Gram-Schmidt-Verfahren

13.08.2012, 16:43	Günther Peter	Auf diesen Beitrag antworten »
Gram-Schmidt-Verfahren Meine Frage: Hey, ich bin seit Wochen am Wiederholen von meinen Linear Algebra Übungsblättern, und nun ist mir folgende Aufgabe untergekommen: Sei V:= { $\begin{eqnarray} p\in \mathbb K [X] \| deg \leq 2 \end{eqnarray}$ } versehen mit dem Skalarprodukt $\begin{eqnarray} <p,q>:= \int_a^b \! p(t)q(t) \, dt \end{eqnarray}$ mit a:= -1 und b:= 1 und $\begin{eqnarray} \Im : V -> \mathbb K [X] \end{eqnarray}$ , p-> p´,wobei p´die Ableitung von p bezeichne. Berechnen sie $\begin{eqnarray} \Im (2+7X-3x^2) \end{eqnarray}$ . Meine Ideen:* Generell ist die Basis von V {1,x,x^2}. Wie ich aus der Lösung weis muss ich hier das Gram-Schmidt-Verfahren anwenden, das ich bei Vektoren der Art v1= $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ...ohne Probleme anwenden konnte, jetzt aber nicht weiter komme, und das seit Stunden. Nach Gram-Schmidt gilt ja: v1=w1=1, um jetzt b1 zu bestimmen, müsste ich noch \|\|v1\|\| berechnen. Und $\begin{eqnarray} \|\|v1\|\|= \sqrt{(1^{2}) } \end{eqnarray}$ . In meiner Lösung steht hier aber schon die Wurzel aus 2, d.h., dass mein b1= $\begin{eqnarray} \frac{1}{\sqrt{2} } \end{eqnarray}$ wäre...wie kommt man denn darauf? Und kann mir vielleicht bei Gelegenheit noch jemand erklären, wie ich v2 berechne? Ich komme nie auf die richtige Lösung...Das wäre echt sehr nett! Vielen Dank schon einmal.
13.08.2012, 18:07	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, zunächst mal die Frage, warum du hier was mit Gram-Schmidt machst? Ich vermute, dass da noch steht, man solle eine ONB des Vektorraumes bzgl. <> bestimmen. Stimmt's? Jedenfalls denkst du bei der Norm zu viel an "echte" Vektoren, die eben als Tupel geschrieben werden. Wie ist hier die Norm für $\begin{eqnarray} a = 1 \in \mathbb K [X] \end{eqnarray}$ definiert? Als $\begin{eqnarray} \\|a\\| := \sqrt{\langle a,a \rangle} = \left(\int_{-1}^1~1 \, \dd x\right)^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray}$ . Und das ist nicht 1. Edit: Wichtige Wurzel eingefügt.
13.08.2012, 18:14	Günther Peter	Auf diesen Beitrag antworten »
Ohja, stimmt...! Ich war eben die ganze Zeit total verwirrt... Aber von ONB steht nichts dabei, aber die wird im Anschluss dazu verwendet um das geforderte zu berechnen mit <2+7x-3x^2, b1>b1+ <2+7x-3x^2, b2>b2 + <2+7x-3x^2, b3>b3... Ich werde jetzt versuchen b2 zu bestimmen, kann aber für nichts garantieren, wenn es nicht klappen sollte, melde ich mich nochmal ;-) Aber schon mal vielen vielen Dank!
13.08.2012, 18:16	Günther Peter	Auf diesen Beitrag antworten »
Noch eine kurze Frage... Das Integral das du hingeschrieben hast, klar das gibt 2, aber warum muss ich denn dann noch die Wurzel ziehen, wenn die Norm doch ohne die Wurzel definiert ist?
13.08.2012, 18:19	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
Argh! Weil die Norm eben mit Wurzel definiert ist. Kleiner Aussetzer meinerseits, ich besser das aus.
13.08.2012, 18:24	Günther Peter	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, dann is alles klar ;-) Habs auch geschafft die anderen Vektoren zu berechnen! Vielen Dank!
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13.08.2012, 18:25	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
Klasse! Bitte schön!

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