf $\begin{eqnarray*} (1-x)(x²+x+1) \end{eqnarray*}$ . Und wenn ich mich nicht verrechnet habe, komme ich für x_2 und x_3 auf andere Nullstellen.

07.08.2012, 14:02

Mixer007

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RE: Eigenwerte und Eigenvektoren
ja hast recht, die sind falsch aufschrieben worden von mir

$\begin{eqnarray*} x_2= -1/2 +i*\sqrt{3}/2 und x_3= -1/2-i*\sqrt{3}/2 \end{eqnarray*}$

war ein Leichtsinnsfehler.

Kannst du mir bitte zeigen, wie man das Gleichungssystem löst?

07.08.2012, 14:24

klarsoweit

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RE: Eigenwerte und Eigenvektoren

Zitat:

Original von Mixer007
Wenn ich jetzt die 2 Zeile von der 3 Zeile abziehe, ergibt sich die dritte Zeile komischerweise zu Null, damit hätte das LGS ja unendlich viele Lösungen, was es aber nicht hat, wenn man die V(2) einsetzt.

Ich weiß jetzt nicht, was du da gerechnet hast und kann das daher auch nicht nachvollziehen. Ich würde als nächstes die 3. Zeile mit $\begin{eqnarray*} \frac 3 2 - i \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \end{eqnarray*}$ multiplizieren.

07.08.2012, 14:47

Mixer007

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RE: Eigenwerte und Eigenvektoren
ja das habe ich auch gemacht und dann die zweite Zeile von der dritten abziehen.

Das sind dann so aus:

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 3/2 -i*\sqrt{3} & -2 & 1 \\ 0 & 3/2-i*\sqrt{3} & 3 \\ 0 &0 &0 \\ \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

und da weiß ich dann nicht, wie ich weitermachen soll? $\begin{eqnarray*} x_3 \end{eqnarray*}$ als freien Parameter wählen?

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07.08.2012, 14:54

klarsoweit

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RE: Eigenwerte und Eigenvektoren
Nun ja, wenn ich das richtig sehe, sollte dieses Matrix rauskommen:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3/2 - i \cdot \sqrt{3}/2 & -2 & 1 \\ 0 & 3/2 - i \cdot \sqrt{3}/2 & 3 \\ 0 &0 &0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Und ja, du kannst x_3 als freien Parameter oder einfach = 1 wählen und den resultierenden Vektor als Basis des Lösungsraums nehmen.

07.08.2012, 15:19

Mixer007

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RE: Eigenwerte und Eigenvektoren
ja aber wie löse ich des jetzt auf?

wenn ich jetzt $\begin{eqnarray*} x_3=t \end{eqnarray*}$ annehme, dann bekomm ich ja für $\begin{eqnarray*} x_2 = -3/(3/2 -i*\sqrt{3}/2) \end{eqnarray*}$

in der Lösung steht aber drin , dass für $\begin{eqnarray*} x_2= -6 \end{eqnarray*}$ , was mach ich hier dann falsch, die imaginäre Zahl muss doch irgendwie verschwinden?

07.08.2012, 15:29

klarsoweit

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RE: Eigenwerte und Eigenvektoren

Zitat:

Original von Mixer007
wenn ich jetzt $\begin{eqnarray*} x_3=t \end{eqnarray*}$ annehme, dann bekomm ich ja für $\begin{eqnarray*} x_2 = -3/(3/2 -i*\sqrt{3}/2) \end{eqnarray*}$

Und wo ist jetzt der Parameter t geblieben? verwirrt

verwirrt

Zitat:

Original von Mixer007
die imaginäre Zahl muss doch irgendwie verschwinden?

Wieso? In der Lösung sind die doch auch nicht verschwunden.

Ich schlage vor, du rechnest jetzt einfach mal zu Ende und dann sehen wir weiter.

07.08.2012, 15:40

Mixer007

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RE: Eigenwerte und Eigenvektoren
ja wenn ich das ausrechne kommt für $\begin{eqnarray*} x_2 = t* ( -3/ (3/2 -i* \sqrt{3}/2) ) \end{eqnarray*}$

ich hab das t gerad nur vorgeschoben, aber diese Lösung stimmt nicht mit dem $\begin{eqnarray*} x_2= -6 \end{eqnarray*}$ aus der Lösung überein. Verstehst du jetzt, wieso ich frag, dass die
imaginäre Zahl nicht verschwindet?

07.08.2012, 16:00

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RE: Eigenwerte und Eigenvektoren
Dein Problem ist, daß du denkst, es gibt "die" Lösung. Die Lösung ist aber ein Vektorraum. Und solch ein Vektorraum hat nun mal keine eindeutige Basis.

07.08.2012, 16:26

Mixer007

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RE: Eigenwerte und Eigenvektoren
also ist das was ich gerechnet hab, nicht falsch, oder?

Mich würde einfach gern interessieren wie man auf diese Lösung kommt.

Könntest mir das bitte aufschreiben, damit ich das nachvollziehen kann?

08.08.2012, 08:18

klarsoweit

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RE: Eigenwerte und Eigenvektoren

Zitat:

Original von Mixer007
also ist das was ich gerechnet hab, nicht falsch, oder?

Sonst hätte ich es deutlich gesagt.

Zitat:

Original von Mixer007
Könntest mir das bitte aufschreiben, damit ich das nachvollziehen kann?

Wie ich schon sagte: mach erstmal deine Rechnung zu Ende und dann sehen wir weiter.

08.08.2012, 11:21

Mixer007

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also da ich ja $\begin{eqnarray*} x_2 und x_3 \end{eqnarray*}$ schon hab , muss ich ja nur noch $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ berechnen.
Dazu setze ich die Werte von $\begin{eqnarray*} x_2 und x_3 \end{eqnarray*}$ in die erste Zeile ein.

Daraus folgt: $\begin{eqnarray*} x_1 = (-t - t*2*( 3/ ( 3/2 - i*\sqrt{3}/2))/ ( 3/2 -i*\sqrt{3}/2)<br /> <br /> \end{eqnarray*}$

ok nun weiß ich nicht wirklich wie man das vereinfachen könnte.

ich versuchs mal: also ich ziehe nun das t nach vorne und bekomme:

$\begin{eqnarray*} x_1 = t*( -1/(3/2 - i*\sqrt{3}/2) - 2*3 / ( 3/2 - i*\sqrt{3}/2) / ( 3/2 - i*\sqrt{3}/2) <br /> <br /> \end{eqnarray*}$ so nun kann ich ja den letzten Teil der Gleichung kürzen und bekomme:

$\begin{eqnarray*} x_1= t* ( -1/ (3/2 - i*\sqrt{3}/2) -6) <br /> \end{eqnarray*}$

So damit ergibt sich dann der Eigenraum zu :
$\begin{eqnarray*} <br /> V(x_2)= t*( -1/ (3/2 - i*\sqrt{3}/2) -6, -3/(3/2 - i*\sqrt{3}/2), 1 )^T<br /> \end{eqnarray*}$

so ich hab auch noch die Eigenvektoren x_2 und x_3 in das Gleichungssystem eingesetzt und es hat gepasst, also bei der dritten Zeile.

Aber wie kommt man auf die andere Lösung, die ich geschrieben hatte, also der Eingenraum. Indem man den Eingenraum den ich jetzt berechnet hab mit $\begin{eqnarray*} ( 3/2 - i*\sqrt{3}/2) \end{eqnarray*}$ erweitert und dann mit 2 multipliziert oder ? Dann würde des passen.

08.08.2012, 12:56

klarsoweit

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Zitat:

Original von Mixer007
ich versuchs mal: also ich ziehe nun das t nach vorne und bekomme:

$\begin{eqnarray*} x_1 = t*( -1/(3/2 - i*\sqrt{3}/2) - 2*3 / ( 3/2 - i*\sqrt{3}/2) / ( 3/2 - i*\sqrt{3}/2) \end{eqnarray*}$

Vor lauter Brüchen sieht man ja den Wald nicht mehr. Schreiben wir das mal so:

$\begin{eqnarray*} x_1 = t \cdot (-\frac{1}{3/2 - i*\sqrt{3}/2} - \frac{2*3}{3/2 - i*\sqrt{3}/2} \cdot \frac{1}{3/2 - i*\sqrt{3}/2}) \end{eqnarray*}$

Das ist dann aber nicht gleich:

Zitat:

Original von Mixer007
so nun kann ich ja den letzten Teil der Gleichung kürzen und bekomme:

$\begin{eqnarray*} x_1= t* ( -1/ (3/2 - i*\sqrt{3}/2) -6) \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Mixer007
Aber wie kommt man auf die andere Lösung, die ich geschrieben hatte, also der Eingenraum. Indem man den Eingenraum den ich jetzt berechnet hab mit $\begin{eqnarray*} ( 3/2 - i*\sqrt{3}/2) \end{eqnarray*}$ erweitert und dann mit 2 multipliziert oder ? Dann würde des passen.

Im Prinzip steckt so etwas dahinter. Zwei Vektorräume mit der Dimension 1 sind gleich, wenn der eine Basisvektor ein Vielfaches des anderen Basisvektors ist.

08.08.2012, 18:34

Mixer007

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aah ok.

Das müsste dann so aus sehen:

$\begin{eqnarray*} x_2= t* ( -1/ (3/2 -i*\sqrt{3}/2) - 6 / ( 6/4 - 6/4*i\sqrt{3} ) \end{eqnarray*}$

ich hab nun den hinteren Teil der Gleichung multipliziert.

09.08.2012, 08:35

klarsoweit

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Im Prinzip ok, nur vorne muß es x_1 heißen und ein bißchen kürzen kann man auch noch.

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