Differentialgleichung mit Potenzreihe bestimmen

07.08.2012, 19:50	malle1990	Auf diesen Beitrag antworten »
Differentialgleichung mit Potenzreihe bestimmen Meine Frage: Vorgegeben ist das Anfangswertproblem der gewöhnlichen Differentialgleichuag zweiter Ordnung : y"(x) -xy'(x) - y(x) = 0, a0 = y(0)= 1, a1 = y'(0) = 0 Geben Sie die Lösund es Anfangswertproblems in Form der Potenzreihenentwicklung (Taylorentwicklung) P(r,0) der Funktion y im Entwicklungspunkt r = 0 an! Verwenden Sie hierbei die Methode des Koeffizientenvergleiches. Meine Ideen: meine Ideen: y(x) = Summe über n von 0 - unendlich (anx^n) y'(x) = Summe über n von 1 - unendlich (annx^(n-1)) y''(x) = Summe über n von 2 - unendlich (ann(n-1)x^(n-2)) Das hab ich dann eingesetzt... und das wars... Anmerkung: bei den "an, a0, a1" sind die zahlen/das n tief gestellt
07.08.2012, 23:53	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differentialgleichung mit Potenzreihe bestimmen Hallo, du könntest übrigens auch den Formeleditor verwenden. Du bist jetzt also bei $\begin{eqnarray} \sum_{n=2}^\infty a_nn(n-1)x^{n-2}-x\sum_{n=1}^\infty a_nnx^{n-1}-\sum_{n=0}^\infty a_nx^n=0 \end{eqnarray}$ . Dann kannst du ja jetzt den Koeffizientenvergleich durchführen. Für $\begin{eqnarray} k\geq2 \end{eqnarray}$ schreibst du alle auftretenden Koeffizienten vor $\begin{eqnarray} x^k \end{eqnarray}$ auf, so wie sie dort dastehen. Und dieser Term muss Null ergeben. (Für $\begin{eqnarray} k=1 \end{eqnarray}$ hätte man z.B. vor $\begin{eqnarray} x^1 \end{eqnarray}$ den Term $\begin{eqnarray} a_3\cdot3\cdot2-a_1-a_1\overset!=0 \end{eqnarray}$ ) mfg, Ché Netzer Edit: Oh, da ist bei meiner Formel auch etwas abgeschnitten worden
08.08.2012, 16:54	malle 1990	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich probiers mal so, mich irritiert, dass man das auch bei einer Summe machen kann.
11.08.2012, 12:10	Malle1990	Auf diesen Beitrag antworten »
AWP vollständig Voll ausformuliert lautet die Aufgabe: Vorgegeben ist das Anfangswertproblem der gewöhnlichen Differentialgleichung zweiter Ordnung: $\begin{eqnarray} y''(x) - xy'(x) - y(x) = 0, a_{0} = y(0) = 1, a_{1} = y'(0) = 0 \end{eqnarray}$ a) Geben Sie die Lösung des AWPs in Form der Potenzreihenentwicklung (Taylorentwicklung) P(x,0) der Funktion y im Entwicklungspunkt $\begin{eqnarray} x_{0} = 0 \end{eqnarray}$ an! Verwenden Sie hierbei die Methode des Koeffizientenvergleiches! b) Bestimmen Sie den Konvergenzradius r der Potenzreihe! c) Schließen Sie aus der Potenzreihenentwicklung von P(x,0), welche explizite Gestalt die Funktion y hat. Zu Aufgabe a) habe ich folgendes Ergebnis: $\begin{eqnarray} \sum_{n=2}^\infty a_nn(n-1)x^{n-2}-x\sum_{n=1}^\infty a_nnx^{n-1}-\sum_{n=0}^\infty a_nx^n=0 \end{eqnarray}$ wie in der 1. Antwort von Che gegeben. Dann komm ich über den Koeffizientenvergleich auf folgendes: $\begin{eqnarray} x^{0}: -a_{0}+2a_{2} = 0 \Rightarrow a_{2}=1/2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x^{1}: -2a_{1}+6a_{3} = 0 \Rightarrow a_{3}=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x^{2}: -3a_{2}+12a_{4} = 0 \Rightarrow a_{4}=1/8 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x^{3}: -4a_{3}+20a_{5} = 0 \Rightarrow a_{5}=0 \end{eqnarray}$ Es ergibt sich analog $\begin{eqnarray} a_{6}=1/48, a_{7}=0, a_{8}=1/384 \end{eqnarray}$ Daraus folgt: $\begin{eqnarray} P(x,0) = 1 \cdot x^{0} + \frac 12 x^{2} + \frac 12 \cdot \frac 14 x^{4} + \frac 12 \cdot \frac 14 \cdot \frac 16 \cdot x^{6} + \frac 12 \cdot \frac 14 \cdot \frac 16 \cdot \frac 18 \cdot x^{8}+... \end{eqnarray*}$ Doch wie kann man das nun zusammenfassen? Und stimmen meine Koeffizienten überhaupt... V.a. da man ja in c) auf die explizite Form schließen soll... Ich hoffe, ihr könnt mir helfen! Edit(Helferlein): Brüche auch als Latexcode geschrieben, um Überbreite des Beitrags zu verhindern.
23.08.2012, 09:51	malle1990	Auf diesen Beitrag antworten »
Hat denn niemand eine Idee? ich brauche die Lösung dieser Aufgabe dringend, bald ist der Nachschreibetermin der Klausur und bis dahin muss ich diese Aufgabe verstanden haben... Ich hoffe, ihr könnt mir helfen!
23.08.2012, 10:25	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Koeffizienten stimmen. $\begin{eqnarray} a_{2n} = \frac{1}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdots (2n)} = \frac{1}{2^n \cdot n!} \end{eqnarray}$ (von jedem Faktor den Faktor 2 abspalten) $\begin{eqnarray} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n}}{2^n \cdot n!} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\left( \frac{x^2}{2} \right)^n}{n!} \end{eqnarray}$
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23.08.2012, 18:18	malle 1990	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke! Ich bin irgendwie nicht auf die Idee gekommen, dass ich ja für die Taylorreihe die Fakultät benötige.. Danke, ihr habt mir sehr weitergeholfen!

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