Wie wendet man auf Wurzeln die binomische Formel an?

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Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »
Wie wendet man auf Wurzeln die binomische Formel an?
Meine Frage:
Hi,

ich habe mich gerade gefragt, ob man auf Wurzeln die Binomische Formel anwenden kann.


Meine Ideen:
Zum Beispiel wenn ich sowas habe:



Und ich das jetzt als Binomische Formel umschreiben möchte.



Dann sollte dort ja sowas stehen wie:



Doch wie berechnet man den mittleren Teil?

Danke im Voraus.
Mfg
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Unter gewissen Bedingungen, ist das möglich. Mindestens für den Schulgebrauch aber sehr übers Ziel hinaus geschossen. Augenzwinkern

Das geht dann über die binomische Reihe, welche allerdings nur unter bestimmten Bedingungen an die Summanden konvergiert.
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wie wendet man auf Wurzeln die binomische Formel an?
.

Jetzt kann man versuchen es nach a umzustellen und gucken wie sinnvoll das Ergebnis ist.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

@Iorek: Das verstehe ich tatsächlich nicht. Augenzwinkern

@IfindU:

Wenn ich es nach a umstelle erhalte ich:



Und woran erkenne ich nun, ob das Ergebnis sinnvoll, oder nicht sinnvoll ist?

Immerhin hätte ich nun eine Möglichkeit sowas zu berechnen.
Ich wollte nämlich gerade in einem anderem Thread diesen ausdruck integrieren und dachte dann, ob es vielleicht leichter ist wenn ich es einfach erstmal ausrechne.
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Da IfindU nicht mehr da ist, antworte ich mal für ihn: setz den Ausdruck für dann mal in deine Wunschform ein: , dann siehst du ob es "sinnvoll" ist. Augenzwinkern
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja ok. Hätte ich auch vorher sehen müssen, dass wenn ich a einsetze alles rausfliegt und ich am Ende nichts gewonnen habe außer die Erkenntnis, dass



ist.

Unter welchen Bedingungen würde das den funktionieren?
 
 
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Meiner Meinung nach führt es immer zum gleichen: Du wirst immer das eindeutige a bekommen, was du durch einfaches umstellen bekommen hast - und hin und wieder wird sich das a vereinfachen oder es wird so wie hier 1:1 das gleiche sein. Die Sache ist: wenn du das a vereinfachen kannst, kannst du acuh den Spaß ohne a vereinfachen.

Zum Thema integrieren ist nicht schwerer zu integrieren als

Zum Thema andere Darstellung: Ich denke Taylorreihe könnte man sich ansehen, um die Wurzel als eine Reihe von Polynomen darzustellen. Aber das sind alles keine schönen Lösungen (wobei man bei der "Funktion" noch ziemlich leicht die n-te Ableitung angeben kann).
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Das es nicht schwer zu integrieren ist, ist mir bewusst. Ich wollte jedoch diesen Weg ausprobieren und bin dann auf diese Frage gestoßen.

So wie es scheint kann man Wurzeln nur in spezialfällen mit einer Art Binomischen Formel berechnen.
Bzw. es macht es nicht einfacher wenn man versucht eine Wurzel über diese versucht zu vereinfachen.

Ich denke damit ist meine Frage hinreichend beantwortet.

Vielen Dank euch zwei. Freude

Wink
kgV Auf diesen Beitrag antworten »

Die Idee, Wurzeln auf binomische Formaln anzuwenden, hat mich dermaßen fasziniert, dass ich einfach probieren musste, ob das nicht irgendwie geht...
Ich hab mal ein bisschen rumüberlegt und bin auch zu einem (wenn auch ziemlich unschönen) Ansatz gekommen. Dabei habe ich mir Gmasterflashs Wurzel als Vorbild genommen:



Zu dieser ohnehin schon unschönen Schreibweise kommen jetzt noch Logarithmen:



Ich hab daraus noch eine allgemeine Form abgeleitet:



Wie gesagt, die Formel ist nicht schön und wahrscheinlich auch zu nichts nütze (es ist wohl einfacher, sich mit abzufinden), aber hier ist sie halt mal... Was solls, ich hatte meinen Spaß dabei, und nun muss das Forum sich damit rumschlagen Augenzwinkern
Lg
kgV
Wink


edit: Formel ausgebessert. Dank an IfindU
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Noch eine kleine Anmerkung an die ganzen Formel:

Du verlierst dabei wirklich etwas. Deine Formel ist ab Zeile 4 nicht mehr ohne weiteres für negative x definiert. Und das ist der Haupteil der Funktion, für nichtnegative ist es nur das Intervall [0,4].



Bei deiner allgemein Formel wird zudem eine 2 beim "ab" fehlen.
kgV Auf diesen Beitrag antworten »

@ IfindU: Da hast du natürlich recht. Wie gesagt, mir ging es bei der Formel auch mehr um den Spaß, sie zu schreiben. Dass ich dabei etwas verliere, das habe ich nicht bedacht. Vlt. würden Betragszeichen etwas bringen?
Lg
kgV
Wink
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Ich denke nicht, dass das so einfach wird. Nehmen wir a = -1 und b = 2. Dann ist .

Und deine Formel
.

Wo willst du da Wurzelzeichen setzen, so dass für jedes n wieder 1 rauskommt? Wenn du sie überall setzt, ist der erste Summand bereits 1 und die anderen werden es nur größer machen (wenn wir annehmen da kommen auch irgendwo noch Beträge rum.

Man wird sicherlich mit Fallunterscheidungen irgendwas retten können, aber dann spontan sehe ich

als nötige Fallunterscheidungen.
kgV Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, damit wäre die Formel dann wohl endgültig als unzureichend klassifiziert. Was soll's, meinen Spaß hatte ich trotzdem dabei und hab auch noch was dazugelernt. Danke an IfindU für die Korrekturen, aber fünf Fallunterscheidungen abzuarbeiten ist mir zu viel des Guten.
Lg
kgV
Wink
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn es dich tröstet:
Fallunterscheidung 5 braucht man nicht, Fallunterscheidung 3 und 4 sind symmetrisch, Fallunterscheidung 2 hast du bereits und Fallunterscheidung 1 ist trivial. Augenzwinkern
kgV Auf diesen Beitrag antworten »

Da schöpfe ich doch wieder Hoffnung smile
Bei 3 und 4 müsste man aber noch unterscheiden, ob oder gilt, oder? Jeweils einer der Fälle wäre dann unlösbar.
Aber wie genau läuft das dann mit einer Negativen? Muss ich mir eine komplett neue Formel aufstellen, in der ich die Negative dann mit -1 multipliziere? Ich sehe da grad keinen Weg.
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Genau. Ich weiß nicht wie genau du das mit negativen meinst, aber wenn die Wurzel nicht definiert ist, musst auch keine Alternativformel aufstellen.
kgV Auf diesen Beitrag antworten »

Ich meinte das so: Wenn ich, wie in deinem Beispiel , -1 und 2 habe, dann muss ich eine Formel finden, in der das -1 mich nicht stört? Das mit der Multiplikation war Schwachsinn.
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Ahso, das meintest du. Man müsste wohl bei der Startformel anfangen und gucken, ob man nicht irgendwas "besonderes" machen kann.
kgV Auf diesen Beitrag antworten »

Wäre es akzeptabel, die Wurzel um 1 zu erhöhen und gleichzeitig den Exponenten zu vergrößernverwirrt z.B.aus das hier zu machen:

Ich weiß, dass die Wurzel jetzt ungerade zahlen erlauben würde, habe allerdings keine Ahnung, ob der erweiterte Exponent einen Einfluss auf das Vorzeichen hätte oder ob sich Wurzel- und Exponenterweiterung gegenseitig aufheben (was ich allerdings, jetzt, wo ich genauer darüber nachdenke, vermute)
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

.

Was man stattdessen machen sollte in dem Beispiel wäre statt auszuklammern. Ich denke das wäre die richtige Idee.
kgV Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab jetzt weitergearbeitet:
Wenn a negativ wäre, dann wäre die Formel folgende:



Analog für b:


Diese Formeln müsste dann eigentlich reichen. Die Wurzeln im Nenner können nicht negativ sein, und das Problem mit der negativen Variable wurde ebenfalls gelöst.
Wären wir damit dann durch?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Sollte stimmen. Freude
kgV Auf diesen Beitrag antworten »

Damit wäre das Problem dann wohl mit einem Dreierpack an Formeln gelöst. So viel Spaß kann Mathe machen(auch wenn mich einige dafür in eine anstalt einweisen lassen würden, ich habe diese Formeln genossen). Danke für die Hilfestellungen smile
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