Fixpunktiteration - zu einfach?

31.01.2007, 20:24	Sven5	Auf diesen Beitrag antworten »
Fixpunktiteration - zu einfach? Abend, ich hänge hier fest: Sei x* der Fixpunkt von F im Intervall [0,1]. $\begin{eqnarray} F(x) = 10 \cos(\pi x) \end{eqnarray}$ . Konvergiert die Folge $\begin{eqnarray} x_{k+1} := F(x_k), k=0,1,... \end{eqnarray}$ gegen x, falls der Startwert von $\begin{eqnarray} x_0 \end{eqnarray}$ nahe genug bei x liegt? Die Antwort ist nein. Aber warum? $\begin{eqnarray} \|x_{k+1} - x^\| = \|10 \cos(\pi x_k) - 10 \cos(\pi x^)\| = \|x_k - x^\| \|10 \sin(\pi \alpha)\| \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \alpha \in ]x_k, x^[ \end{eqnarray}$ . Nun hat $\begin{eqnarray} 10 \cos(\pi x) \end{eqnarray}$ bei 0,5 einen Nulldurchgang. Der Fixpunkt liegt also schonmal in $\begin{eqnarray} ]0,\frac{1}{2}[ \end{eqnarray}$ . Aber wo genau weiß ich ja erstmal nicht. Wie kann man jetzt sagen, daß $\begin{eqnarray} \|10 sin(\pi \alpha)\| \geq 1 \end{eqnarray}$ ist ohne den Fixpunkt zu kennen, also ohne zu plotten oder soetwas? Woher weiß ich denn, daß der Fixpunkt nicht so nahe bei 0 liegt, daß die Folge tatsächlich konvergiert?
31.01.2007, 20:28	Sven5	Auf diesen Beitrag antworten »
Ups - bei der Ableitung fehlt noch ein $\begin{eqnarray} \pi \end{eqnarray}$ . Das ändert aber auch nichts an meinem Problem.
31.01.2007, 21:57	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} F(x) = 10 \cos(\pi x) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} F'(x) = -10\cdot \pi \cdot sin(\pi x) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} D:[0,1],~ Im(f) = [-10,10] \end{eqnarray}$ Muss soweit eingeschränkt werden, dass gilt: $\begin{eqnarray} Im(f) \subseteq D \end{eqnarray}$ (Selbstabbildung) Mit der Kenntnis der nullstelle folgt das neue Intervall $\begin{eqnarray} D_n=[0,0.5], Im(f) = [0,10] \end{eqnarray}$ Also immer noch nicht klein genug. Findet man überhaupt einen Wert zwischen 0 und 0.5, so dass man eine Selbstabbildung erhält? $\begin{eqnarray} Im(f') = [-10\pi,0] \end{eqnarray}$
18.02.2007, 14:25	gast0	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Funktion $\begin{eqnarray} x \mapsto x-10\cos(\pi * x) \end{eqnarray}$ ist monoton steigend für alle $\begin{eqnarray} x \in [0,1] \end{eqnarray}$ . Du brauchst also nur den Funktionswert für ein $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ auszurechnen, z.B. für $\begin{eqnarray} \frac{1}{3} \end{eqnarray}$ das geht leicht, und weißt damit, dass der Fixpunkt größer oder gleich diesem $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ sein muss (da natürlich etwas negatives rauskommt, weil du "zufällig" ein $\begin{eqnarray} x<x^{} \end{eqnarray}$ gewählt hast).

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