Galton-Watson-Prozess, oder doch einfacher?

11.08.2012, 11:47

LyriaEL

Galton-Watson-Prozess, oder doch einfacher?

Hallo ihr Lieben,

Ich bin dabei mir auf meine kommenden Prüfungen vorzubereiten und Löse daher ein paar aus den vorigen Jahren. Diese Aufgabe ist aus der Prüfung September 2010, Bern.

Aufgabe
Ein Hoch-Energie-Partikel produziert eine zufällige Anzahl $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ von Nachkommen mit der Verteilung

$\begin{eqnarray*} \begin{tabular}{c c|c|c|c|} $x_k$ & 0 & 1 & 2 & 3 $p_k$ & 0.1 & 0.3 & 0.2 & 0.4 \end{tabular} \end{eqnarray*}$

Die Anzahlen der Nachkommen von verschiedenen Partikeln sind unabhängig und identisch verteilt.
a) Finden Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der Verzweigungsprozess, welcher mit einem Partikel anfängt, in der zweiten Generation ausstirbt. (Hinweis: Benutzen Sie die Formel der totalen Wahrscheinlichkeit.)
b) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der Verzweigungsprozess irgendwann ausstirbt.

Lösungen/Ideen
Aufgabe a) konnte ich lösen, ob es stimmt sei mal dahin gestellt. Die erwähnt Formel wäre hier:
$\begin{eqnarray*} P(A) = \sum\limits_{i=1}^n P(A|B_i)P(B_i) \end{eqnarray*}$

Ich hab mir das intuitiv überlegt und glaub, dass ich so am Ende genau diese Formel verwendet habe. Ich komme auf Folgendes:

$\begin{eqnarray*} 0.3 \cdot 1 \cdot 0.1 + 0.2 \cdot 2 \cdot 0.1 + 0.4 \cdot 3 \cdot 0.1 = 19 % \end{eqnarray*}$

An der Aufgabe b) bin ich gestern mindestens 6 Stunden dran gewesen, ohne bedeutend weiter zu kommen unglücklich

Ich habe einmal nach Verzweigungsprozesse gesucht, bin dann so auf Bienaymé-Galton-Watson-Prozess gekommen, was ja eigentlich genau meinem Problem entspricht. Dummerweise muss man dafür verstehen was eine erzeugende Funktion ist. Dem widmete ich mich wohl etwa der Hälfte der Zeit. Ich dachte das einigermaßen verstanden zu haben und dennoch komm ich nicht weiter.
Ich habe auch nie irgendwo ein Beispiel mit einer konkreten Verteilung gefunden, dass ich mich frage, ob man diese Aufgabe leichter lösen könnte/sollte.

$\begin{eqnarray*} Z_{n+1} = \sum\limits_{j=1}^{Z_n} X^{(j)}_{n+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Z_n \end{eqnarray*}$ ist die Anzahl in der n-ten Generation und $\begin{eqnarray*} X^{(j)}_{n+1} \end{eqnarray*}$ ist die Zufallsvariabel des j-ten Partikels für die nächste Generation, sie haben alle die gleiche Verteilung und damit die gleiche erzeugende Funktion:

$\begin{eqnarray*} g(t) = \sum\limits_{k=1}^\infty p_k t^k \end{eqnarray*}$

weiter ist $\begin{eqnarray*} q_n = P(Z_n=0) \end{eqnarray*}$ die WK, dass es in der n-ten Generation keine Partikel mehr hat, es folgt auch dass $\begin{eqnarray*} q_{n+1} \geq q_n \end{eqnarray*}$ . Damit ist $\begin{eqnarray*} q=lim q_n \end{eqnarray*}$ die gesuchte Aussterbewahrscheinlichkeit.

... soweit komm ich noch knapp, doch was dann werd ich im normal Fall abgehängt, insbesondere finde ich mit der Theorie nicht heraus, wie ich jetzt meine Aufgabe lösen soll.

Ich wäre wirklich extrem dankbar, wenn ihr mir da helfen könntet Gott

Liebe Grüsse
lyri

12.08.2012, 11:19

Huggy

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RE: Galton-Watson-Prozess, oder doch einfacher?

Zitat:

Original von LyriaEL
Aufgabe a) konnte ich lösen, ob es stimmt sei mal dahin gestellt. Die erwähnt Formel wäre hier:
$\begin{eqnarray*} P(A) = \sum\limits_{i=1}^n P(A|B_i)P(B_i) \end{eqnarray*}$

Ich hab mir das intuitiv überlegt und glaub, dass ich so am Ende genau diese Formel verwendet habe. Ich komme auf Folgendes:

$\begin{eqnarray*} 0.3 \cdot 1 \cdot 0.1 + 0.2 \cdot 2 \cdot 0.1 + 0.4 \cdot 3 \cdot 0.1 = 19 % \end{eqnarray*}$

Da ist dir ein Fehler unterlaufen. Betrachte mal den Fall. dass in der ersten Generation 2 Partikel vorhanden sind. Damit die Population in der 2. Generation ausstirbt, dürfen diese beiden Partikel keine Nachkommen haben. Das geschieht für jedes mit der Wahrscheinlichkeit 0,1. Die beiden Ereignisse sind nach Aufgabenstellung unabhängig. Wie groß ist also die Wahrscheinlichkeit, dass beide Partikel keine Nachkommen haben?

Zitat:

bin dann so auf Bienaymé-Galton-Watson-Prozess gekommen, was ja eigentlich genau meinem Problem entspricht.

Das ist schon mal richtig. Nun ist die Verteilungsfunktion der $\begin{eqnarray*} \rho (n) \end{eqnarray*}$ der Nachkommen ja nur für endlich viele n von 0 verschieden. Das heißt, die erzeugende Funktion $\begin{eqnarray*} \Phi_{\rho}(s) \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} \rho \end{eqnarray*}$ ist ein Polynom:

$\begin{eqnarray*} \Phi_{\rho}(s)=0.1+0.3s+0.2s^2+0.4s^3 \end{eqnarray*}$

Nun ist laut Theorie die Aussterbewahrscheinlichkeit der kleinste (nicht negative) Fixpunkt der erzeugenden Funktion, d. h. die kleinste Lösung der Gleichung

$\begin{eqnarray*} \Phi_{\rho}(s)=s \end{eqnarray*}$

Die Gleichung ist leicht zu lösen, da man eine Lösung der Gleichung kennt.

12.08.2012, 16:10

LyriaEL

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Ich hab den 'Denkfehler' in der ersten Teilaufgabe lange nicht gefunden. Geholfen hat mir dann aber (überraschenderweise) die Theorie. Das Erreignis, dass bei zwei Teilchen beide keine Nachkommen haben ist ja

$\begin{eqnarray*} P(T_1\cap T_2) = P(T_1)\cdot P(T_2) \end{eqnarray*}$

und die Gleichheit gilt, wie du sagst, weil die Ereignisse unabhängig sind. Damit wäre mein neues Resultat für die Aufgabe a)

$\begin{eqnarray*} A:= \{ \textnormal{Aussterben in der 2.Generation}\}; B_i:=\{ \textnormal{In der vorigen Generation gab es i Nachkommen}\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(A) = \sum\limits_{i=1}^n P(A|B_i)P(B_i) =0.1 \cdot 0.3+0.1^2 \cdot 0.2+0.1^3 \cdot 0.4 =3.24% \end{eqnarray*}$

Aufgabe b) konnte ich dank deiner Hilfe auch lösen (ob stimmt sei mal dahin gestellt...). Aber verstehen ist anders.
Zuerst mal, was ich habe:

$\begin{eqnarray*} \Phi_{\rho}(s)=0.1+0.3s+0.2s^2+0.4s^3 = s 0 = 1 -7s+ 2s^2+4s^3 0 = (s-1)(4s^2+6s-1) s_{2/3}= \frac{1}{8}( -6 \pm \sqrt{36+16}) \Rightarrow s = \dfrac{\sqrt{13}-3}{4} = 15.1% \end{eqnarray*}$

Ich weiss, dass eine Lösung s=1 ist , mit Polynomdivision und Mitternachtsformel, und der Tatsache, dass ich die kleinste Lösung zwischen 0 und 1 suche, komme ich dann auf das obige Resultat.

Das Problem ist, dass ich jetzt einfach 'nach Rezept' gerechnet habe. Eigentlich hab ich keine Ahnung, was da abgeht verwirrt

Zitat:

Leider hab ich den Satz ganz und gar nicht verstanden. So wirklich geheuer ist mir die erzeugende Funktion noch immer nicht, auch wenn ich den Teil im Skript/Buch schon zig Mal gelesen habe.

Ist $\begin{eqnarray*} \rho (n) \end{eqnarray*}$ die Anzahl Nachkommen in der n-ten Generation? Also eigentlich eine 'nackte' Zahl.
Sie ist nur für endliche viele n von 0 verschieden, weil wir den Fall betrachten, in dem die Kultur irgendwann aussterben wird, richtig

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \Phi_{\rho}(s) \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} \rho \end{eqnarray*}$ ist ein Polynom:

Also $\begin{eqnarray*} \Phi_{\rho}(s) \end{eqnarray*}$ ist die Verteilungsfunktion für $\begin{eqnarray*} \rho \end{eqnarray*}$ Nachkommen?
... aber was/wofür ist denn $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ ? Kann man sich das sinnvoll überlegen?

Ich weiss, dass sich meine Fragen wohl ziemlich dumm anhören, aber ich seh hier nur Fragezeichen.. traurig

Ich wäre wirklich froh, wenn du dir nochmals die Zeit nehmen könntest, mir das kurz zu erklären.

12.08.2012, 17:44

Huggy

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a) und b) sind jetzt richtig.

Zitat:

Original von LyriaEL

Zitat:

Leider hab ich den Satz ganz und gar nicht verstanden.

Genau genommen ist $\begin{eqnarray*} \rho(n) \end{eqnarray*}$ die Zähldichte für die Zahl n der Nachkommen eines Partikels, also $\begin{eqnarray*} \rho (0)=0.1, \rho(1)=0.3, \rho (2)=0.2, \rho (3)= 0.4, \rho (n>3)=0 \end{eqnarray*}$ . Ich habe es nur deshalb Verteilungsfunktion genannt, weil es in dem Wikipediaartikel über den Galton-Watson-Prozess so genannt wurde und ich keine Verwirrung stiften wollte, wenn du damit vergleichst.

Die erzeugende Funktion $\begin{eqnarray*} \Phi_a(z) \end{eqnarray*}$ einer Zahlenfolge $\begin{eqnarray*} a_0, a_1, a_2, ... \end{eqnarray*}$ ist einfach die dieser Zahlenfolge rein formal zugeordnete Potenzreihe

$\begin{eqnarray*} \Phi_a(z)=\sum_{n=0}^{\infty} a_n z^n \end{eqnarray*}$

Die Variable z oder oben s hat dabei gar keine Bedeutung! Versuche also nicht, eine zu finden. Der alleinige Zweck der Übung ist es, die Zahlenfolge als Potenzreihe zu verpacken und falls diese konvergiert und damit eine Funktion darstellt, die Zahlenfolge in diese Funktion zu verpacken. Ob diese Übung einen Nutzwert hat, hängt vom jeweiligen Problem ab, aber man kann erstaunlich oft daraus auf unterschiedlichste Weise Nutzen ziehen. Als ein Beispiel kannst du dir ja mal den Wikipediaartikel über die Fibonaccizahlen ansehen.

Wenn du jetzt für die $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ die $\begin{eqnarray*} \rho (n) \end{eqnarray*}$ einsetzt, kommst du zu dem angegebenen Polynom als erzeugende Funktion, da ja gilt $\begin{eqnarray*} \rho (n>3)=0 \end{eqnarray*}$ .

14.08.2012, 21:37

LyriaEL

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Ich habe (ausnahmsweise) gar nicht auf Wiki nachgelesen, sonder in (altmodischen ^^) Büchern, welche natürlich andere Namenskonventionen hatten.

Ich glaube ich blicke jetzt einigermaßen durch, für den totalen Durchblick hilft wohl nur üben üben üben... Augenzwinkern

noch zum Schluss...

Zitat:

Die Variable z oder oben s hat dabei gar keine Bedeutung! Versuche also nicht, eine zu finden.

das finde ich auf eine beunruhigende Art SEHR beruhigend smile

Vielen Dank für deine Hilfe. Freude

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